相关联的几道不等式赛题

16 中等数学 相关联的几道不等式赛题 黄宝玲 (福建省泉州市东海中学，362000) 题1设r是一个周长为1的三角形， 口、b、c为丁的三边长．证明： 舄≤a2+6：+C2+4abe<丢．① 题l中的不等式①左边是苏联的一道数 学竞赛题，右边是1990年意大利的一道数学 竞赛题．不等式①犹如母公式，可以推导出以 下5道数学竞赛题． 题2已知省、Y、彳≥0，且茗+Y+彳=1．贝H 1 o≤夥+yz+猫一2xyz<一者． 收稿日期：2008—08—10 孙建斌 (福建省泉州市永春县科委。362600) (第25届瑚O) 题3设△ABC的三边长分别为口、b、 c，且口+b+C=3．求 以口，b，c)=02+b2+c2+等口6c 的最小值． (第三届北方数学奥林匹克邀请赛) 题4设r是一个周长为2的三角形， 石、Y、z是r的三边长．则 彬+碧≥夥+弦+崩． (2003，爱尔兰数学奥林匹克) 题的解答． 证明：从MO牌足球外观察某一结点，若 该结点处3条丝线的颜色按逆时针方向排列 分别为1、2、3号色，则称为第一类顶点，否 则，称为第二类顶点． 设∞是1的3次开方虚根．在第一类顶 点上放数cu，在第二类顶点上放数∞2． 下面证明：这样填的数满足要求． 设某面多边形各顶点按逆时针方向排列 依次为^。，A：，⋯， 屯(如图14)，边 AA+。的颜色代号 为啦(i=1，2，⋯， k)．又设A；是第￡f 类顶点． 图14 贝9 t“，I耋口i一(gi+l(mod3)． 予是，A；上放置的数是舻一‰． 由此可见，多边形上各数的积为 ^ TT舻’ai+l=0．10=1． 苗 综上所述，命题获证． 通过上面分析发现，本题可以改造为一 个只需初中知识就可解答的本质上与原题一 致的问题： MO牌足球由若干多边形皮块用三种不 同颜色的丝线缝制而成，且满足以下条件： (1)任何多边形皮块的一条边恰与另一 多边形皮块的同样长的一条边用同一种颜色 的丝线缝合； (2)足球上每一结点恰好是三个多边形 的顶点，每一结点的三条丝线不同色． 求证：可以在每个结点上放置一个不为 3的倍数的数，使每个多边形所有顶点上放 置的数的和都为3的倍数， 万方数据 2009年第2期 17 题5 在△ABC中，a、b、C为其三边 长．求证： 口(b—c)2+b(C一口)2+C(口一b)2+4abc >a3+b3+c3． 此题是匈牙利数学竞赛题，见文[1]． 题6在△ABC中，a、b、c为其三边 长，且满足o+b+c=2．求证： 02+b2+c2+2口6c<2． (1990，匈牙利数学奥林匹克) 首先指出，题1中的o、b、c可放宽为任 意正数；题2．题5中的口、i、。同样可放宽 为正数，甚至更放宽为非负数． 下面进行推证． 题1一题2：注意到 石2+Y2+z2=1—2(巧+yz+猫)， 得芴13<～x2+)，2+：2+4彬 =1—2(xy+yz+搿)+4xyz， 整理得题2． 题l一题3：在变换 (。，6，c)一(詈，ib，詈)， 即口"4-b+c=k下，由 。2+62+c2+姚≥易， 得(乎)2+(÷)2+(手)2+。(手)(÷)(手)；百13． 即||}(n2+62+c2)+4如≥男l|}3． 取k=3，得 3(口2+62+c2)+4幽≥芴13×33． 两边除以3得 a2+b2+c2+导幽≥萼， 这便是题3(14、值萼)． 题1一题4：由题1及公式 k(x2+y2+z2)+4彬≥努， 取k=2及 后2=磐=(戈2+y2+石2)+2(xy+yz+厦)， 得2[22—2(叫+yz+筋)]+4彬≥男×23， 即2一(叫+yz+麒)+彬≥豸． 从而，xyz+雾≥形+yz+弘． 此为题4． 题1一题5：题1中不等式①的右边的齐 次化形式为 n2+b2+c2+4abc<去(口+b+c)3， 与题5所证不等式可同样化为同一种形式 a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b) >03+b3+c3+2口6c． 题1一题6：当作变换 (口，b，c)一(詈，ib，iC)， 即a+b+c=k时，题1中不等式①的右边 化为 去(a2+62+c2)+昙咖<吉．，c 托 二 取k=2，即 可1(a2+62+C2)+参如<丢， 立刻化为题6． 显见，两个题目是相互等价的． 读者不难找到更多的例子． 通过本文，此类数学竞赛题的编题与解 题关系看得十分清晰，不但有利于读者解题， 也有利于读者编题． 参考文献： [1]方明．证明三角形不等式的一种方法[J]．数学通 报。1998(5)． 万方数据 相关联的几道不等式赛题 作者： 黄宝玲， 孙建斌， HUANG Bao-ling， SUN Jian-bin 作者单位： 黄宝玲,HUANG Bao-ling(福建省泉州市东海中学,362000)， 孙建斌,SUN Jian-bin(福建省 泉州市永春县科委,362600) 刊名： 中等数学 英文刊名： HIGH-SCHOOL MATHEMATICS 年，卷(期)： 2009(2) 参考文献(1条) 1.方明 证明三角形不等式的一种方法 1998(05) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx200902004.aspx