如图,ABC中,AB=AC,.txt

如图,ABC中,AB=AC,.txt 1、 如图，?ABC中，AB=AC，?BAC=90?，D是BC边上任意一点，求证BD2+CD2=2AD2 2、 在三角形ABC中，AB=AC=m,P为BC上任意一点，则PA2+PB*PC的值为多少, 解:过点A作AN?BC于N。(不妨设P在NC上) AP^2+PB*PC=AB^2-BN^2+(NC-PC)^2，PB*PC=m^2-BN^2+BN^2+PC^2-2BN*PC+PB*PC=m^2+PC(PC-2BN+PB)=m^2{三角形是等腰三角形} 3、 在三角形ABC中，BC=6，AD是BC边上的中线，交BC于点D，AD=3，AB+AC=8，则三角形ABC的面积是_____ 解: ?AD是中线，BC=6，AD=3 ??BAC=90? ?BA2+AC2=BC2=36 ?AB+AC=8 ?AB2+2AB*AC+AC2=64 ?2AB*AC=64-36=28 AB*AC=14 1/2AB*AC=7 ??ABC 的面积=7 4、 在三角形ABC中，AB=5，AC=13,高AD=12，则三角形ABC的周长是__42或32___ 5、 在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=4,P是AD上的动点,PE垂直于AC于E,PF垂直于BD于F,则PE+PF等于多少, 解:假设AC、BD的交点是O，连接PO S?APO,(1/2)AO*PE S?DPO,(1/2)DO*PF 所以 PE+PF,2S?APO/AO + 2S?DPO/DO 根据勾股定理，AO,DO,5/2 所以 PE+PF,(4/5)*(S?APO+S?DPO),(4/5)*S?AOD,(4/5)*(3×4?4),12/5 6、 E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3 BE=1 P为AC上的动点，则PB+PE的最小值等于多少, 解:两点之间直线最短 在AD上做AF=AP=3 连接FB 这时P点是PB+PE的最小值的点，应该是 根号下(3^2+4^2)=5 7、 如图:已知DE=m,BC=n, ?EBC与?DCB互余，求BD2+CE2 解:沿BE和CD做一延长线交点为A.因为?EBC+?DCB=90?.所以,?BAC=90? 所以BD2=AB2+AD2 CE2=AE2+AC2 所以CE2+BD2=AB2+AC2+AE2+AD2 又有?EAD=?BAC=90?所以AB2+AC2=BC2=n2 AE2+AD2=ED2=m2 所以有BD2+CE2=m2+n2 8、 已知:?ABC中，?ACB=90?，AC=BC，P是?ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求?BPC的度数。 解:将?CPB绕点C逆时针旋转90度得到?CP'B,连接PP' 所以?CPB全等于?CP'A 所以CP=CP' BP=P'A ?PCB=?P'CA 所以?PCB+?ACP=?P'CA+?ACP 因为角ACB等于90?所以角P'CP等于90? 在等腰直角三角形P'CP中角CP'P等于45? 因为CP=CP'=2 所以PP'等于2倍根号2 因为AP'=BP=1 AP=3 所以PP'等于根号下AP的平方减AP'的平方 PP'等于2倍根号2 所以角AP'P=90? 所以角CPB=角AP'C=角AP'P+角PP'C=90?+45?=135? 9、 如图，CD是?ABC的中线，CN=MN，求证AM=CB。 10、 (1)如图1，把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC)，取线段AE的中点M,探究线段MD,MF的关系，并加以证明。 (2)将正方形,,,,绕点,旋转任意角度后(如图3)，其他条件不变( 探究:线段,E与,,的关系，并加以说明( 解:(1)线段MD、MF的关系是MD=MF，DM?MF。 延长DM交CE于N，连结FD、FN。由正方形ABCD，得AD//BE，AD=DC，所以?DAM=?MEN。 因为AM=EM，?AMD=?E(......隐藏......)8。因为?7+?DCF=?8+?FEN=90?， 所以?DCF=?FEN，易得?DCF??NEF，所以FD=FN，?DFC=?NFE。由?CFE=90?，得?DFN=90?， 所以MD=MF，DM?MF。 11、 矩形ABCD中，AB=20，BC=10。若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，求这最小值。 解:遇到这类问题我们一般做镜像,也就是做轴对称,作B点关于AC的对称点E,连接AE交CD于F,连接CE,过E作EN垂直AB交CD于G交AC于M,连接MB,所以BM，MN,NM，EM，显然EN垂直AB时值最小( 由于CEF为直角三角形,CF=AF,CF+EF=AE=20;CE=10;所以CE=12.5,EF=7.5,直角三角形EFC斜边高EG=6,所以EN=BC+EG=16. 12、已知正方形ABCD的边长AB=k(k是正整数)，正?PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1. 将?PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、......连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置. (1)如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是?PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时，?PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索:若k=1，则?PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置. (2)若k=2，则n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置;若k=3，则 n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置. (3)请你猜测:使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系(请用含k的代数式示n). 分析:这是一道面动滚动型问题，正?PAE在滚动的过程中，第1次以点E为圆心，第2次以点P为圆心，第3次以点A为圆心第4次又以点E为圆心......，每3次成循环，而半径始终为1。而把四边形展开顶点A、B、C、D、A......，每4个成循环。故问题1转化为求3与4的最小公倍数即12;问题2中，三角形每转2次，顶点才会重合一次，故需24次;问题3中，三角形每转3，顶点A便会与四边形的下一个顶点重合，故仅需12次;总结一、二两题的规律，可归纳得出第3题的结论。 解:(1)12次(2)24次;12次(3)当k是3的倍数时，n=4k;当k不是3的倍数时，n=12k. 12、 设x、y为正实数，且X+Y=4 。 求根号下X的平方加1加上根号下Y平方加4的最小值, 解:解:令T=?(x^2+1)+?(y^2+4) 则T>0 T^2=x^2+1+y^2+4+2?(x^2+1)(y^2+4) =x^2+y^2+5+2?(x^2y^2+4x^2+y^2+4) 因为x+y=4 所以(x+y)^2=16 即x^2+y^2=16-2xy 因为x,y都是正实数 所以 4x^2+y^2?4xy(当且仅当2x=y时取等号) 所以T^2?21-2xy+2?(x^2y^2+4xy+4) =21-2xy+2?(xy+2)^2 = 25 因为T>0,所以T?5(当且仅当2x=y时取等号) 即最小值是5。(此时x=4/3,y=8/3) 13、正?ABC的边长为3厘米边长为1厘米的正 ?RPQ的顶点R与点A重合点PQ分别在ACAB上将?RPQ沿着边ABBCCA顺时针连续翻转直至点P第一次回到原来的位置则点P运动路径的长为 CM 解:在AB上翻转时，是两段半径为1，圆心角是120度的弧。 在BC上，CA上也一样。 一共6段，长为3.14*2*1*2=12.56厘米 13、 在菱形ABCD中,AD=BD=6,点E是AD上的一点,AE=2,点P是对角线BD上的一个动点,则PA+PE的最小值。