今有圆田

今有圆田 今有圆田，周三十步，径十步。臣淳风等谨按:术意以周三径一为率，周三十步，合径十步。今依密率，合径九步、十一分步之六。问为田几何? 答曰:七十五步。此于徽术，当为田七十一步、一百五十七分步之一百三。臣淳风等谨依密率，为田七十一步、二十二分步之一十三。 又有圆田，周一百八十一步，径六十步、三分步之一。臣淳风等谨按:周三径一，周一百八十一步，径六十步、三分步之一;依密率，径五十七步、二十二分步之一十三。问为田几何? 答曰:十一亩九十步、十二分步之一。此于徽术，当为田十亩二百八步、三百一十四分步之一百一十三。臣淳风等谨依密率，为田十亩二百五步、八十八分步之八十七。 术曰:半周半径相乘得积步。按半周为从，半径为广，故广从也。假令圆径二尺。圆中容六觚之一面，与圆径之半，其数均等，合径率一而觚周率三也。又按为图，以六觚之一面乘半径，四分取二，因而六之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘半径，四分取四，因而六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。觚面之外，犹有余径。以面乘余径，则幂出弧表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。此以周径，谓至然之数，非周三径一之率也。周三者，从其六觚之环耳。以推圆规多少之觉，乃弓之与弦也。然世传此法，莫肯精核。学者踵古，习其谬失。不有明据，辩之斯难。凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。由此言之，其用博矣。谨按图验，更造密率。恐空设法，数昧而难譬。故置诸检括，谨详其记注焉。割六觚以为十二觚术曰:置圆径二尺，半之为一尺，即圆里六觚之面也。令半径一尺为弦，半面五寸为勾，为之求股。以勾幂二十五寸减弦幂，余七十五寸。开方除之，下至秒忽。又一退法，求其微数。微数无名者以为分子，以十为分母，约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽、五分忽之二。以减半径，余一寸三分三厘九毫七秒四忽、五分忽之三，谓之小勾。觚之半面又谓之小股，为之求弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽，余分弃之。开方除之，即十二觚之一面也。割十二觚以为二十四觚术曰:亦令半径为弦，半面为勾，为之求股。置上小弦幂，四而一，得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽，余分弃之，即勾幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽、五分忽之四。以减半径，余三分四厘七秒四忽、五分忽之一，谓之小勾。觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，余分弃之。开方除之，即二十四觚之一四十八觚术曰:亦令半径为弦，半面为勾，为之求股。置上小弦幂，四而一，得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽，余分弃之，即勾幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽、五分忽之四。以减半径，余八厘五毫五秒五忽、五分忽之一，谓之小勾。觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽，余分弃之。开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分弃之，即四十八觚之一面。以半径一尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除之，得 幂三百一十三寸、六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也。割四十八觚以为九十六觚术曰:亦令半径为弦，半面为勾，为之求股。置次上弦幂，四而一，得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽，余分弃之，则勾幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽、十分忽之九。以减半径，余二厘一毫四秒一忽、十分忽之一，谓之小勾。觚之半面又谓之小股，为之求小弦，其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽，余分弃之，开方除之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分弃之，即九十六觚之一面。以半径一尺乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽。以百亿除之，得幂三百一十四寸、六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也。以九十六觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂。倍之，为分寸之二百一十，即九十六觚之外觚田九十六，所谓以弦乘矢之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂，得三百一十四寸、六百二十五分寸之一百六十九，则出于圆之表矣。故还就一百九十二觚之全幂三百一十四寸，以为圆幂之定率，而弃其余分。以半径一尺除圆幂，倍之得六尺二寸八分，即周数。令径自乘为方幂四百寸，与圆幂相折，圆幂得一百五十七为率，方幂得二百为率。方幂二百，其中容圆幂一百五十七也。圆幂犹为微少。按弧田图，令方中容圆，圆中容方，内方合外方之半。然则圆幂一百五十七，其中容方幂一百也。又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五十，则其相与之率也。周率犹为微少也。晋武库中汉时王莽作铜斛，其铭曰:律嘉量斛，内方尺而圆其外，旁九厘五毫，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六百二十寸，容十斗。以此术求之，得幂一百六十一寸有奇，其数相近矣。此术微少，而觚差幂六百二十五分以十二觚之幂为率，以率消息，当取此分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂以为圆幂，三百一十四寸、二十五分寸之四。置径自乘之方幂四百寸，令与圆幂通相约，圆幂三千九百中容方幂二千五百也。以半径一尺除圆幂三百一十四寸、二十五分寸之四，倍之得六尺二寸八分、二十五分分之八，即周数也。全径二尺，与周数通相约，径得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相与之率。若此者，盖尽其纤微矣。举而用之，上法为约耳。当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而裁其微分，数亦宜然，重其验耳。臣淳风等谨按:旧术求圆，皆以周三径一为率。若用之求圆周之数，则周少径多。用之求其六觚之田，乃与此率合会耳。何则?假令六觚之田，觚间各一尺为面，自然从角至角，其径二尺可知。此则周六径二，与周三径一已合。恐此犹以难晓，今更引物为喻。设令刻物作圭形者六枚，枚别三面，皆长一尺。攒此六物悉，则成六觚之周，角径亦皆二尺。更从觚角外畔围绕为规，则六觚 二尺，面径皆一尺，面径股不至外畔，定无二尺可知。故周三径一之率，于圆周乃是径多周少。径一周三，理非精密。盖术从简要，举大纲略而言之。刘徽将以为疏，遂乃改张其率。但周径相乘，数难契合。徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也。祖冲之以其不精，就中更推其数。今者修撰，捃摭诸家，考其是非，冲之为密。故显之于徽术之下，冀学者之所裁焉。又 故两母相乘为四，以报除之，于徽术以五十乘周，一百五十七而一，即径也;以一百五十七乘径，五十而一，即周也。新术径率犹当微少。据周以求径，则失之长;据径以求周，则失之短。诸据见径以求幂者，皆失之于微少;据周以求幂者，皆失之于微多。 臣淳风等按:依密率，以七乘周，二十二而一即径;以二十二乘径，七而一即周。依术求之即得。 又术曰:径自相乘，三之，四而一。按圆径自乘为外方。三之，四而一者，是为圆 圆，失之于微少。于徽新术， 当径自乘，又以一百五十七乘之，二百而一。臣淳风等谨 十四而一，即圆幂也。 又术曰:周自相乘，十二而一。六觚之周其于圆径，三与一也。故六觚之周自相乘为幂，若圆径自乘者九方，九方凡为十二觚者十有二，故曰十二而一，即十二觚之幂也。今此令周自乘，非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一，所得又非十二觚之类也。若欲以为圆幂，失之于多矣。以六觚之周自乘，十二而一可也。于徽新术，直令圆周自乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圆幂。其率:二十五者，圆幂，三百一十四者，周自乘之幂也。置周数六尺二寸八分，令自乘得幂三十九万四千三百八十四分;又置圆幂三万一千四百分，皆以一千二百五十六约之，得此率。臣淳风等谨按:方面自乘即得其积。圆周求其幂，假率乃通。但此术所求，用三、一为率。圆田正法，半周及半径以相乘。今乃用全周自乘，故须以十二为母。何者?据全周而求半周，则须以二为法，就全周而求半径，复假六以除之。是二、六相乘，除周自乘之数。依密率以七乘之，八十八而一。