相关联的几道不等式赛题
16 中等数学
相关联的几道不等式赛题
黄宝玲
(福建省泉州市东海中学,362000)
题1设r是一个周长为1的三角形,
口、b、c为丁的三边长.证明:
舄≤a2+6:+C2+4abe<丢.①
题l中的不等式①左边是苏联的一道数
学竞赛题,右边是1990年意大利的一道数学
竞赛题.不等式①犹如母公式,可以推导出以
下5道数学竞赛题.
题2已知省、Y、彳≥0,且茗+Y+彳=1.贝H
1
o≤夥+yz+猫一2xyz<一者.
收稿日期:2008—08—10
孙建斌
(福建省泉州市永春县科委。362600)
...
16 中等数学
相关联的几道不等式赛
黄宝玲
(福建省泉州市东海中学,362000)
题1设r是一个周长为1的三角形,
口、b、c为丁的三边长.
:
舄≤a2+6:+C2+4abe<丢.①
题l中的不等式①左边是苏联的一道数
学竞赛题,右边是1990年意大利的一道数学
竞赛题.不等式①犹如母公式,可以推导出以
下5道数学竞赛题.
题2已知省、Y、彳≥0,且茗+Y+彳=1.贝H
1
o≤夥+yz+猫一2xyz<一者.
收稿日期:2008—08—10
孙建斌
(福建省泉州市永春县科委。362600)
(第25届瑚O)
题3设△ABC的三边长分别为口、b、
c,且口+b+C=3.求
以口,b,c)=02+b2+c2+等口6c
的最小值.
(第三届北方数学奥林匹克邀请赛)
题4设r是一个周长为2的三角形,
石、Y、z是r的三边长.则
彬+碧≥夥+弦+崩.
(2003,爱尔兰数学奥林匹克)
题的解答.
证明:从MO牌足球外观察某一结点,若
该结点处3条丝线的颜色按逆时针方向排列
分别为1、2、3号色,则称为第一类顶点,否
则,称为第二类顶点.
设∞是1的3次开方虚根.在第一类顶
点上放数cu,在第二类顶点上放数∞2.
下面证明:这样填的数满足要求.
设某面多边形各顶点按逆时针方向排列
依次为^。,A:,⋯,
屯(如图14),边
AA+。的颜色代号
为啦(i=1,2,⋯,
k).又设A;是第£f
类顶点.
图14
贝9 t“,I耋口i一(gi+l(mod3).
予是,A;上放置的数是舻一‰.
由此可见,多边形上各数的积为
^
TT舻’ai+l=0.10=1.
苗
综上所述,命题获证.
通过上面
发现,本题可以改造为一
个只需初中知识就可解答的本质上与原题一
致的问题:
MO牌足球由若干多边形皮块用三种不
同颜色的丝线缝制而成,且满足以下条件:
(1)任何多边形皮块的一条边恰与另一
多边形皮块的同样长的一条边用同一种颜色
的丝线缝合;
(2)足球上每一结点恰好是三个多边形
的顶点,每一结点的三条丝线不同色.
求证:可以在每个结点上放置一个不为
3的倍数的数,使每个多边形所有顶点上放
置的数的和都为3的倍数,
万方数据
2009年第2期 17
题5 在△ABC中,a、b、C为其三边
长.求证:
口(b—c)2+b(C一口)2+C(口一b)2+4abc
>a3+b3+c3.
此题是匈牙利数学竞赛题,见文[1].
题6在△ABC中,a、b、c为其三边
长,且满足o+b+c=2.求证:
02+b2+c2+2口6c<2.
(1990,匈牙利数学奥林匹克)
首先指出,题1中的o、b、c可放宽为任
意正数;题2.题5中的口、i、。同样可放宽
为正数,甚至更放宽为非负数.
下面进行推证.
题1一题2:注意到
石2+Y2+z2=1—2(巧+yz+猫),
得芴13<~x2+),2+:2+4彬
=1—2(xy+yz+搿)+4xyz,
整理得题2.
题l一题3:在变换
(。,6,c)一(詈,ib,詈),
即口"4-b+c=k下,由
。2+62+c2+姚≥易,
得(乎)2+(÷)2+(手)2+。(手)(÷)(手);百13.
即||}(n2+62+c2)+4如≥男l|}3.
取k=3,得
3(口2+62+c2)+4幽≥芴13×33.
两边除以3得
a2+b2+c2+导幽≥萼,
这便是题3(14、值萼).
题1一题4:由题1及公式
k(x2+y2+z2)+4彬≥努,
取k=2及
后2=磐=(戈2+y2+石2)+2(xy+yz+厦),
得2[22—2(叫+yz+筋)]+4彬≥男×23,
即2一(叫+yz+麒)+彬≥豸.
从而,xyz+雾≥形+yz+弘.
此为题4.
题1一题5:题1中不等式①的右边的齐
次化形式为
n2+b2+c2+4abc<去(口+b+c)3,
与题5所证不等式可同样化为同一种形式
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
>03+b3+c3+2口6c.
题1一题6:当作变换
(口,b,c)一(詈,ib,iC),
即a+b+c=k时,题1中不等式①的右边
化为
去(a2+62+c2)+昙咖<吉.,c 托 二
取k=2,即
可1(a2+62+C2)+参如<丢,
立刻化为题6.
显见,两个题目是相互等价的.
读者不难找到更多的例子.
通过本文,此类数学竞赛题的编题与解
题关系看得十分清晰,不但有利于读者解题,
也有利于读者编题.
参考文献:
[1]方明.证明三角形不等式的一种方法[J].数学通
报。1998(5).
万方数据
相关联的几道不等式赛题
作者: 黄宝玲, 孙建斌, HUANG Bao-ling, SUN Jian-bin
作者单位: 黄宝玲,HUANG Bao-ling(福建省泉州市东海中学,362000), 孙建斌,SUN Jian-bin(福建省
泉州市永春县科委,362600)
刊名: 中等数学
英文刊名: HIGH-SCHOOL MATHEMATICS
年,卷(期): 2009(2)
参考文献(1条)
1.方明 证明三角形不等式的一种方法 1998(05)
本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx200902004.aspx
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