弧度制

弧度制《弧度制》教学设计三原县南郊中学贺立新一、依据本教学设计依据北师大版(2010年5月第6版)高中数学必修4第一章《三角函数》?3《弧度制》的教学内容。二、设计思路1(指导思想教学要注重知识的形成、发展过程。弧度制是学生较难理解和接受的概念，理解“弧度”需要一个过程。为此，一方面类比长度、质量的不同度量制，使学生明白在日常生活和科学研究中，一个量常常需要用不同的进行度量，以满足我们不同的需要，从而引出角也有另外的度量方法——弧度制，另一方面，通过对特殊角的互化，帮助学生理解掌握“弧度制”这一新概念。2(设计理念通过创设情境，激发学生学习兴趣和求知欲望。通过类比的方法，由水银的高度可以测量温度，由水的体积可以测量浮力的大小，由日影的位置变化可以计量时间等熟悉的生活、学习经验，引导学生来认识用弧的长度来度量角的大小是可行的，扫清学生理解弧度制时产生的疑虑。3(教材分析弧度制是学生高中学习的一个难点，为了突破这个难点，教科书在弧度制的引入上做了较多的铺垫。首先通过“问题提出”，给出引入“弧度制”的必要性，其次在“分析理解”中，通过度量和计算，使学生真实感知“当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数”，引出1弧度的定义，接着利用周角在不同单位下的度数关系，得出弧度与角度的换算方法，在此基础上，通过两个互化的具体例题和一些特殊角的度数与弧度数的对应关系，巩固所学的概念和公式，建立角的弧度数与实数之间的一一对应关系，为学习任意角的三角函数奠定基础。教材还通过探究得到弧度数的绝对值公式和弧长公式，让学生在探究和解决问题的过程中，更好地形成概念。最后通过提出问题“请问在你学过的量中，还有哪些量可以有不同的度量方法,”，这是教给学生认识问题、理解问题、描述问题常用的思维方式和方法。4(学情分析学生在初中几何学过角的度量，对于1?的角认识比较清楚，为本节学习1弧度的角建立了“参照系”，又在本章第2节学习了角的概念的推广，为弧度制下推广角的概念，建立角的集合与实数集R之间的一一对应关系创造了类比学习条件。5(现代教学手段的运用借助多媒体教学，通过展示，让学生直观认识到建立弧度制的合理性和必要性，解决学生理解中的疑点。三、教学目标1.知识与技能(1)理解1弧度的定义，体会弧度是一种度量角的单位;(2)掌握角度与弧度的换算公式，能进行角度与弧度的互化;(3)体会弧度制定义的合理性，理解并能初步运用弧度制示的弧长公式、扇形面积公式，解决相关问题;(4)理解角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系。12.过程与方法通过同心圆中的圆心角引入弧度的概念的学习过程，对比两种度量角的方法，探究角度制与弧度制之间的互化;通过特殊角的角度与弧度的互化，帮助学生理解掌握弧度制;通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。3.情感态度与价值观通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点;在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，简化了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，使学生认识到引入弧度制的优越性;通过弧度制与角度制的下弧长公式、扇形面积公式的比较，体现弧度制的简洁美，激发学生的学习兴趣，养成良好的学习品质。四、教学重点理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算。五、教学难点弧度制的建立与应用。六、教学准备制作多媒体演示课件。七、教学过程【预习学案】1.弧度制的概念(1)把圆周360等份，则其中1份所对的圆心角是度，这种用度作单位来度量角的制度角。(2)我们规定:所对的圆心角叫做1弧度的角，它的单位符号是，读作，这种以为单位来度量角的制度叫做弧度制。(3)在弧度制中，任一正角的弧度数都是一个，的弧度数都是一个负数，零角的弧度数是。(r4)在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，则=，其中的单位,,,l是。2.弧度制与角度制的互化(1)360?,rad，?,πrad，1?,rad，1rad,?(2)常用特殊角的弧度数度30?45?60?90?120?135?150?180?270?360?弧度3.弧长公式与扇形面积公式(1)角度制下，弧长公式=，扇形面积公式S=。l(2)弧度制下，弧长公式=，扇形面积公式S=。l【课堂合作探究】创设情境展示课件:姚明的资料:身高2.26米，体重140千克;身高7.6英尺，体重273.42磅。长度可以用米、英尺、码等不同的单位度量，重量可以用千克、磅等单位度量。同一事物可以用不同的方法度量，不同的单位制能给解决问题带来方便，以度为单位度量角的大小是一种常用方法，为了进一步研究的需要，我们还需建立另一个度量角的单位制:弧度制---用弧的长度来度量角的大小。用长度能量角的大小,新奇吧～2事实上，借助一种量来度量另外一种量，在我们的生活中比比皆是，如用水银的高度量温度，用水的体积量浮力的大小，用日影的位置变化测定时间(日晷)等。设计意图:从同学们熟悉的公众人物设置情境，烘托应有的课堂教学气氛，提高学生情感与思维的兴奋度，激发学生的学习兴趣，再结合学生现有的经验，利用类比的方法，使新课引入显得自然，易于接受，让学生直观认识到建立弧度制的合理性。(((探究一:1弧度角的定义1.思考:在角度制中，1?的角是怎样定义的,设计意图:1?的角可以理解为将圆周分成360等份，每一等份的弧所对的圆心角就是1?，它是一个定值，与所取圆的半径大小无关。通过复习角度制中“单位1”的规定，为学习1弧度的规定作铺垫。同时借助角度制概念，为类比弧度制概念的教学作准备。2.计算:325'156':，:设计意图:角度制采用的是60进制，仅运算方面就存在不少麻烦，那么我们将要学习的新度量制——弧度制就能回避这种麻烦，使学生认识学习新度量制的必要性。(((3.发现探究B2展示课件(半径不同的同心圆)，引导学生思考问题:B1l2l)分别计算圆弧AB和AB的长。点A和A到点O的距(1ll,ll22l2112n:A1rrO2离(即圆的半径)分别为r(r,0)和r(r,0)，由初中所学A112212n,n,的弧长公式有,r，,r.ll1212180180(2)对弧长公式变形，求弧长与半径的比，你能发现什么关系,lln,12,=，这表明圆心角α所对的弧长与其半径的比值，与所取的半径大小无关，r180r12只与角α的度数大小有关(ll12(3)既然,=定值，那么在什么情况下这个比值等于1,这个“1”是否可以作为角的rr12度量单位,设计意图:弄清1弧度角的定义，是本节课突破难点的关键。在各种单位制中，都以“1”为基本度量单位，如1千克、1米、1升、1帕斯卡等，我们要建立的弧度制，也应合理的选择一个度量——1弧度。之所以把问题放在同心圆中来研究，是因为在?2《角的概念的推广》中，角是通过射线旋转来定义的，在旋转过程中，射线上各点(除端点外)的运动轨迹是圆(或圆弧)，又各点位置不同，即半径不同，对应的弧llll132长也不同，但圆心角相同，所以,=,通过计算发现，当半径不同时，,,rrrr123同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数。当常数为1时，lr=l即所对的圆心角就自然成为1个度量单位。,1,lr,r,=1rad4(1弧度的角的定义(O如图，把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角(它的单位符号是rad，读作弧度。1弧度的角记作1rad，读作1弧度。3探究二:弧度数公式1.用定义计算角的弧度数lr,,lr,2B1lr,2OArrOOr展示课件，圆心角?AOB所对的弧长，那么?AOB的弧度数就是:lr,2lr2。，,,,AOBrad2rr1思考与交流:弧长时，圆心角的弧度数分别是多少呢,,,,lrlr,2设计意图:通过计算几个具体圆心角的弧度数，使学生熟悉怎样用弧的长度来“量”角的大小，进而理解弧度制的意义。2.圆心角是正数时的弧度数公式:3.圆心角表示负数时弧度数公式:4.弧度数的绝对值与弧长的关系:探究三:角度与弧度的换算(1.思考与交流:一周角以度为单位度量是多少度,以弧度为单位度量是多少弧度,据此你能得到度与弧度有怎样的换算关系,现在我们知道:1周角的度数是360?，它的弧度数是2πrad，所以360?,2πrad，由此可以得到,180180?,πrad，1?,，1rad,()?180,设计意图:从数学思想的高度，引导学生认识“换算”问题，即弧度、角度都是角的度量值，它们一定可以换算;只要理解了360?,2πrad，那么在进行角度与弧度的换算时，抓住180?,πrad这一关系式，会做数学变形，同时除以180或同时除以π就可得到其它换算公式了(进一步加强对辩证统一、相互联系、相互转化思想的渗透。2.新知应用例1(把45?化成弧度。课堂抢答练习:你能说出下列角的弧度数吗,;;;;60,120::30,150::0,180::90,270,360:::135:设计意图:通过特殊角的换算，帮助学生掌握换算关系，特别借助互补关系、倍数关系，来熟记一些特殊角的弧度数，为后续学习打下扎实的基础。3,例2(把rad化成度。53.弧度制与角度制的比较,思考:，对于关系式yx,sin，当时，在直角坐标系对sin30?,sin?:,,x,:306,应的点坐标是，当时，在直角坐标系对应点坐标是。x,64设计意图:弧度的概念是有瑞士数学家欧拉与1748年引入的，弧度制的基本作用之一在于统一了角度与长度的单位，有助于某些数学问题的表示和研究，比如即将学习的三角函数，用弧度制研究有很多方便之处，从一个侧面体会引入弧度制是科学研究的需要。探究四:弧长公式与扇形面积公式1.思考与交流:角度制下，我们已经掌握了弧长公式，扇形面积公式，那么，弧度制下弧长公式、扇形面积公式又是怎样的呢,设计意图:通过新问题的提出，给学生营造科学探索氛围，让学生寻找公式间的联系，体会数学知识环环相扣，同时，对比初中学到的公式结构，从另一侧面体会弧度制的优越性。l2.弧长公式推导:将公式变形，得lr,||,||,,r3.扇形面积公式推导思路一:先求1弧度的圆心角所对扇形的面积，再求圆心角为弧度的扇形面积。,思路二:根据角度制下扇形面积公式，结合换算公式弧长公式进行转化2课堂练习:已知扇形的周长为6cm，面积为2cm，求扇形圆心角的弧度数。【小结与作业】1.课堂小结:(1)主要学习了1弧度的角及弧度制定义;角度与弧度的换算公式;特殊角的弧度数。(2)在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方,(3)你在这节课中的表现怎样,你的体会是什么,2.课外作业:习题1—3中的3、4、6、8.设计意图:巩固弧度与角度的互化，同时检验自主学习成效。八、教学反思本节课围绕弧度制概念，让学生在探究中积累知识，发展能力，通过类比、数形结合等数学思想方法，将弧度制概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中。在教学过程中，始终以学生为主体，鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，提高学生思维的兴奋度。同时由于课时限制(只有1课时)和学生知识水平的局限，本节也不能拓展太多，对于弧长公式和扇形面积公式的灵活运用在课堂上也没有设计更多的达标练习，而在课后作业中给出相应的学习任务，让他们在自己的应用过程中逐步掌握。5