【免费】【内部资料】1-3-5(10年秋)换元法.题库版
1-3-5.换元法.题库 教师版 page 1 of 5
对于六年级的同学来说,分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握.这既与基础课程进度结合,
更是小学奥数经典内容.裂项、换元与通项归纳这三项内容,通称“分数计算之三大绝招”.考察近年来的
小升初计算部分,分数计算成为热点.可以这么说:“一道非常难的分数运算,要么是裂项,要么是换元,
要么是通项归纳.如...
1-3-5.换元法.题库 教师版 page 1 of 5
对于六
的同学来说,分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握.这既与基础课程进度结合,
更是
奥数经典内容.裂项、换元与通项归纳这三项内容,通称“分数计算之三大绝招”.考察近年来的
小升初计算部分,分数计算成为热点.可以这么说:“一道非常难的分数运算,要么是裂项,要么是换元,
要么是通项归纳.如果都不是,那它一定是比较简单的分数小数混合运算.”
三、换元思想
解数学题时,把某个式子看成一个整体,用另一个量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换
元的实质是转化,将复杂的式子化繁为简.
【例 1】 计算:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1 ) ( ) (1 ) ( )
2 4 2 4 6 2 4 6 2 4
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 令
1 1 1
1
2 4 6
a ,
1 1 1
2 4 6
b ,则:
原式
1 1
( ) ( )
6 6
a b a b
1 1
6 6
ab b ab a
1
( )
6
a b
1 1
1
6 6
【
】
1
6
【巩固】
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1 ) ( ) (1 ) ( )
2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 设
1 1 1
2 3 4
a ,则原式化简为:
1 1 1
1 (1
5 5 5
a a a a( + )( + )- + )=
【答案】
1
5
【巩固】 计算:
621 739 458 739 458 378 621 739 458 378 739 458
126 358 947 358 947 207 126 358 947 207 358 947
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 令
621 739 458
126 358 947
a ;
739 458
358 947
b ,
换元法
教学目标
例题精讲
1-3-5.换元法.题库 教师版 page 2 of 5
原式
378 378
207 207
a b a b
378 621 378
9
207 126 207
a b
【答案】9
【巩固】 计算:( 0.1 0.21 0.321 0.4321 ) ( 0.21 0.321 0.4321 0.54321 )
( 0.1 0.21 0.321 0.4321 0.54321 ) ( 0.21 0.321 0.4321 )
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 设 0.21 0.321 0.4321x , 0.21 0.321 0.4321 0.54321y ,
原式 ( 0.1 x ) y ( 0.1 y ) 0.1x ( y x ) 0.054321
【答案】0.054321
【巩固】 计算下面的算式
( 7.88 6.77 5.66 ) ( 9.31 10.98 10 ) ( 7.88 6.77 5.66 10 ) ( 9.31 10.98 )
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2007年,希望杯,2试
【解析】 换元的思想即“打包”,令 7.88 6.77 5.66a , 9.31 10.98b ,则原式 a ( 10b ) ( 10a )
b ( 10ab a ) ( 10ab b ) 10 10 10ab a ab b ( a b )
10 ( 7.88 6.77 5.66 9.31 10.98 ) 10 0.02 0.2
【答案】0.2
【巩固】 (1 0.12 0.23) (0.12 0.23 0.34) (1 0.12 0.23 0.34) (0.12 0.23) ____ 。
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2008年,希望杯,第六届,六年级,二试
【解析】 设 0.12 0.23 a ,0.12 0.23 0.34 b
原式 1 1 0.34a b b a b a
【答案】0.34
【巩固】 计算:⑴ (1 0.45 0.56 ) ( 0.45 0.56 0.67 ) (1 0.45 0.56 0.67 ) ( 0.45 0.56 )
⑵
621 739 458 739 458 378 621 739 458 378
126 358 947 358 947 207 126 358 947 207
739 458
358 947
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】迎春杯
【解析】 ⑴ 该题相对简单,尽量凑相同的部分,即能简化运算.设 0.45 0.56a , 0.45 0.56 0.67b ,
有原式 (1 a ) b (1 b ) 0.67a b ab a ab b a
⑵ 设
621 739 458
126 358 947
a
,
739 458
358 947
b
原式
378 378 378 621 378
( ) 9
207 207 207 126 207
a b a b a b
【答案】⑴0.67 ⑵9
【巩固】 计算:
5 7 3 7 3 4 5 7 3 4 7 3
( )
12 32 17 32 17 13 12 32 17 13 32 17
= 。
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2007年,第五届,走美杯,初赛,六年级
1-3-5.换元法.题库 教师版 page 3 of 5
【解析】 设
5 7 3
12 32 17
a 、
7 3
32 17
b ,则有
4 4
13 13
4 4 4
( )
13 13 13
4 5 5
13 12 39
a b a b
a b a b
原式
【答案】
5
39
【例 2】 计算:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
2 2007 2 3 2008 2 2008 2 3 2007
【考点】换元法 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 令
1 1 1
2 3 2007
a ,
1 1 1
2 3 2008
b ,
原式
1
1 1
2008
a b b a b ab a ab b a
【答案】
1
2008
【巩固】
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
11 21 31 41 21 31 41 51 11 21 31 41 51 21 31 41
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 设
1 1 1 1
11 21 31 41
a ,
1 1 1
21 31 41
b ,
原式
1 1
51 51
a b a b
1 1
51 51
ab a ab b
1
( )
51
a b
1 1 1
51 11 561
【答案】
1
561
【巩固】 计算
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ) ( )
5 7 9 11 7 9 11 13 5 7 9 11 13 7 9 11
( ) (
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2008年,清华附中
【解析】 设
1 1 1 1
5 7 9 11
A ,
1 1 1
7 9 11
B ,
原式
1 1
13 13
A B A B
1 1
13 13
A B A A B B
1
13
A B
1 1 1
13 5 65
1-3-5.换元法.题库 教师版 page 4 of 5
【答案】
1
65
【巩固】 计算
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 设
1 1 1 1
1
2 3 4 5
A ,
1 1 1 1
2 3 4 5
B
原式
1 1
6 6
A B A B
1 1
6 6
A B A A B B
1 1
6 6
A B
1
6
( A B )
1
6
【答案】
1
6
【例 3】 计算:
2
1 2 3 9 1 2 3 9 1 1 2 9 2 3 9
1
2 3 4 10 2 3 4 10 2 2 3 10 3 4 10
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】迎春杯
【解析】 设
1 2 3 9
2 3 4 10
t ,则有 2 2 2
1 1 1 1 1
(1 )
2 2 2 2 2 2
t
t t t t t t t t
【答案】
【例 4】 计算
1 1
1 1
2 1
1 1
3 1
1 1
4 3
1 1
4
12009
2009
【考点】换元法 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 设 3N
1
1
4
1
2009
. 原式=
1
1
2
N
+
1
1
1
1
1
N
=
1
2 1N
N
+
1
1
1
N
N
=
1
1
2 1 2 1
N N
N N
.
【答案】1
【例 5】 计算:
22 2
2 2
8 11 8 11 8 11 1 1
1
11 8 11 8 11 8 8 11
【考点】换元法 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 (法一)设
8
11
x ,则原式
2
2
1 1
88
1 1 1
1 2
88
x x
x x
x x
x x
.
(法二)设
8 11
11 8
x ,那么
2 2
2
2 2
8 11
2
11 8
x ,所以
2 2
2
2 2
8 11
2
11 8
x .
1-3-5.换元法.题库 教师版 page 5 of 5
而
2
2 2 2 2
1 1 1 1 2 8 11 8 11 1 1 1
2 2
8 11 8 11 8 11 8 11 88 88
x
x
.
这样原式转化为
2 2
2
2 2
88 88
1 2
1 2
88
x x x x
x x
x x
.
在这里需要老师对于 a b c d a b c a b d ac bc ad bd 的计算进行简单的
说明.
【答案】88
【例 6】 计算:
22010
2009 2011 1
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 设 a 2009,
原式
2 2
2
1) 2 1
1
+2 1 2 1
a a a
a a a a
(
( )
【答案】1
【巩固】 计算
2008 2009 2007
2008 2009 1
(4级)
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 设 2008a
原式
( 1)( 1)
( 1) 1
a a a
a a
2
2
1
1
1
a a
a a
【答案】1
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