空间中直线与直线之间的位置关系

空间中直线与直线之间的位置关系  一、选择题 1．已知异面直线a，b分别在平面α、β内，且α∩β＝c,那么直线c一定（ ） A．与a、b都相交； B．只能与a、b中的一条相交； C．至少与a、b中的一条相交； D．与a、b都平行． 2、若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则 a和c的位置关系是（ ） A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ） A．一定平行 B．一定相交 C．一定异面 D．相交或异面 4．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 5．三条直线两两垂直，那么在下列四个结论中，正确的结论共有（ ） ①这三条直线必共点；②其中必有两知是异面直线；③三条直线不可能共面；④其中必有两条在同一平面内． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．空间四边形的两条对角线互相垂直，顺次连结四边中点的四边形一定是（ ） A．空间四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 二．填空题 7．和两条异面直线中的一条相交的直线与另一条的位置关系是____________． 8．在长方体ABCD—A1B1C1D1中AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，则异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值为__________． 9．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别是AC、BD的中点，且EF＝，则AB与CD所成的角为__________． 10．已知直线a、b、c(a，直线a′、b′、c′是两两异面的三直线，且a∥a′，b∥b′，c∥c′，若a′、b′、c′，两两所成的角均等于θ，则θ＝____________． 11．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在直线，b平行于AC所在的直线，若cos∠BAC＝，则a，b所成的角为__________． 三、解答题 12．如图，已知平面α与平面β相交于直线m，n(β，且m∩n＝A，直线l(a且l∥m．证明n、l是异面直线． 13．已知直线a∥b，a与平面α相交于A，求证：b与平面α必相交． 14．在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，对角线BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角． 15．已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、CB、CD上的点，并且有，，试证EF、GH、BD共点或两两平行． 16．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB＝BC＝3，AA1＝4，求A1B和B1C所成角的余弦值． 四、思考题 已知异面直线a、b所成的角为60°，在过空间一定点P的直线中，与a，b所成的角均为60°的直线有多少条？过P与a、b所成角均为50°，或均为70°的直线又各有多少呢？ 希望读者通过对上述三个具体问题的求解，总结解题，然后再探讨关于与异面直线成等角的直线的存在性问题的一般性情况： 已知异面直线a，b所成的角为θ0且θ0＜90°，过空间一点P的直线中与a，b所成的角均为θ的直线有多少条？   参考   一、选择题 1．C 2．D 3．D 4．D 5．D 6．B 二、填空题 7．相交、平行或异面；8．；9．60°；10．60°；11．30° 三、解答题 12．证明：若n、l共面，设该平面为(， ∵A∈n，n((，∴A∈(． 又∵l((，∴平面(经过点A和直线l， ∴平面(与α重合． 由于α与(重合，且m((，∴平面(经过直线m和n． ∵m与n是相交直线， ∴(与β也重合，于是α与β重合，这就与条件α∩β＝m矛盾，故假设不成立． ∴n、l是异面直线． 13．证明：∵a∥b，∴a，b可确定平面β， ∵A∈a(β，∴A是α与β的公共点． ∴α与β相交，设α∩β＝l，则A∈l， ∴a∩l＝A．∴在平面β内b与l必相交， ∴b与α必相交，交点即为b与l的交点． 14．证明：AB、CD、AD的中点E、G、F，连接EF、FG、GE，则∠EFG或其补角为异面直线BD、AC所成的角，且EF＝BD＝，FG＝AC＝，再取AC的中点H，则EH∥BC，HG∥AD， ∵AD⊥BC，∴EH⊥HG， ∴EG2＝EH2＋HG2＝1．在△EFG中，EG2＝EF2＋FG2＝1， ∴∠EFG＝90°，∴AC与BD所成的角为90°． 15．证明：如图，连AC、EG、FH，在△ABC中， ∵＝， ∴EG∥AC．同理FH∥AC，于是根据公理4可知：EG∥FH． ∴E、F、H、G四点共面于α，于是EF与HG只有相交与平行两种可能． （Ⅰ）若EF与HG相交，设交点为P，则P∈EF(平面ACD． ∴P∈平面ACD，同理可知：P∈平面BCD． ∴P是平面ABD与平面BCD的公共点． ∴两平面的交线BD必过P点． ∴FE、GH、BD共点． （Ⅱ）若EF与HG平行，则必有EF∥BD． ∵EF、BD(平面ABD， ∴若EF与BD不平行，则EF与BD就相交，设交点为Q，则EF(平面EFHG，Q∈BD(平面BDC， ∴Q是平面EFHG与平面BDC的公共点． 又∵HG是这两个平面的交线， ∴Q∈HG， ∴EF∩HG＝Q． 这就与EF∥HG相矛盾，故假设错误． ∴EF∥BD． 同理可证：HG∥BD．故由公理4知：EF、HG、BD两两平行． 16．解：如图，连接A1D，BC，由长方体性质易知，A1D∥B1C， ∴∠DA1B即为A1B与B1C所成角或其补角． 由题设易求A1D＝5，A1B＝5，BD＝． ∴cos∠DA1B＝＝＝． ∴A1B与B1C所成角的余弦值为． 四、思考题 解：①3条；②2条；③4条． ④如图10，过点P分别作异面直线a、b的平行线a′、b′． 设l1、l2是a′、b′确定α内，由a′、b′所成角的角平分直线． 于是，当θ＜时，满足条件的直线不存在； 当θ＝时，满足条件的直线仅有一条，就是l1； 当＜θ＜90°－时，满足条件的直线有2条； 当θ＝90°－时，满足条件的直线有3条； 当90°－＜θ＜90°时，满足条件的直线有4条； 当θ＝90°时，满足条件的直线仅有1条．