椭圆的焦点弦长公式
22abPQ,及其应用 222a,ccos,
通山一中 万小勇
在有关椭圆的综合题中,常常遇到椭圆焦点弦的问题,如何解决这类问题呢,首先我们
有命题:
ac若椭圆的焦点弦所在直线的倾斜角为,、、分别表示椭圆的长半轴长、短半轴,b
22abPQ,长和焦半距,则有。 222a,ccos,
上面命题的证明很容易得出,在此笔者只谈谈该命题的应用。
,F例1、已知椭圆的长轴长,焦距42,过椭圆的焦点作一直线交ABFF,8112
,,,PFX椭圆于、Q两点,设,(0,,,,),当取什么值时,等于椭圆的短PPQ1
轴长,
分析:由题意可知PQ是椭圆的焦点弦,且,c,22,从而b,22,故由焦 a,4
222ab2,4,(22),42PQ,点弦长公式及题设可得:,解得222216,8cos,a,ccos,
cos,,arc,,arc,,即或。 ,,2,2cos2,2cos2,2
例2、在直角坐标系中,已知椭圆E的一个焦点为F(3,1),相应于F的准线为Y轴,
,16直线通过点F,且倾斜角为,又直线被椭圆E截得的线段的长度为,求椭圆E的ll35方程。
22(x,c,3)(y,1),,1分析:由题意可设椭圆E的方程为,又椭圆E相应于F的准线22ab
22a162ab,c,3,为Y轴,故有 (1), 又由焦点弦长公式有 (2),c5222a,ccos3
22222又 a,b,c (3)。解由(1)、(2)、(3)联列的方程组得:a,4,b,3,,c,1
22(x,4)(y,1),,1从而所求椭圆E的方程为。 43
22xyxy,,1例3、已知椭圆C:(),直线:被椭圆C截得的l,,1a,b,0122abab
23弦长为,过椭圆右焦点且斜率为的直线l被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的,2225求椭圆C的方程。
22分析:由题意可知直线过椭圆C的长、短轴的两个端点,故有, (1)la,b,81
22ab,4a3又由焦点弦长公式得=, (2) 因=,得,(3) ,,tan,222a,ccos,5322222又 (4)。解由(1)、(2)、(3)、(4)联列的方程组得:,,a,b,ca,6b,2
22xy,,1从而所求椭圆E的方程为。 62