[宝典]三角函数半角公式

[宝典]三角函数半角公式 三角函数半角公式 复习重点:半角角公式 sin(A/2)=?((1-cosA)/2) sin(A/2)=-?((1-cosA)/2) cos(A/2)=?((1+cosA)/2) cos(A/2)=-?((1+cosA)/2) tan(A/2)=?((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-?((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=?((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-?((1+cosA)/((1-cosA)) 复习难点:半角公式的应用 复习内容: 倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即， 进一步得到半角公式: 降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα，即: ，，这组公式叫做“万能”公式. 教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出. 例3(化简求值:(1) csc10?-sec10?(2) tan20?+cot20?-2sec50? 解:(1) csc10?-sec10? (2) tan20?+cot20?-2sec50? 22 例4(求:sin20?+cos50?+sin30?sin70? 22 解:sin20?+cos50?+sin30?sin70? 44 例5(已知:.求: cosθ+sinθ的值. 解:?, ? , 即， 44 即 ，? cosθ+sinθ 例6(求cos36??cos72?的值. 解:cos36??cos72? 例7(求:的值. 解: 上述两题求解方法一致，都是连续应用二倍角的正弦公式.而能采用这种方法求值的题目要求也是严格的，要满足(1)余弦相乘，(2)后一个角是前一个角的两倍，(3)最大角的两倍与最小值的和(或差)是π.满足这三个条件即可采用这种方法. 例8(已知:2cosθ=1+sinθ，求. 方法一: ?2cosθ=1+sinθ，? ? 或，? , ? ,? 或 =2. 方法二:? 2cosθ=1+sinθ， ? , ? , 或 ,? 或 ? =2. 例9(已知:，求:tanα的值. 解:?，? ， ? 0?α?π, ? ,? (1)当时, ， 则有,?， ? ， ? ， ? . (2)当，则有 ， ? ， ?，?. 注意:1与sinα在一起时，1往往被看作，而1与cosα在一起时，往往应用二倍角余弦公式把1去掉. 例10(已知:sinθ, sinα, cosθ为等差数列;sinθ,sinβ, cosθ为等比数列.求证:2cos2α=cos2β. 证明:? ， ? 2222 ? 4sinα=1+2sinβ ? 2-4sinα=2-1-2sinβ ? 2cos2α=cos2β. 课后练习: 1(若，则( ). A、PQ B、PQ C、P=Q D、P?Q= 2(若A为ΔABC的内角，，则cos2A=( ). A、 B、 C、 D、 3(若，则sin2θ=( ). A、 B、 C、 D、 4(若，则sinθ=( ). A、 B、 C、 D、- 5(若，则=( ). A、 B、 C、1 D、-1 6(若，则cosα=________. 7. 若θ为第二象限角，且，则=_____. 2 8(已知sinA+cosA=2sinB. 求证:cos2B=cos. 参考: 1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6. 7. 6