2022年江苏省高考压轴卷-数学

PAGEPAGE14绝密★启用前2012年江苏省高考压轴卷数学试题注　意　事　项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题1、本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。本试卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。5、如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。第Ⅰ卷（必做题，共160分）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合若,则为___▲__.2.若命题“”是真命题，则实数的取值范围是▲3.在棱长为2的正方体中，点为底面的中心，在正方体内随机取一点，则点到点的距离大于1的概率为▲.4.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为▲．5.已知，,则=___▲_____.6．已知实数满足不等式组，则的最小值为▲.7.按下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000.在样本中记月收入在，,的人数依次为、、……、．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法，则样本的容量▲；图乙输出的▲．（用数字作答）8.已知直线、，平面、,给出下列命题:①若，且，则②若，且，则③若，且，则④若，且，则其中正确的命题的个数为_▲_.9.若函数则f（x）的单调递增区间是▲.10.如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第10行第4个数（从左往右数）为▲11．设函数的图象在x=1处的切线为l，则圆上的点到直线l的最短距离为▲.CyxOAB（第12题）12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E：（）的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆E的离心率等于▲.13.当时，恒成立，则实数的取值范围是___▲________．14.已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值是▲．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）已知复数,,且．（1）若且，求的值；（2）设＝，已知当时，，试求的值．16．(本小题满分14分)如图，已知空间四边形中，，是的中点．求证：（1）平面CDE；（2）平面平面．AEDBCG（3）若G为的重心,试在线段AE上确定一点F,使得GF//平面CDE．17．（本小题满分14分）如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径，，与之间的夹角为.（1）将图书馆底面矩形的面积表示成的函数.ABCDMOPQF（2）求当为何值时，矩形的面积有最大值？其最大值是多少？(用含R的式子表示)18.(本小题满分16分)已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点任意作直线（与轴不垂直），设与（1）中轨迹交于两点，与轴交于点．若，，证明：为定值．19．(本小题满分16分)设数列的通项是关于x的不等式　的解集中整数的个数.（1）求并且证明是等差数列；（2）设m、k、p∈N*，m+p=2k，求证：＋≥；（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数（1）试判断当的大小关系；（2）求证：；（3）设、是函数的图象上的两点，且，证明：第Ⅱ卷（附加题，共40分）21.A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，在梯形中，∥BC，点，分别在边，上，设与相交于点，若，，，四点共圆，求证：．GFEDCBA（第21—A题）B．（选修４－２：矩阵与变换）已知M=，试计算C．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知圆和直线。（1）求圆和直线的直角坐标方程；（2）当时，求直线与圆公共点的极坐标。D．（选修４－５：不等式选讲）求函数最大值.22.（本小题满分10分）某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立.又知电梯只在有人下时才停止.（Ⅰ）求某乘客在第层下电梯的概率；（Ⅱ）求电梯在第2层停下的概率；（Ⅲ）求电梯停下的次数的数学期望.23.（本小题满分10分）设数列{n}满足1＝，n＋1＝n2＋1，．(Ⅰ)当∈(－∞,－2)时，求证：M；(Ⅱ)当∈(0,］时，求证：∈M；(Ⅲ)当∈(,＋∞)时，判断元素与集合M的关系，并证明你的结论．2012年江苏省高考压轴卷数学试题（参考答案）一、填空题1234567（3，+∞）（－∞，－1）610000，60008910111213141二、解答题15.解：（1）∵∴∴--------------------------------------2分若则得-----------------------------------------------4分∵∴或∴或------------------------------------------------------------------------------------------6分（2）∵＝-----------------------------------------8分∵当时，∴，，------------------------------10分∵＝＝∴.------------------------------------------------------------14分16．证明：（1）同理，又∵∴平面．　　…………………5分（2）由（1）有平面又∵AB平面，∴平面平面．………………9分（3）连接AG并延长交CD于H，连接EH，则，在AE上取点F使得，则GF∥EH，易知GF∥平面CDE．…………………14分17．解（Ⅰ）由题意可知，点M为的中点，所以.设OM于BC的交点为F，则，..所以，.（Ⅱ）因为，则.所以当，即时，S有最大值..故当时，矩形ABCD的面积S有最大值.18.解：（1）设，，．∵是线段的中点，∴………2分∵分别是直线和上的点，∴和．∴…………4分又，∴．…………5分∴，∴动点的轨迹的方程为．…………8分（2）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为．设、、，则两点坐标满足方程组消去并整理，得，…………10分∴，①．②………12分∵，∴．即∴．∵与轴不垂直，∴，∴，同理．………14分∴．将①②代入上式可得．…………16分19．解：（1）不等式即解得：，其中整数有2n-1个　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………3分由通项公式可得：，所以数列是等差数列…………………4分（2）由（1）知，∴Sm=m2，Sp=p2，Sk=k2．由w≥=0，即≥．………………………………………………………………10分（3）结论成立，证明如下：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则，∵，把代入上式化简得=≥0，∴Sm+Sp≥2Sk．又=≤，∴≥．故原不等式得证．………………………………………………………………16分20．（1）解：设则由时，取得最小值为即…………5分（2）证明：由（1）知令则……7分…………10分（3）证明：，于是，，以下证明等价于。令…………12分则，在上，所以当即从而，得到证明。对于同理可证。所以…………16分另法：（3）证明：，于是，，以下证明。只要证：，即证：设：，…………12分，上为减函数，，，即。同理可证：所以…………16分第Ⅱ卷（附加题，共40分）21.A．证明：连结EF，∵四点共圆，∴……………2分∵∥，∴180°，∴180°…………6分∴四点共圆…………8分∵交于点G，∴……10分B．解：矩阵M的特征多次式为，对应的特征向量分别为和，而，所以C．解：（1）圆，即圆的直角坐标方程为：，即直线，即则直线的直角坐标方程为：，即。（2）由得故直线与圆公共点的一个极坐标为。D．解：因为≤∴≤…8分，当且仅当时取“”号，即当时，22.解：（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅲ）可取1、2、3、4四种值；；；故的分别列如下表：1234∴23.证明：（1）如果，则，．………………………………2分（2）当时，（）．事实上，当时，．设时成立（为某整数），则对，．由归纳假设，对任意n∈N*，|an|≤＜2，所以a∈M．…………………6分（3）当时，．证明如下：对于任意，，且．对于任意，，则．所以，．当时，，即，因此.10分