正方形中的45度角[1]

正方形中的45度角[1] 正方形中的45度角 5. (2012江苏宿迁12分)(1)如图1，在?ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满 11足?DBE=?ABC(0?,?CBE,?ABC)。以点B为旋转中心，将?BEC按逆时针方向旋转22 ?ABC，得到?BE’A(点C与点A重合，点E到点E’处)，连接DE’。求证:DE’=DE. (2)如图2，在?ABC中，BA=BC，?ABC=90?，D，E是AC边上的两点， 1222且满足?DBE=?ABC(0?,?CBE,45?).求证:DE=AD+EC. 2 【】证明:(1)??BE’A是?BEC按逆时针方向旋转?ABC得到， ?BE’=BE，?E’BA=?EBC。 11 ??DBE=?ABC，??ABD，?EBC =?ABC。 22 11 ??ABD，?E’BA =?ABC，即?E’BD=?ABC。??E’BD=?DBE。 22 在?E’BD和?EBD中，?BE’=BE，?E’BD=?DBE，BD=BD， ??E’BD??EBD(SAS)。?DE’=DE。 (2)以点B为旋转中心，将?BEC按逆时针方向旋转 ?ABC=90?，得到?BE’A(点C与点A重合，点E到点E’处)，连 接DE’。 由(1)知DE’=DE。 由旋转的性质，知E’A=EC，?E’ AB=?ECB。 又?BA=BC，?ABC=90?，??BAC=?ACB=45?。 ??E’ AD=?E’ AB，?BAC=90?。 222222 在Rt?DE’A中，DE’=AD+E’A，?DE=AD+EC。 【考点】旋转的性质，等腰(直角)三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。 1【分析】(1)由旋转的性质易得BE’=BE，?E’BA=?EBC，由已知?DBE=?ABC经等量2代换可得 ?E’BD=?DBE，从而可由SAS得?E’BD??EBD，得到DE’=DE。 (2)由(1)的启示，作如(1)的辅助图形，即可得到直角三角形DE’A，根据勾股定理即可证得结论。 2. (2012宁夏区8分)正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且?EDF=45?。将?DAE绕点D逆时针旋转90?，得到?DCM。 (1)求证:EF=FM (2)当AE=1时，求EF的长。 【答案】 解:(1) 证明:??DAE逆时针旋转90?得到?DCM，?DE=DM，?EDM=90?。 ??EDF + ?FDM=90?。 ??EDF=45?，??FDM =?EDF=45?。 ?DF= DF ，??DEF??DMF(SAS)。?EF=MF。 (2)设EF=x 。 ?AE=CM=1 ，? BF=BM,MF=BM,EF=4,x 。 222? EB=2，?在Rt?EBF中，由勾股定理得，即EBBFEF，, 222 2(4x)x，,, 5解得， 。 x,2 5?EF的长为。 2 【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理， 【分析】(1)由旋转可得DE=DM，?EDM为直角，可得出?EDF+?MDF=90?，由?EDF=45?， 得到?MDF为45?，可得出?EDF=?MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF。 (2)由(1)的全等得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB,AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM,FM=BM,EF=4,x，在Rt?EBF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长。 3. (2012广东珠海7分) 如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45?得到正方形A′B′CD′(此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上)，A′B′交AD于点E，连接AA′、CE( 求证:(1)?ADA′??CDE; (2)直线CE是线段AA′的垂直平分线( 【答案】证明:(1)?四边形ABCD是正方形，?AD=CD，?ADC=90?。??A′DE=90?。 根据旋转的方法可得:?EA′D=45?，??A′ED=45?。?A′D=DE。 ?在?AD A′和?CDE中，AD=CD，?EDC=?A′DA=90?，A′D=DE， ??ADA′??CDE(SAS)。 (2)?AC=A′C，?点C在AA′的垂直平分线上。 ?AC是正方形ABCD的对角线，??CAE=45?。 ?AC=A′C，CD=CB′，?AB′=A′D。 ?在?AEB′和?A′ED中，?EAB′=?EA′D，?AEB′=?A′ED，AB′=A′D， ??AEB′??A′ED(AAS)。?AE=A′E。 ?点E也在AA′的垂直平分线上。?直线CE是线段AA′的垂直平分线。 【考点】正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定。 【分析】(1)根据正方形的性质可得AD=CD，?ADC=90?，?EA′D=45?，则?A′DE=90?， 再计算出?A′ED=45?，根据等角对等边可得AD=ED，即可利用SAS证明?AA′D??CED。 (2)首先由AC=A′C，可得点C在AA′的垂直平分线上;再证明?AEB′??A′ED，可得AE=A′E，从而得到点E也在AA′的垂直平分线上，根据两点确定一条直线可得直线CE是线段AA′的垂直平分线。 (2011湖北咸宁，22，10分) (1)如图?，在正方形ABCD中，?AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求的度数( ，EAF ，BAD,90:(2)如图?，在Rt?ABD中，，，点M，N是BD边上的任意AB,AD ，MAN,45:90:NH两点，且，将?ABM绕点A逆时针旋转至?ADH位置，连接，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由( A D B E G F C (图?) A H B M N D (图?) EG,4(3)在图?中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若， GF,6，，求AG，MN的长( BM,32 AB,AG【答案】(1)在Rt?ABE和Rt?AGE中，，， AE,AE ，BAE,，GAE??ABE??AGE( ?( ???????????????????????????????????????????????????????1分 ，GAF,，DAF同理，( 1?( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分 ，EAF,，BAD,45:2222(2)MN,ND，DH( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3分 ，BAM，，DAN,45:?，， ，BAM,，DAH ，HAN,，DAH，，DAN,45:，HAN,，MAN?( ?( AN,AN又?，， AM,AH MN,HN??AMN??AHN( ?( ????????????????????????????????????????????????????????????????5分 ，BAD,90:?，， AB,AD ，ABD,，ADB,45:，HDN,，HDA，，ADB,90:?( ?( 222222NH,ND，DHMN,ND，DH?( ?( ??????????????????????????????????????6分 BE,EGDF,FG(3)由(1)知，，( A AG,xCE,x,4CF,x,6设，则，( 222CE，CF,EF?， 222?( (x,4)，(x,6),10M N D B 解这个方程，得，(舍去负根)( x,12x,,212E F AG,12G ?( ???????????????????????????????????????????????????????????8分 222BD,AB，AD,2AG,122?( C 222MN,ND，DH在(2)中，，， BM,DH(图?) 222MN,ND，BM?( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9分 222MN,a设，则( a,(122,32,a)，(32) a,52MN,52?(即( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分 【思路分析】(1)根据正方形的每个内角是直角，利用“HL”证明?ABE??AGE， 1，,，EAFBAD?AFG??AFD,从而得出;(2)利用旋转过程前后的两个图形全等，得2 到对应边、对应角相等，从而为证明?AMN??AHN做好了足够铺垫.将线段MN的长转移 为HN的长，从而将三条线段集中于Rt?HDN中.(3)利用(1)的结论求出AG的长，进 而得出BD的长.利用(2)的结论求出MN的长. 【方法规律】(1)当条件中没有给出角的度数而要求角的度数时，往往将问题转化为三角形的内角和问题、四边形的内角和问题、平行线的同旁内角问题、平行线同旁内角的角平分夹角问题、邻补角的平分线夹角问题、直角三角形的问题、矩形、正方形的内角问题.(2)当条件中提供的边、角关系较多时一般考虑证明三角形全等;(3)平移、旋转、轴对称对应了图形的全等，里面有太多的边、角相等问题，在证明中要仔细挖掘;(3)如果一个题目有三个问号，前面的问号往往是后面问号解决的跳板，要注意利用前面的结论及时起跳，不要解决最后一个问号时重起炉灶，浪费时间. 【易错点分析】因为找不到?HDN=90?而无法判断三条线段的关系.第(3)问不能很 好的与第(2)问发生对接，使线段MN的长计算受阻. 【关键词】正方形、等腰直角三角形、旋转、三角形全等、勾股定理以及逆定理 【推荐指数】????? 【题型】常规题，新题，好题，难题操作题，阅读题，压轴题 (2012山东东营10分) (1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF,BE(求证:CE,CF; (2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果?GCE,45?，请你利用(1)的结论证明:GE,BE，GD( (3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题: 如图3，在直角梯形ABCD中，AD?BC(BC,AD)，?B,90?，AB,BC，E是AB上一点，且?DCE,45?，BE,4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积( 【答案】解:(1)证明:在正方形ABCD中，?BC,CD，?B,?CDF，BE,DF， ??CBE??CDF(SAS)。?CE,CF。 (2)证明: 如图，延长AD至F，使DF=BE(连接CF。 由(1)知?CBE??CDF， ??BCE,?DCF。 ??BCE，?ECD,?DCF，?ECD， 即?ECF,?BCD,90?。 又?GCE,45?，??GCF,?GCE,45?。 ?CE,CF，?GCE,?GCF，GC,GC， ??ECG??FCG(SAS)。?GE,GF， GE,DF，GD,BE，GD。 ? (3)如图，过C作CG?AD，交AD延长线于G( 在直角梯形ABCD中，?AD?BC，??A,?B,90?。 又?CGA,90?，AB,BC， ?四边形ABCD 为正方形。 ?AG,BC。 已知?DCE,45?， 根据(1)(2)可知，ED,BE，DG。 ?10=4+DG，即DG=6。 设AB,x，则AE,x,4，AD,x,6， 222222在Rt?AED中，?DE=AD，AE，即10=(x,6)，(x,4)。 解这个方程，得:x=12或x=,2(舍去)。 ?AB=12。 11?。 ()()SADBCAB61212108,，,,,，,,梯形ABCD22 ?梯形ABCD的面积为108。 【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。 【分析】(1)由四边形是ABCD正方形，易证得?CBE??CDF(SAS)，即可得CE=CF。 (2)延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由(1)知?CBE??CDF，易证得?ECF=?BCD=90?，又由?GCE=45?，可得?GCF=?GCE=45?，即可证得?ECG??FCG，从而可得GE=BE+GD。 (3)过C作CG?AD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由(1)(2)可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在Rt?AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，从而求得直角梯形ABCD的面积。 123((2010年南充市)如图，?ABC内接于?O，AD?BC，OE?BC， OE,BC( 2(1)求?BAC的度数( (2)将?ACD沿AC折叠为?ACF，将?ABD沿AB折叠为?ABG，延长FC和GB相交于点H(求证:四边形AFHG是正方形( (3)若BD,6，CD,4，求AD的长( A A O O G G F F B B E C E C D D H H 答案: (1)解:连结OB和OC( ? OE?BC，? BE,CE( 1? OE,BC，? ?BOC,90?，? ?BAC,45?( 2 A O G F B C D E H (2)证明:? AD?BC，? ?ADB,?ADC,90?( 由折叠可知，AG,AF,AD，?AGH,?AFH,90?， ?BAG,?BAD，?CAF,?CAD， ? ?BAG，?CAF,?BAD，?CAD,?BAC,45?( ? ?GAF,?BAG，?CAF，?BAC,90?( ? 四边形AFHG是正方形( (3)解:由(2)得，?BHC,90?，GH,HF,AD，GB,BD,6，CF,CD,4( 设AD的长为x，则 BH,GH,GB,x,6，CH,HF,CF,x,4( 222222在Rt?BCH中，BH，CH,BC，? (x,6)，(x,4),10( 解得，x=12，x,,2(不合题意～舍去)( 12 ? AD,12( (2012山东东营10分) (1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF,BE(求 证:CE,CF; (2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果?GCE,45?， 请你利用(1)的结论证明:GE,BE，GD( (3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题: 如图3，在直角梯形ABCD中，AD?BC(BC,AD)，?B,90?，AB,BC，E是AB 上一点，且?DCE,45?，BE,4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积( 【答案】解:(1)证明:在正方形ABCD中，?BC,CD，?B,?CDF，BE,DF， ??CBE??CDF(SAS)。?CE,CF。 (2)证明: 如图，延长AD至F，使DF=BE(连接CF。 由(1)知?CBE??CDF， ??BCE,?DCF。 ??BCE，?ECD,?DCF，?ECD， 即?ECF,?BCD,90?。 又?GCE,45?，??GCF,?GCE,45?。 ?CE,CF，?GCE,?GCF，GC,GC， ??ECG??FCG(SAS)。?GE,GF， ?GE,DF，GD,BE，GD。 (3)如图，过C作CG?AD，交AD延长线于G( 在直角梯形ABCD中，?AD?BC，??A,?B,90?。 又?CGA,90?，AB,BC， ?四边形ABCD 为正方形。 ?AG,BC。 已知?DCE,45?， 根据(1)(2)可知，ED,BE，DG。 ?10=4+DG，即DG=6。 设AB,x，则AE,x,4，AD,x,6， 222222在Rt?AED中，?DE=AD，AE，即10=(x,6)，(x,4)。 解这个方程，得:x=12或x=,2(舍去)。 ?AB=12。 11?。 ()()SADBCAB61212108,，,,,，,,梯形ABCD22 ?梯形ABCD的面积为108。 【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。 【分析】(1)由四边形是ABCD正方形，易证得?CBE??CDF(SAS)，即可得CE=CF。 (2)延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由(1)知?CBE??CDF，易证得?ECF=?BCD=90?，又由?GCE=45?，可得?GCF=?GCE=45?，即可证得?ECG??FCG，从而可得GE=BE+GD。 (3)过C作CG?AD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由(1)(2)可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在Rt?AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，从而求得直角梯形ABCD的面积。 一、正方形内的45?角 (2012福建南平4分)如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【 】 359A( B( C( D(3 224 【答案】B。 【考点】翻折变换(折叠问题)，正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。 【分析】?正方形纸片ABCD的边长为3，??C=90?，BC=CD=3。 根据折叠的性质得:EG=BE=1，GF=DF。 设DF=x，则EF=EG，GF=1，x，FC=DC,DF=3,x，EC=BC,BE=3,1=2。 3222222在Rt?EFC中，EF=EC，FC，即(x，1)=2，(3,x)，解得:。 x,2 335?DF= ，EF=1，。故选B。 =222 (2009?益阳市)如图11，?ABC中，已知?BAC,45?，AD?BC于D，BD,2，DC,3， 求AD的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识～将图形进行翻折变换～ 巧妙地解答了此题. A F E C B D G 图11 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题: (1)分别以AB、AC为对称轴，画出?ABD、?ACD的轴对 称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于 G点，证明四边形AEGF是正方形; (2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值. 证明:由题意可得:?ABD??ABE，?ACD??ACF 【答案】(1) ??DAB,?EAB ，?DAC,?FAC ，又?BAC,45?， ??EAF,90? 又?AD?BC ??E,?ADB,90??F,?ADC,90? 又?AE,AD，AF,AD ?AE,AF ?四边形AEGF是正方形 (2)解:设AD,x，则AE,EG,GF,x ?BD,2，DC,3 ?BE,2 ，CF,3 ?BG,x,2，CG,x,3 222 在Rt?BGC中，BG，CG,BC222?( x,2)，(x,3),5 2化简得，x,5x,6,0 解得x,6，x,,1(舍) 12 所以AD,x,6 (2011湖北咸宁，22，10分) (1)如图?，在正方形ABCD中，?AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG 与正方形的边长相等，求的度数( ，EAF ，BAD,90:(2)如图?，在Rt?ABD中，，，点M，N是BD边上的任意AB,AD ，MAN,45:90:NH两点，且，将?ABM绕点A逆时针旋转至?ADH位置，连接，试判 断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由( A D B E G F C (图?) A H B M N D (图?) EG,4(3)在图?中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若， GF,6，，求AG，MN的长( BM,32 AB,AG【答案】(1)在Rt?ABE和Rt?AGE中，，， AE,AE ，BAE,，GAE??ABE??AGE( ?( ???????????????????????????????????????????????????????1分 ，GAF,，DAF同理，( 1?( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分 ，EAF,，BAD,45:2222(2)MN,ND，DH( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3分 ，BAM，，DAN,45:?，， ，BAM,，DAH ，HAN,，DAH，，DAN,45:，HAN,，MAN?( ?( AN,AN又?，， AM,AH MN,HN??AMN??AHN( ?( ????????????????????????????????????????????????????????????????5分 ，BAD,90:?，， AB,AD ，ABD,，ADB,45:，HDN,，HDA，，ADB,90:?( ?( 222222NH,ND，DHMN,ND，DH?( ?( ??????????????????????????????????????6分 BE,EGDF,FG(3)由(1)知，，( A AG,xCE,x,4CF,x,6设，则，( 222CE，CF,EF?， 222?( (x,4)，(x,6),10M N D B 解这个方程，得，(舍去负根)( x,12x,,212E F AG,12G ?( ???????????????????????????????????????????????????????????8分 222BD,AB，AD,2AG,122?( C 222MN,ND，DH在(2)中，，， BM,DH(图?) 222MN,ND，BM?( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9分 222MN,a设，则( a,(122,32,a)，(32) a,52MN,52?(即( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分 【思路分析】(1)根据正方形的每个内角是直角，利用“HL”证明?ABE??AGE， 1，,，EAFBAD?AFG??AFD,从而得出;(2)利用旋转过程前后的两个图形全等，得2 到对应边、对应角相等，从而为证明?AMN??AHN做好了足够铺垫.将线段MN的长转移 为HN的长，从而将三条线段集中于Rt?HDN中.(3)利用(1)的结论求出AG的长，进 而得出BD的长.利用(2)的结论求出MN的长. 【方法规律】(1)当条件中没有给出角的度数而要求角的度数时，往往将问题转化为三角形的内角和问题、四边形的内角和问题、平行线的同旁内角问题、平行线同旁内角的角平分夹角问题、邻补角的平分线夹角问题、直角三角形的问题、矩形、正方形的内角问题.(2)当条件中提供的边、角关系较多时一般考虑证明三角形全等;(3)平移、旋转、轴对称对应了图形的全等，里面有太多的边、角相等问题，在证明中要仔细挖掘;(3)如果一个题目有三个问号，前面的问号往往是后面问号解决的跳板，要注意利用前面的结论及时起跳，不要解决最后一个问号时重起炉灶，浪费时间. 【易错点分析】因为找不到?HDN=90?而无法判断三条线段的关系.第(3)问不能很 好的与第(2)问发生对接，使线段MN的长计算受阻. 【关键词】正方形、等腰直角三角形、旋转、三角形全等、勾股定理以及逆定理 【推荐指数】????? 【题型】常规题，新题，好题，难题操作题，阅读题，压轴题 (2011年上海市浦东新区中考预测)已知:正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，?EAF=45?. (1)如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系,并证明你的猜想. (2)设BE=x，DF=y，当点E在线段BC上运动 A时(不包括点BD、C)，如图1，求y关于x的函数解析245?式，并指出x的取值范围. y13 (3)当点E在射线BC上运动时(不含端点B)，F点F在射线CD上运动.试判断以E为圆心以BE为半1-y径的?E和以F为圆心以FD为半径的?F之间的位置xy1-x关系. ECF'B (4)当点E在BC延长线上时，设AE与CD交 图1于点G，如图2.问?EGF与?EFA能否相似，若能相 似，求出BE的值，若不可能相似，请说明理由. F F 2AD45?A DA1D45?45? G FG EBF'C 图2 BEECBC 图2图1 25.(1)猜想:EF=BE+DF. „„„„„„„„(1分) 证明:将?ADF绕着点A按顺时针方向旋转90?，得?ABF′，易知点F′、B、E在一直线上.图1. „„„(1分) ?AF′=AF， ?F′AE=?1+?3=?2+?3=90?-45?=45?=?EAF， 又 AE=AE， ??AF′E??AFE. ?EF=F′E=BE+DF. „„„„„„„„(1分) (2)由(1)得 EF=x+y 又 CF=1-y，EC=1-x， 222 ? .„„„„(1分) ，，，，，，1,y，1,x,x，y 1,x化简可得 ，，.„„„(1+1分) y,0,x,11，x (3)?当点E在点B、C之间时，由(1)知 EF=BE+DF，故此时?E与?F外切; „„„„„„„„(1分) ?当点E在点C时，DF=0，?F不存在. ?当点E在BC延长线上时，将?ADF绕着点A按顺时针方向旋转90?，得?ABF′， 图2. ,有 AF′=AF，?1=?2，BF,FD，??F′AF=90?. ? ?F′AE=?EAF=45?. 又 AE=AE， ??AF′E??AFE. „„„„„(1分) ,,? EF,EF,BE,BF,BE,FD.„(1分) ?此时?E与?F内切. „„„„„(1分) 综上所述，当点E在线段BC上时，?E与?F外切;当点E在BC延长线上时，?E与 ?F内切. (4)?EGF与?EFA能够相似，只要当?EFG=?EAF=45?即可. 这时有 CF=CE. „„„„„„„(1分) 设BE=xDF=y，由(3)有EF=xy. ，- 222CE，CF,EF由 ，得 222 . ，，，，，，x,1，1，y,x,y x,1，，y,x,1化简可得 . „„„„„„„„(1分) x，1 x,1x,1,1，又由 EC=FC，得 ，即，化简得 x,1,1，yx，1 2x,2x,1,0 ，解之得 „„„„„„„„(1分) (不符题意，舍去). „„„„„„„„(1分) x,1，2,x,1,212 1，2?所求BE的长为. (2012福建宁德13分)某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下: 如图1，在等腰?ABC中，AB,AC，?BAC,90º，小敏将一块三角板中含45º角的顶点放在点A处，从AB边开始绕点A顺时针旋转一个角,，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E( (1)小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现:若AD平分?MAB，则AE也 平分?MAC(请你证明小敏发现的结论; ,(2)当0º,?45º时，小敏在旋转的过程中发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关 222系:BD，CE,DE(同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决: 小颖的方法:将?ABD沿AD所在的直线对折得到?ADF，连接EF(如图2); 小亮的方法:将?ABD绕点A逆时针旋转90º得到?ACG，连接EG(如图3)( 请你从中任选一种方法进行证明; 2(3)小敏继续旋转三角板，在探究中得出:当45º,?135º且?90º时，等量关系BD,, 22，CE,DE仍然成立(现请你继续探究:当135º,,180º时(如图4)，等量关系, 222是否仍然成立,若成立，给出证明:若不成立，说明理由( BD，CE,DE 【答案】解:(1)证明:??BAC,90º，?DAE,?DAM，?MAE,45º，??BAD，?EAC,45º。 又?AD平分?MAB，??BAD,?DAM。??MAE,?EAC。 ?AE平分?MAC。 (2)证明小颖的方法: ?将?ABD沿AD所在的直线对折得到?ADF， ?AF,AB，?AFD,?B,45º，?BAD,?FAD。 又?AC=AB，?AF,AC。 由(1)知，?FAE,?CAE。 在?AEF和?AEC中，?AF, AC，?FAE,?CAE，AE,AE， ??AEF??AEC(SAS)。?CE,FE，?AFE,?C,45º。 ??DFE,?AFD ，?AFE,90º。 222222 在Rt?OCE中，DE，FE,DE，?BD，CE,DE。 222,(3)当135º,,180º时，等量关系BD，CE,DE仍然成立。证明如下: 如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。 ?将?ABD沿AD所在的直线对折得到?ADF， ?AF,AB，?AFD,?ABC,45º，?BAD,?FAD。 又?AC=AB，?AF,AC。 00 又??CAE,90,?BAE,90,(45º,?BAD),45º，?BAD 45º，?FAD , ,?FAE。 在?AEF和?AEC中，?AF, AC，?FAE,?CAE，AE,AE， ??AEF??AEC(SAS)。?CE,FE，?AFE,?C,45º。 又?在?AGF和?BGE中，?ABC,?AFE,45º，?AGF,?BGE， ??FAG,?BEG。 又??FDE，?DEF=?FDE，?FAG 11,(?ADB，?DAB),?ABC,90º。 22 ??DFE,90º。 222222，CE,DE。 在Rt?OCE中，DE，FE,DE，?BD 【考点】角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角性质，三角形内角和定理。 【分析】(1)由角平分线的定义，根据等腰直角三角形和旋转的性质，即可得出结论。 (2)小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到?AEF??AEC，在Rt?OCE中应用勾股定理而证明。 小亮的方法是将?ABD绕点A逆时针旋转90º得到?ACG，根据旋转的性质用SAS得到 ?ACE??ACG，从而在Rt?CEG中应用勾股定理而证明。 222(3)当135º,,180º时，等量关系BD，CE,DE仍然成立。仿(2)证明即可。 , 36(2008恩施自治州)如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，?BAC =?AGF=90?，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n. (1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. (2)求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围. (3)以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图2).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计 222算验证BD，CE=DE. 222 (4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD，CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由. y A A B C D E E B O C x D G G F F 图1 图2 【答案】 解:(1)?ABE??DAE, ?ABE??DCA 1分 ??BAE=?BAD+45?,?CDA=?BAD+45? ??BAE=?CDA 又?B=?C=45? ??ABE??DCA 3分 (2)??ABE??DCA BEBA, ? CACD 2 由依题意可知CA=BA= m2 ? ,n2 2 ?m= 5分 n 自变量n的取值范围为1