正方形中的45度角[1]
正方形中的45度角
5. (2012江苏宿迁12分)(1)如图1,在?ABC中,BA=BC,D,E是AC边上的两点,且满
11足?DBE=?ABC(0?,?CBE,?ABC)。以点B为旋转中心,将?BEC按逆时针方向旋转22
?ABC,得到?BE’A(点C与点A重合,点E到点E’处),连接DE’。求证:DE’=DE. (2)如图2,在?ABC中,BA=BC,?ABC=90?,D,E是AC边上的两点,
1222且满足?DBE=?ABC(0?,?CBE,45?).求证:DE=AD+EC. 2
【
】证明:(1)??BE’A是?BEC按逆时针方向旋转?ABC得到,
?BE’=BE,?E’BA=?EBC。
11 ??DBE=?ABC,??ABD,?EBC =?ABC。 22
11 ??ABD,?E’BA =?ABC,即?E’BD=?ABC。??E’BD=?DBE。 22
在?E’BD和?EBD中,?BE’=BE,?E’BD=?DBE,BD=BD,
??E’BD??EBD(SAS)。?DE’=DE。
(2)以点B为旋转中心,将?BEC按逆时针方向旋转
?ABC=90?,得到?BE’A(点C与点A重合,点E到点E’处),连
接DE’。
由(1)知DE’=DE。
由旋转的性质,知E’A=EC,?E’ AB=?ECB。
又?BA=BC,?ABC=90?,??BAC=?ACB=45?。
??E’ AD=?E’ AB,?BAC=90?。
222222 在Rt?DE’A中,DE’=AD+E’A,?DE=AD+EC。 【考点】旋转的性质,等腰(直角)三角形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理。
1【分析】(1)由旋转的性质易得BE’=BE,?E’BA=?EBC,由已知?DBE=?ABC经等量2代换可得
?E’BD=?DBE,从而可由SAS得?E’BD??EBD,得到DE’=DE。
(2)由(1)的启示,作如(1)的辅助图形,即可得到直角三角形DE’A,根据勾股定理即可证得结论。
2. (2012宁夏区8分)正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且?EDF=45?。将?DAE绕点D逆时针旋转90?,得到?DCM。
(1)求证:EF=FM
(2)当AE=1时,求EF的长。
【答案】 解:(1) 证明:??DAE逆时针旋转90?得到?DCM,?DE=DM,?EDM=90?。
??EDF + ?FDM=90?。
??EDF=45?,??FDM =?EDF=45?。
?DF= DF ,??DEF??DMF(SAS)。?EF=MF。
(2)设EF=x 。
?AE=CM=1 ,? BF=BM,MF=BM,EF=4,x 。
222? EB=2,?在Rt?EBF中,由勾股定理得,即EBBFEF,,
222 2(4x)x,,,
5解得, 。 x,2
5?EF的长为。 2
【考点】正方形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理, 【分析】(1)由旋转可得DE=DM,?EDM为直角,可得出?EDF+?MDF=90?,由?EDF=45?,
得到?MDF为45?,可得出?EDF=?MDF,再由DF=DF,利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等,由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF。
(2)由(1)的全等得到AE=CM=1,正方形的边长为3,用AB,AE求出EB的长,再由BC+CM求出BM的长,设EF=MF=x,可得出BF=BM,FM=BM,EF=4,x,在Rt?EBF中,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为EF的长。 3. (2012广东珠海7分) 如图,把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45?得到正方形A′B′CD′(此时,点B′落在对角线AC上,点A′落在CD的延长线上),A′B′交AD于点E,连接AA′、CE(
求证:(1)?ADA′??CDE;
(2)直线CE是线段AA′的垂直平分线(
【答案】证明:(1)?四边形ABCD是正方形,?AD=CD,?ADC=90?。??A′DE=90?。
根据旋转的
可得:?EA′D=45?,??A′ED=45?。?A′D=DE。
?在?AD A′和?CDE中,AD=CD,?EDC=?A′DA=90?,A′D=DE,
??ADA′??CDE(SAS)。
(2)?AC=A′C,?点C在AA′的垂直平分线上。
?AC是正方形ABCD的对角线,??CAE=45?。
?AC=A′C,CD=CB′,?AB′=A′D。
?在?AEB′和?A′ED中,?EAB′=?EA′D,?AEB′=?A′ED,AB′=A′D,
??AEB′??A′ED(AAS)。?AE=A′E。
?点E也在AA′的垂直平分线上。?直线CE是线段AA′的垂直平分线。 【考点】正方形的性质,旋转的性质,等腰三角形的判定,全等三角形的判定和性质,线段垂直平分线的判定。
【分析】(1)根据正方形的性质可得AD=CD,?ADC=90?,?EA′D=45?,则?A′DE=90?,
再计算出?A′ED=45?,根据等角对等边可得AD=ED,即可利用SAS证明?AA′D??CED。
(2)首先由AC=A′C,可得点C在AA′的垂直平分线上;再证明?AEB′??A′ED,可得AE=A′E,从而得到点E也在AA′的垂直平分线上,根据两点确定一条直线可得直线CE是线段AA′的垂直平分线。
(2011湖北咸宁,22,10分)
(1)如图?,在正方形ABCD中,?AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求的度数( ,EAF
,BAD,90:(2)如图?,在Rt?ABD中,,,点M,N是BD边上的任意AB,AD
,MAN,45:90:NH两点,且,将?ABM绕点A逆时针旋转至?ADH位置,连接,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由(
A
D B
E G F
C
(图?)
A
H
B M N D
(图?)
EG,4(3)在图?中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若,
GF,6,,求AG,MN的长( BM,32
AB,AG【答案】(1)在Rt?ABE和Rt?AGE中,,, AE,AE
,BAE,,GAE??ABE??AGE( ?( ???????????????????????????????????????????????????????1分
,GAF,,DAF同理,(
1?( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分 ,EAF,,BAD,45:2222(2)MN,ND,DH( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3分
,BAM,,DAN,45:?,, ,BAM,,DAH
,HAN,,DAH,,DAN,45:,HAN,,MAN?( ?(
AN,AN又?,, AM,AH
MN,HN??AMN??AHN( ?( ????????????????????????????????????????????????????????????????5分 ,BAD,90:?,, AB,AD
,ABD,,ADB,45:,HDN,,HDA,,ADB,90:?( ?(
222222NH,ND,DHMN,ND,DH?( ?( ??????????????????????????????????????6分
BE,EGDF,FG(3)由(1)知,,(
A AG,xCE,x,4CF,x,6设,则,(
222CE,CF,EF?,
222?( (x,4),(x,6),10M N D B 解这个方程,得,(舍去负根)( x,12x,,212E F AG,12G ?( ???????????????????????????????????????????????????????????8分
222BD,AB,AD,2AG,122?( C 222MN,ND,DH在(2)中,,, BM,DH(图?) 222MN,ND,BM?( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9分
222MN,a设,则( a,(122,32,a),(32)
a,52MN,52?(即( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分 【思路分析】(1)根据正方形的每个内角是直角,利用“HL”证明?ABE??AGE,
1,,,EAFBAD?AFG??AFD,从而得出;(2)利用旋转过程前后的两个图形全等,得2
到对应边、对应角相等,从而为证明?AMN??AHN做好了足够铺垫.将线段MN的长转移
为HN的长,从而将三条线段集中于Rt?HDN中.(3)利用(1)的结论求出AG的长,进
而得出BD的长.利用(2)的结论求出MN的长.
【方法规律】(1)当条件中没有给出角的度数而要求角的度数时,往往将问
转化为三角形的内角和问题、四边形的内角和问题、平行线的同旁内角问题、平行线同旁内角的角平分夹角问题、邻补角的平分线夹角问题、直角三角形的问题、矩形、正方形的内角问题.(2)当条件中提供的边、角关系较多时一般考虑证明三角形全等;(3)平移、旋转、轴对称对应了图形的全等,里面有太多的边、角相等问题,在证明中要仔细挖掘;(3)如果一个题目有三个问号,前面的问号往往是后面问号解决的跳板,要注意利用前面的结论及时起跳,不要解决最后一个问号时重起炉灶,浪费时间.
【易错点分析】因为找不到?HDN=90?而无法判断三条线段的关系.第(3)问不能很
好的与第(2)问发生对接,使线段MN的长计算受阻.
【关键词】正方形、等腰直角三角形、旋转、三角形全等、勾股定理以及逆定理
【推荐指数】?????
【题型】常规题,新题,好题,难题操作题,阅读题,压轴题
(2012山东东营10分)
(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF,BE(求证:CE,CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果?GCE,45?,请你利用(1)的结论证明:GE,BE,GD(
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在直角梯形ABCD中,AD?BC(BC,AD),?B,90?,AB,BC,E是AB上一点,且?DCE,45?,BE,4,DE=10, 求直角梯形ABCD的面积(
【答案】解:(1)证明:在正方形ABCD中,?BC,CD,?B,?CDF,BE,DF,
??CBE??CDF(SAS)。?CE,CF。
(2)证明: 如图,延长AD至F,使DF=BE(连接CF。
由(1)知?CBE??CDF,
??BCE,?DCF。
??BCE,?ECD,?DCF,?ECD,
即?ECF,?BCD,90?。
又?GCE,45?,??GCF,?GCE,45?。
?CE,CF,?GCE,?GCF,GC,GC,
??ECG??FCG(SAS)。?GE,GF,
GE,DF,GD,BE,GD。 ?
(3)如图,过C作CG?AD,交AD延长线于G(
在直角梯形ABCD中,?AD?BC,??A,?B,90?。
又?CGA,90?,AB,BC,
?四边形ABCD 为正方形。 ?AG,BC。
已知?DCE,45?,
根据(1)(2)可知,ED,BE,DG。
?10=4+DG,即DG=6。
设AB,x,则AE,x,4,AD,x,6,
222222在Rt?AED中,?DE=AD,AE,即10=(x,6),(x,4)。
解这个方程,得:x=12或x=,2(舍去)。
?AB=12。
11?。 ()()SADBCAB61212108,,,,,,,,梯形ABCD22
?梯形ABCD的面积为108。
【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,直角梯形。 【分析】(1)由四边形是ABCD正方形,易证得?CBE??CDF(SAS),即可得CE=CF。
(2)延长AD至F,使DF=BE,连接CF,由(1)知?CBE??CDF,易证得?ECF=?BCD=90?,又由?GCE=45?,可得?GCF=?GCE=45?,即可证得?ECG??FCG,从而可得GE=BE+GD。
(3)过C作CG?AD,交AD延长线于G,易证得四边形ABCG为正方形,由(1)(2)可知,ED=BE+DG,即可求得DG的长,设AB=x,在Rt?AED中,由勾股定理DE2=AD2+AE2,可得方程,解方程即可求得AB的长,从而求得直角梯形ABCD的面积。
123((2010年南充市)如图,?ABC内接于?O,AD?BC,OE?BC, OE,BC( 2(1)求?BAC的度数(
(2)将?ACD沿AC折叠为?ACF,将?ABD沿AB折叠为?ABG,延长FC和GB相交于点H(求证:四边形AFHG是正方形(
(3)若BD,6,CD,4,求AD的长(
A A
O O G G
F F
B B E C E C D D
H H 答案:
(1)解:连结OB和OC(
? OE?BC,? BE,CE(
1? OE,BC,? ?BOC,90?,? ?BAC,45?( 2
A
O G
F
B C D E
H
(2)证明:? AD?BC,? ?ADB,?ADC,90?( 由折叠可知,AG,AF,AD,?AGH,?AFH,90?,
?BAG,?BAD,?CAF,?CAD, ? ?BAG,?CAF,?BAD,?CAD,?BAC,45?( ? ?GAF,?BAG,?CAF,?BAC,90?(
? 四边形AFHG是正方形(
(3)解:由(2)得,?BHC,90?,GH,HF,AD,GB,BD,6,CF,CD,4(
设AD的长为x,则 BH,GH,GB,x,6,CH,HF,CF,x,4(
222222在Rt?BCH中,BH,CH,BC,? (x,6),(x,4),10( 解得,x=12,x,,2(不合题意~舍去)( 12
? AD,12(
(2012山东东营10分)
(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF,BE(求
证:CE,CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果?GCE,45?,
请你利用(1)的结论证明:GE,BE,GD(
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在直角梯形ABCD中,AD?BC(BC,AD),?B,90?,AB,BC,E是AB
上一点,且?DCE,45?,BE,4,DE=10, 求直角梯形ABCD的面积(
【答案】解:(1)证明:在正方形ABCD中,?BC,CD,?B,?CDF,BE,DF,
??CBE??CDF(SAS)。?CE,CF。
(2)证明: 如图,延长AD至F,使DF=BE(连接CF。
由(1)知?CBE??CDF,
??BCE,?DCF。
??BCE,?ECD,?DCF,?ECD,
即?ECF,?BCD,90?。
又?GCE,45?,??GCF,?GCE,45?。
?CE,CF,?GCE,?GCF,GC,GC,
??ECG??FCG(SAS)。?GE,GF,
?GE,DF,GD,BE,GD。
(3)如图,过C作CG?AD,交AD延长线于G(
在直角梯形ABCD中,?AD?BC,??A,?B,90?。
又?CGA,90?,AB,BC,
?四边形ABCD 为正方形。 ?AG,BC。
已知?DCE,45?,
根据(1)(2)可知,ED,BE,DG。
?10=4+DG,即DG=6。
设AB,x,则AE,x,4,AD,x,6,
222222在Rt?AED中,?DE=AD,AE,即10=(x,6),(x,4)。
解这个方程,得:x=12或x=,2(舍去)。
?AB=12。
11?。 ()()SADBCAB61212108,,,,,,,,梯形ABCD22
?梯形ABCD的面积为108。
【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,直角梯形。 【分析】(1)由四边形是ABCD正方形,易证得?CBE??CDF(SAS),即可得CE=CF。
(2)延长AD至F,使DF=BE,连接CF,由(1)知?CBE??CDF,易证得?ECF=?BCD=90?,又由?GCE=45?,可得?GCF=?GCE=45?,即可证得?ECG??FCG,从而可得GE=BE+GD。
(3)过C作CG?AD,交AD延长线于G,易证得四边形ABCG为正方形,由(1)(2)可知,ED=BE+DG,即可求得DG的长,设AB=x,在Rt?AED中,由勾股定理DE2=AD2+AE2,可得方程,解方程即可求得AB的长,从而求得直角梯形ABCD的面积。 一、正方形内的45?角
(2012福建南平4分)如图,正方形纸片ABCD的边长为3,点E、F分别在边BC、CD上,将AB、AD分别和AE、AF折叠,点B、D恰好都将在点G处,已知BE=1,则EF的长为【 】
359A( B( C( D(3 224
【答案】B。
【考点】翻折变换(折叠问题),正方形的性质,折叠的性质,勾股定理。 【分析】?正方形纸片ABCD的边长为3,??C=90?,BC=CD=3。
根据折叠的性质得:EG=BE=1,GF=DF。
设DF=x,则EF=EG,GF=1,x,FC=DC,DF=3,x,EC=BC,BE=3,1=2。
3222222在Rt?EFC中,EF=EC,FC,即(x,1)=2,(3,x),解得:。 x,2
335?DF= ,EF=1,。故选B。 =222
(2009?益阳市)如图11,?ABC中,已知?BAC,45?,AD?BC于D,BD,2,DC,3,
求AD的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识~将图形进行翻折变换~
巧妙地解答了此题.
A
F
E
C B D
G 图11
请按照小萍的思路,探究并解答下列问题:
(1)分别以AB、AC为对称轴,画出?ABD、?ACD的轴对
称图形,D点的对称点为E、F,延长EB、FC相交于
G点,证明四边形AEGF是正方形;
(2)设AD=x,利用勾股定理,建立关于x的方程模型,求出x的值.
证明:由题意可得:?ABD??ABE,?ACD??ACF 【答案】(1)
??DAB,?EAB ,?DAC,?FAC ,又?BAC,45?,
??EAF,90?
又?AD?BC
??E,?ADB,90??F,?ADC,90?
又?AE,AD,AF,AD
?AE,AF
?四边形AEGF是正方形
(2)解:设AD,x,则AE,EG,GF,x
?BD,2,DC,3
?BE,2 ,CF,3
?BG,x,2,CG,x,3
222 在Rt?BGC中,BG,CG,BC222?( x,2),(x,3),5
2化简得,x,5x,6,0
解得x,6,x,,1(舍) 12
所以AD,x,6
(2011湖北咸宁,22,10分)
(1)如图?,在正方形ABCD中,?AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG
与正方形的边长相等,求的度数( ,EAF
,BAD,90:(2)如图?,在Rt?ABD中,,,点M,N是BD边上的任意AB,AD
,MAN,45:90:NH两点,且,将?ABM绕点A逆时针旋转至?ADH位置,连接,试判
断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由(
A
D B
E G F
C
(图?)
A
H
B M N D
(图?)
EG,4(3)在图?中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若,
GF,6,,求AG,MN的长( BM,32
AB,AG【答案】(1)在Rt?ABE和Rt?AGE中,,, AE,AE
,BAE,,GAE??ABE??AGE( ?( ???????????????????????????????????????????????????????1分
,GAF,,DAF同理,(
1?( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分 ,EAF,,BAD,45:2222(2)MN,ND,DH( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3分
,BAM,,DAN,45:?,, ,BAM,,DAH
,HAN,,DAH,,DAN,45:,HAN,,MAN?( ?(
AN,AN又?,, AM,AH
MN,HN??AMN??AHN( ?( ????????????????????????????????????????????????????????????????5分 ,BAD,90:?,, AB,AD
,ABD,,ADB,45:,HDN,,HDA,,ADB,90:?( ?(
222222NH,ND,DHMN,ND,DH?( ?( ??????????????????????????????????????6分
BE,EGDF,FG(3)由(1)知,,(
A AG,xCE,x,4CF,x,6设,则,(
222CE,CF,EF?,
222?( (x,4),(x,6),10M N D B 解这个方程,得,(舍去负根)( x,12x,,212E F AG,12G ?( ???????????????????????????????????????????????????????????8分
222BD,AB,AD,2AG,122?( C 222MN,ND,DH在(2)中,,, BM,DH(图?) 222MN,ND,BM?( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9分
222MN,a设,则( a,(122,32,a),(32)
a,52MN,52?(即( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分 【思路分析】(1)根据正方形的每个内角是直角,利用“HL”证明?ABE??AGE,
1,,,EAFBAD?AFG??AFD,从而得出;(2)利用旋转过程前后的两个图形全等,得2
到对应边、对应角相等,从而为证明?AMN??AHN做好了足够铺垫.将线段MN的长转移
为HN的长,从而将三条线段集中于Rt?HDN中.(3)利用(1)的结论求出AG的长,进
而得出BD的长.利用(2)的结论求出MN的长.
【方法规律】(1)当条件中没有给出角的度数而要求角的度数时,往往将问题转化为三角形的内角和问题、四边形的内角和问题、平行线的同旁内角问题、平行线同旁内角的角平分夹角问题、邻补角的平分线夹角问题、直角三角形的问题、矩形、正方形的内角问题.(2)当条件中提供的边、角关系较多时一般考虑证明三角形全等;(3)平移、旋转、轴对称对应了图形的全等,里面有太多的边、角相等问题,在证明中要仔细挖掘;(3)如果一个题目有三个问号,前面的问号往往是后面问号解决的跳板,要注意利用前面的结论及时起跳,不要解决最后一个问号时重起炉灶,浪费时间.
【易错点分析】因为找不到?HDN=90?而无法判断三条线段的关系.第(3)问不能很
好的与第(2)问发生对接,使线段MN的长计算受阻.
【关键词】正方形、等腰直角三角形、旋转、三角形全等、勾股定理以及逆定理
【推荐指数】?????
【题型】常规题,新题,好题,难题操作题,阅读题,压轴题
(2011年上海市浦东新区中考预测)已知:正方形ABCD的边长为1,射线AE与射线BC交于点E,射线AF与射线CD交于点F,?EAF=45?.
(1)如图1,当点E在线段BC上时,试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系,并证明你的猜想.
(2)设BE=x,DF=y,当点E在线段BC上运动
A时(不包括点BD、C),如图1,求y关于x的函数解析245?式,并指出x的取值范围. y13
(3)当点E在射线BC上运动时(不含端点B),F点F在射线CD上运动.试判断以E为圆心以BE为半1-y径的?E和以F为圆心以FD为半径的?F之间的位置xy1-x关系. ECF'B
(4)当点E在BC延长线上时,设AE与CD交
图1于点G,如图2.问?EGF与?EFA能否相似,若能相
似,求出BE的值,若不可能相似,请说明理由.
F F 2AD45?A DA1D45?45? G
FG EBF'C
图2
BEECBC
图2图1
25.(1)猜想:EF=BE+DF. „„„„„„„„(1分)
证明:将?ADF绕着点A按顺时针方向旋转90?,得?ABF′,易知点F′、B、E在一直线上.图1. „„„(1分)
?AF′=AF,
?F′AE=?1+?3=?2+?3=90?-45?=45?=?EAF,
又 AE=AE,
??AF′E??AFE.
?EF=F′E=BE+DF. „„„„„„„„(1分)
(2)由(1)得 EF=x+y
又 CF=1-y,EC=1-x,
222 ? .„„„„(1分) ,,,,,,1,y,1,x,x,y
1,x化简可得 ,,.„„„(1+1分) y,0,x,11,x
(3)?当点E在点B、C之间时,由(1)知 EF=BE+DF,故此时?E与?F外切;
„„„„„„„„(1分)
?当点E在点C时,DF=0,?F不存在.
?当点E在BC延长线上时,将?ADF绕着点A按顺时针方向旋转90?,得?ABF′,
图2.
,有 AF′=AF,?1=?2,BF,FD,??F′AF=90?.
? ?F′AE=?EAF=45?.
又 AE=AE,
??AF′E??AFE. „„„„„(1分)
,,? EF,EF,BE,BF,BE,FD.„(1分)
?此时?E与?F内切. „„„„„(1分)
综上所述,当点E在线段BC上时,?E与?F外切;当点E在BC延长线上时,?E与
?F内切.
(4)?EGF与?EFA能够相似,只要当?EFG=?EAF=45?即可. 这时有 CF=CE. „„„„„„„(1分)
设BE=xDF=y,由(3)有EF=xy. ,-
222CE,CF,EF由 ,得
222 . ,,,,,,x,1,1,y,x,y
x,1,,y,x,1化简可得 . „„„„„„„„(1分) x,1
x,1x,1,1,又由 EC=FC,得 ,即,化简得 x,1,1,yx,1
2x,2x,1,0 ,解之得 „„„„„„„„(1分)
(不符题意,舍去). „„„„„„„„(1分) x,1,2,x,1,212
1,2?所求BE的长为.
(2012福建宁德13分)某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:
如图1,在等腰?ABC中,AB,AC,?BAC,90º,小敏将一块三角板中含45º角的顶点放在点A处,从AB边开始绕点A顺时针旋转一个角,,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E(
(1)小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现:若AD平分?MAB,则AE也
平分?MAC(请你证明小敏发现的结论;
,(2)当0º,?45º时,小敏在旋转的过程中发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关
222系:BD,CE,DE(同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决:
小颖的方法:将?ABD沿AD所在的直线对折得到?ADF,连接EF(如图2);
小亮的方法:将?ABD绕点A逆时针旋转90º得到?ACG,连接EG(如图3)(
请你从中任选一种方法进行证明;
2(3)小敏继续旋转三角板,在探究中得出:当45º,?135º且?90º时,等量关系BD,,
22,CE,DE仍然成立(现请你继续探究:当135º,,180º时(如图4),等量关系,
222是否仍然成立,若成立,给出证明:若不成立,说明理由( BD,CE,DE
【答案】解:(1)证明:??BAC,90º,?DAE,?DAM,?MAE,45º,??BAD,?EAC,45º。
又?AD平分?MAB,??BAD,?DAM。??MAE,?EAC。
?AE平分?MAC。
(2)证明小颖的方法:
?将?ABD沿AD所在的直线对折得到?ADF,
?AF,AB,?AFD,?B,45º,?BAD,?FAD。
又?AC=AB,?AF,AC。
由(1)知,?FAE,?CAE。
在?AEF和?AEC中,?AF, AC,?FAE,?CAE,AE,AE,
??AEF??AEC(SAS)。?CE,FE,?AFE,?C,45º。
??DFE,?AFD ,?AFE,90º。
222222 在Rt?OCE中,DE,FE,DE,?BD,CE,DE。
222,(3)当135º,,180º时,等量关系BD,CE,DE仍然成立。证明如下:
如图,按小颖的方法作图,设AB与EF相交于点G。
?将?ABD沿AD所在的直线对折得到?ADF,
?AF,AB,?AFD,?ABC,45º,?BAD,?FAD。
又?AC=AB,?AF,AC。
00 又??CAE,90,?BAE,90,(45º,?BAD),45º,?BAD
45º,?FAD ,
,?FAE。
在?AEF和?AEC中,?AF, AC,?FAE,?CAE,AE,AE,
??AEF??AEC(SAS)。?CE,FE,?AFE,?C,45º。
又?在?AGF和?BGE中,?ABC,?AFE,45º,?AGF,?BGE,
??FAG,?BEG。
又??FDE,?DEF=?FDE,?FAG
11,(?ADB,?DAB),?ABC,90º。 22
??DFE,90º。
222222,CE,DE。 在Rt?OCE中,DE,FE,DE,?BD
【考点】角平分线的定义,等腰直角三角形的性质,旋转的性质,折叠对称的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,三角形外角性质,三角形内角和定理。 【分析】(1)由角平分线的定义,根据等腰直角三角形和旋转的性质,即可得出结论。
(2)小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到?AEF??AEC,在Rt?OCE中应用勾股定理而证明。
小亮的方法是将?ABD绕点A逆时针旋转90º得到?ACG,根据旋转的性质用SAS得到
?ACE??ACG,从而在Rt?CEG中应用勾股定理而证明。
222(3)当135º,,180º时,等量关系BD,CE,DE仍然成立。仿(2)证明即可。 ,
36(2008恩施自治州)如图1,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,?BAC =?AGF=90?,它们的斜边长为2,若?ABC固定不动,?AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m,CD=n.
(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明. (2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围.
(3)以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图2).在边BC上找一点D,使BD=CE,求出D点的坐标,并通过计
222算验证BD,CE=DE.
222 (4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD,CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由. y
A A
B C D E E B O C x D G G
F F
图1 图2
【答案】
解:(1)?ABE??DAE, ?ABE??DCA 1分
??BAE=?BAD+45?,?CDA=?BAD+45?
??BAE=?CDA
又?B=?C=45?
??ABE??DCA 3分
(2)??ABE??DCA
BEBA, ? CACD
2 由依题意可知CA=BA=
m2 ? ,n2
2 ?m= 5分 n
自变量n的取值范围为1
公式可求出函数关系式
【方法规律】构造全等证明AE=EF,在通过AE=EF证明?ABE??ENF,得BE=FN,最
后根据面积公式得出函数关系式。最大值也就是二次函数的顶点。
【易错点分析】先证明?ABE??ENF,条件不够
【关键词】全等 二次函数 最值
【难度】?????
【题型】常规题,易错题