机械能守恒定律的应用

机械能守恒定律的应用 基础知识回顾 =E-E 此即动能定理. 合K2K1 1(应用机械能守恒定律解决力学问题 (2)只有重力(或弹力)做功时，物体的机械能守先分析研究对象在运动过程中的受力情况，并确恒:E=E 12 定各力的做功情况，在动能和重力势能的相互转化(3)重力做功(或弹力做功)与重力势能的变化(或中，如果只有重力(或弹力)做功，就可以用机械能弹性势能的变化)的关系: 守恒定律求解. W=-?E=E-EGPP1P2 2.应用机械能守恒定律解题 (4)重力和弹簧弹力之外的其它外力对物体所做的可以只考虑物体运动的初状态和末状态，不必考虑功W，等于物体机械能的变化，即 F 运动过程. W=?E=E-EF21 3.应用机械能守恒定律解题的思路与方W>0,机械能增加. F 法 W<0,机械能减少. F (1)选择研究对象——物体或物体系 重点难点例析 (2)对研究对象所经历的过程，进行受力分析，做功一、应用机械能守恒定律解题的步骤: 情况分析，判断机械能是否守恒 1.根据题意选取研究对象(物体或系统); (3)选择初、末状态及参考平面，确定研究对象在初、2.分析研究对象在运动过程中的受力情况以及各力末状态的机械能 做功的情况，判断机械能是否守恒; (4)根据机械能守恒定律列方程或方程组 3.确定运动的始末状态，选取零势能面，并确定研(5)求解、检查、作答 究对象在始、末状态时的机械能; 4.机械能守恒定律与动能定理的比较 4.根据机械能守恒定律列出方程进行求解 机械能守恒定律和动能定理是本章的两个重点内注意:列式时，要养成这样的习惯，等式作左边容，也是力学中的两个基本规律，在物理学中占有重是初状态的机械能而等式右边是末状态的机械能，这要的地位，两者既有区别也有相同之处. 样有助于分析的条理性. (1)相同点:都是从功和能量的角度来研究物体动力【例1】如图5-5-1所示，光滑的倾斜轨道与半学问题. 径为R的圆形轨道相连接，质量为m的小球在倾斜轨(2)不同点: 道上由静 ?解题范围不同，动能定理的范围相对来说要大止释放，要 些. 使小球恰 ?研究对象及角度不同，动能定理一般来说是研能通过圆 究单个物体在研究过程中合外力做功与动能的变化，形轨道的图5-5-1 而机械能守恒定律只要满足其成立条件，则只需找出最高点，小 系统初、末状态的机械能即可. 球释放点离圆形轨道最低点多高,通过轨道点最低 5.几种常见的功和能量转化的关系 点时球对轨道压力多大, (1)合外力对物体所做的功等于物体动能的变化:W【解析】 小球在运动过程中～受到重力和轨道 2v0支持力～轨道支持力对小球不做功～只有重力做功～ 又在最低点整理得m,2mg(1,cos60)l2v小球机械能守恒(取轨道最低点为零重力势能面( 时～有 Tmgm,,l因小球恰能通过圆轨道的最高点C～说明此时～在最低点时绳对小球的拉力大小 2v0T,mg，m,mg，2mg(1,cos60)轨道对小球作用力为零～只有重力提供向心力～根据 通过以l2v,2mg,2，0.1，10N,2Nc牛顿第二定律可列 得 上各例题～总结应用机械能守恒定律解决问题的基本mgm,R21vmc 方法. m,gR22R在圆轨道最高点小球机械能: 二、机械能守恒定律在多个物体组成系 1 统中的应用 E,mgR，2mgRC2 在释放点～小球机械能为: 对单个物体能用机械能守恒定律解的题一般都能E,mghA 根据机械能守恒定律 列等式:用动能定理解决(而且省去了确定是否守恒和选定零E,ECA 51 解得 势能面的麻烦，反过来，能用动能定理来解决的题却h,Rmgh,mgR，mg2R2212同理～小球在最低点机械能 不一定都能用机械能守恒定律来解决，在这个意义上E,mvBB2 讲，动能定理比机械能守恒定律应用更广泛更普遍。E,Ev,5gRBCB 小球在B点受到轨道支持力F和重力根据牛顿第故机械能守恒定律主要应用在多个物体组成的系统二定律～以向上为正～可列 中. 2vB 【例2】如图5-5-3所示，质量分别为2 m和3mF,mg,mF,6mgR据牛顿第三定律～小球对轨道压力为6mg(方向的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺竖直向下( 的顶点O处有光滑的固 ? 拓展 定转动轴.AO、BO的长分A A 如图5-5-2长l=80cm的细绳上端固定，下端系别为2L和L.开始时直角O 一个质量m,100g尺的AO部分处于水平位 的小球.将小球拉起置而B在O的正下方.让B 图5-5-3 至细绳与竖立方向该系统由静止开始自由 成60?角的位置，然转动，求:?当A到达最低点时，A小球的速度大小后无初速释放.不计v;? B球能上升的最大高度h;?开始转动后B球各处阻力，求小球可能达到的最大速度v. m 图5-5-2 通过最低点时，细【解析】以直角尺和两小球组成的系统为对象～ 2绳对小球拉力多大,取g=10m/s由于转动过程不受摩擦和介质阻力～所以该系统的机. 械能守恒. A (1)过程v/2 O 【解析】小球运动过程中～重力势能的变化量中A的重 0～此过程中动能的变力势能减,E,,mgh,,mgl(1,cos60)p 1化量少～A、B.机械能守恒定律还可以达为2B Emv,,vk 2 即 的动能和B,E，,E,0pk图5-5-4 120 的重力势mv,mgl(1,cos60),02 能增加～ A的即时速度总是B的2倍, 如图5-5-4所态，从静止开始释放，当杆转到竖直位置时，两球速示. 、v分别为多少, 度vAB 由系统机械能守恒有: 【解析】AB两球和地球组成的系统由于只有重 211v,,2～解得力势能跟动能的相互转化～所以机械能守恒.初、末态2mg,2L,3mg,L，,2m,v，,3m,,222,,8gL 分别选在水平位臵、竖直位臵～零势面选在竖直位臵v,11?B球不可能到达O的正上方～它到达最大高度时时～A球所在的水平面～由机械能守恒定律得: 11L22速度一定为零～设…………? 2mgL,mg，mv，mvABA 222α 该位臵比OA竖直由于两球转动时的角速度相同 O L位臵向左偏了α角. ……………? ？v,,Lv,,AB2α 12如图5-5-5所示, 由可解得: v,15gLv,15gLBA55 由系统机械能三、机械能守恒定律在多个过程系统中图5-5-5 守恒有: 的应用 2mg,2Lcosα=3mg,L(1+sinα)～此式可化简为 多物体多过程系统的机械能守恒问题要特别 4cosα-3sinα=3～利用三角公式可解得 注意机械能守恒定律成立的条件,守恒条件的表达很 sin(53?-α)=sin37?～α=16? 简单,但在一些具体问题中来判断还是有一定难度的,?B球速度最大例如:一般情况下碰撞过程中的系统的机械能是不守 A 时就是系统动能最恒的(弹性碰撞例外).此处常常容易出错. O 大时～而系统动能 θ 增大等于系统重力? 易错门诊 A B 做的功W.设OA从【例3】质量为m的钢G 图5-5-6 开始转过θ角时B板与直立轻弹簧的上端连 球速度最大～如图5-5-6所示. 接，弹簧下端固定在地上. 1122 平衡时，弹簧的压缩量为x，，，,2m,2v，,3m,v022 =2mg,2Lsinθ-3mg,L(1-cosθ) 如图5-5-8所示.物块从钢板 =mgL(4sinθ+3cosθ-3)?2mg,L～ 正对距离为3 x的A处自由0 4gL解得 落下，打在钢板上并立刻与v,m11图5-5-8 ? 拓展 钢板一起向下运动，但不粘 连，它们到达最低点后又向如图5-5-7所示， 在质量不计长为L的上运动.已知物体质量也为m时，它们恰能回到O点，不能弯曲的轻直杆的若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢一端和中点分别固定板回到O点时，还具有向上的速度，求物块向上运动两个质量均为m的小到最高点与O点的距离. 【错解】物块m从A处自由落下～则机械能守球A、B，杆的另一端恒 图5-5-7 固定在水平轴O处， 设钢板初位臵重力势能为0～则 杆可以在竖直面内无摩擦地转动，让杆处于水平状 12 (1) =3mv (4) 碰撞中动量守恒2mv02mg.3x,mv002 之后物块与钢板一起以v向下运动～然后返回所不同2m与钢板碰撞返回O点速度不为零～0 O点～此时速度为0～运动过程中因为只有重力和弹设为v则 簧弹力做功～故机械能守恒. 11 (5) '22E，(3m)v,3mgx，(3m)vp201222 (2) E，(2m)v,2mgxp002因为两次碰撞时间极短～弹性形变未发生变化 2m的物块仍从A处落下到钢板初位臵应有相同 的速度v,与钢板一起向下运动又返回机械能也守恒.0E=E’ (6) pp返回到O点速度不为零～设为v则: 由于2m物块与钢板过O点时弹力为零.两者加11'22 (3) 速度相同为g～之后钢板被弹簧牵制～则其加速度大E，(3m)v,3mgx，(3m)vp0022于g～所以与物块分离～物块以v竖直上抛.上升距离 因为m物块与2m物块在与钢板接触时～弹性为: /势能之比E:E=1:1 PP2v (7) h,2g2m物块与钢板一起过O点时～弹簧弹力为0～ 两者有相同的加速度g.之后～钢板由于被弹簧牵制～1由(1)，(6)式解得v代入,7,解得 h,x则加速度大于g～两者分离～2m物块从此位臵以v为02初速竖直上抛上升距离 【点拨】本题考查了机械能守恒、动量守恒、能2 (5) vh,量转化的.守恒等多个.是一个多运动过程的问2g 题。关键问题是分清楚每一个过程.建立过程的物理模 2由(1)，(4)式解得v代入,5,解得 h,x型～找到相应解决问题的规律.弹簧类问题～画好位臵03 草图至关重要. 【错因】这是一道综合性很强的题.错解中由于没 有考虑物块与钢板碰撞之后速度改变这一过程～而导 致错误.另外在分析物块与钢板接触位臵处～弹簧的弹 性势能时～也有相当多的人出错～两个错误都出时～课堂自主训练 会发现无解.这样有些人就返回用两次势能相等的结 1.如图5-5-9所示,果～但并未清楚相等的含义. 总长L的光滑匀质铁【正解】物块从3x位臵自由落下～与地球构成0 的系统机械能守恒.则有 链跨过一个光滑轻小 滑轮，开始时底端相12 (1) mg.3x,mv00零势面 2齐，当略有扰动时，其 v为物块与钢板碰撞时的的速度.因为碰撞板0一端下落，刚铁链刚脱v 短～内力远大于外力～钢板与物块间动量守恒.设v1 为两者碰撞后共同速 离滑轮的瞬间速度为 图5-5-9 多少, mv=2mv (2) 01 【解析】取底面为零势面～下落过程只有重力做两者以v向下运动恰返回O点～说明此位臵速l 度为零。运动过程中机械能守恒。设接触位臵弹性势功～机械能守恒～初态时: 能为E～则 p1mgL2末态时: E,mv2E,,,21224 (3) 1gL2由 有 E，(2m)v,2mgxE,Ep10v,21222.如图5-5-10所示，将楔木块放在光滑水平面上同理2m物块与m物块有相同的物理过程 靠墙边处并用手固定，然后在木块和墙面之间放入一 个小球，球的下缘离地面高度为H，木块的倾角为θ，力的合力提供 2v…………? 球和木块质量相等，一切接触面均光滑，放手让小球在最高点A:AFmgm,,AR2vB在最高点B: ………? 和木块同时由静止开始运动，求球着地时球和木块的Fmgm，,BRH2由??解得: 速度. Fmgmg,，AR2H由??解得: F,mg(,5)BR F,F,6mgAB F,FAB ？,6mgv2 课后创新演练 v1 1.如图5-5-12所示，两质量相同的小球A、B， 分别用线悬线图5-5-10 B 在等高的O、1A O点，A球的2【解析】此题的关键是要找到球着地时小球和悬线比B比球图5-5-12 木块的速度的关系。因为小球和木块总是相互接触的悬线长，把 和木块的速度v在垂直于接触的～所以小球的速度v12两球的悬线均拉到水平后将小球无初速释放，则经过面的方向上的投影相等～即:vcosθ=vsinθ 12最低点时(悬点为零势能)(ABD ) 由机械能守恒定律可得: A(A球的速度大于B球的速度 22mgH=mv/2+mv/2 12B(A球的动能大于B球的动能 由上述二式可求得: C(A球的机械能大于B球的机械能 v=sinθ, v=cosθ. 122gH2gHD(A球的机械能等于B球的机械能 3.质量为m的小球，沿光滑环形轨道由静止滑下2(如图5-5-13所示， (如图5-5-11所示)，滑下时的高度足够大.则小球在小球自高为H的A点 最低点时对环的压力跟小球在最高点时对环的压力由静止开始沿光滑曲 之差是小球重力的多少倍, 面下滑，到曲面底B B 点飞离曲面，B点处曲 H R 图5-5-13 面的切线沿水平方 A 向(若其他条件不变， 图5-5-11 只改变h，则小球的水平射程s的变化情况是 (ABCD ) 【解析】以小球和地球为研究对象～系统机械能A(h增大，s可能增大 守恒～即 B(h增大，s可能减小 12 ………………………? mgH,mvAC(h减小，s可能增大 212 …………? mgH,mv，mg2RBD(h减小，s可能减小 2 小球做变速圆周运动时～向心力由轨道弹力和重3(人站在h高处的平台上，水平抛出一个质量 为m的物体，物体落地时的速度为v，以地面为重力静止释放，当m刚好到达圆柱体的最高点C时，恰好 势能的零点，不计空气阻力，则有( BC ) 脱离圆柱体.则两小球的质量之比为多少, 12A(人对小球做的功是 【解析】经分析可知～A、B运动时系统内只有mv212B(人对小球做的功是 动能和重力势能的相互转化～所以系统的机械能守mv,mgh212C(小球落地时的机械能是 恒～由机械能守恒有 mv212R1,22 D(小球落地时的机械能是 mv,mghmgR,mg，(M，m)v,02424(在下面列举的各例中，若不考虑阻力作用，则又m在最高点C时作圆周运动～恰好脱离圆柱物体机械能发生变化的是( B ) 2v体～由牛顿第二定律有 mgm,,(用细杆栓着一个物体，以杆的另一端为固定R,m,1轴，使物体在光滑水平面上做匀速率圆周运动 由可解得 ,M3,(细杆栓着一个物体，以杆的另一端为固定轴，7.如图5-5-16所示，跨过同一高度的滑轮的细线使物体在竖直平面内做匀速率圆周运动 连着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，,(物体沿光滑的曲面自由下滑 ,(用一沿固定斜面向上、大小等于物体所受摩定滑轮离水平 擦力的拉力作用在物体上，使物体沿斜面向上运动 杆高h=0.2m， 5(如图5-5-14所示，长为L的橡皮条与长为L12开始时让连AB h 的细绳的一端都固定 的细线与水平θ 在O点，另一端分 0杆夹角θ=53， A 别系两球A和B，A 图5-5-16 由静止释放， 和B的质量相等， 在以后的过程中A能获得的最大速度是多少,现将两绳都拉至水 0 02(Sin53= 0.8 , Cos53 = 0.6 , g取10m/s) 平位置，由静止释 【解析】分析可知:当与A连接的细线运动到竖 图5-5-14 放放，摆至最低点 直方向时～A的速度最大～此时B的速度为零.由于两时，橡皮条和细绳 个物体的运动过程中只有重力做功,系统机械能守恒.长度恰好相等，若 由机械能守恒得 不计橡皮条和细绳 h12 mg(,h),mvsin,2的质量，两球经最低点速度相比 ( B ) h所以=1m/s v,2g(,h),sinA(A球大 8.如图5-5-17所示，光滑水平面AB与竖直面的B(B球大 半圆形导轨在B点衔接，导轨半径R，一个质量为mC(两球一样大 的静止物块在A处压缩弹簧，把物块释放，在弹力的C D(条件不足，无法比较 作用下获得一个向右的速度，当它经过B点进入导轨6.如图5-5-15所示，一 A 瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰B m M 轻绳的两端各系一小 能完成半圆周运动到达C点，求: 图5-5-15 球(可视为质点)，质 (1)弹簧对物块的弹力做的功; 量分别为M和m (2)物块从B至C克服阻力所做的功; (M>m)，跨放在一个 (3)物块离开C点后落回水平面时动能的大小. 光滑的半圆柱体上.两球由水平直径AB的两端由 C R B A 图5-5-17 【解析】(1)在B点对物块有: 2vB mgmgm7,,R 解得: v,6gRB 由功能关系有: 12 W,mv,3mgRB2 ,2,在C点对物块有: 2v Cmgm,R解得: v,gRC 在由B到C过程由功能关系有: 11222W,mv,mv,mgRfBC 22 1,mgR,3,在由C到落回地面的过程由机械能守恒有: 2152 2E,mv，mgR,mgRKC22