H_自共轭矩阵的迹的一些不等式

H_自共轭矩阵的迹的一些不等式 Journal of Hanshan Normal University Dec.2006 2006 年 12 月 研究简报?? 自共轭矩阵的迹的一些不等式 H- 詹 仕 林 韩山师范学院 数学与信息技术学院(, 广东潮州521041) 摘 要研究 自共轭矩阵的一些性质从而给出关于 自共轭矩阵的迹的一些不等式: H- , H- , 推广了正定 Hermitian 矩阵的相关结论. 关键词共轭矩阵自共轭矩阵正规矩阵矩阵的迹不等式: H- ; H- ; H- ; ; 中图分类号01571.21 文献标识码A 文章编号1007-6883(2006)06-0001-02 : : : n×n关于 自共轭矩阵的理献得到了一系列很好的结果给定正定 矩阵 , [1- 2]. Hermitian . ?H- HCn×n[*] -1** [*]设 = 是 的共轭转置则称 是 关于 的共轭矩阵或简称 共轭?如果 其中 XC, XHXH, XX , XX H H- ***1- 2[] [][][]矩阵 如果 是 自共轭矩阵如果 是 正规矩阵则称 则称 ;= , ; = , . XXX H- XX XXX H- 矩阵的迹是矩阵的一个重要的数值特征在随机控制滤波和经济计量学等理论中应用广泛 关, 、, , 5-83[]于正定 矩阵的迹的不等式已有许多很好的结果本文给出关于 自共轭矩阵的迹的一Hermitian . H- n×n些不等式推广了正定 Hermitian 矩阵的相关结论. 设 用 的奇异表示 , , ( ) , ?, ( ) ACσAσAA 1n 值且约定?? ??0.: σ( A) σ( A) σ( A) 12n n×n 设 引理 1 则, = 1, 2, ?, m, ACj k k ( ) , = 1, 2,?, . σAk σ( AAA) σ( A) σ( A)nim12 12 !!imiii = 1 i = 1 2222n×nkkk 2 设 自共轭矩阵则对于任何正整数 都是实引理 都是 , , , , λ( AB) , λ( AB) ?ABCH- k kkk数如果 则 . Re( ) ,0, Re( ) ,0, ( ) ,0, ( ) ,0. λAλBλABλAB [9] 引理 3 设 2如果 且? , 0, ? ?? , 0,, , , 1,,? ? . abb b ab?Ri = saas 1 2 s ii1 2 k k k k 2 ?1?1则,2 . ab( k = ,s) ab, k = ,, , ,s ##!!iiii = 1 i = 1 i = 1 i = 1 和 , x) y = ( y, y, 12n和 的分量分别按递减次序排列都是实向量设 ) , : ?, x = ( x, x, yx y x n[1] 12 j j 12? ? ? ? ? 弱控制 或 弱控制若则称 ?j = , , x, yyy, xy,, n, y x x x 12##2[n][] [] [n][i] [i][] i = 1 i = 1 于 并记为 .y xy $w 收稿日期 2006- 07- 10 : 作者简介詹仕林韩山师范学院数学与信息技术学院教授华南师范大学兼职硕士生导师男广东梅州人: (1948- ), , , , . 基金项目广东省自然科学基金项目广东省教育厅自然科学研究项目: (04300023), (Z03095). 1 [10]n ×n 如果 且它的对角元素是 引理 4?, , 则, a,ACaa 12n ( , Re , , Re ) ( ——, ——,( ) ) ., ——) ( ( ) , ( ) ,Re aaaaa σA !a!σAσA 12nw12nnw12 n ×n 设 自共轭矩阵则对于任何正整数 都是 定理 1 有, ?, , , ABCH- mm*22m[]} ? .{tr( AB) ( AB) tr( AB) n ×n 定理 2 如果 自共轭矩阵且特征值的实部都是正实数则对于任何正整数 有都是 , ?, , , ABCH- mm mm? .tr( AB) tr( AB) n ×n 定理 3 如果 2自共轭矩阵并且它们的特征值的实部都是非负的 则 都是 ?( 1,, ,m) H-, ,ACj = j m m m 1 1/m mm ? ? . ) tr( A#tr( A$%)( ) trAj"j "jm j = 1 j = 1 j = 1 由于 Hermitian 半正定矩阵都是 自共轭矩阵其中 为单位矩阵并且它们的特征值都是H-, H = I , 非负实数 由定理 2 与定理 3 可得 ,n ×n如果 ?Hermitian 半正定矩阵, 则对于任何正整数 都是 A, BC, m, 推论 1 有m mm? .tr( AB) tr( AB) n ×n 如果 矩阵都是半正定 ?( 1,推论 2 2) Hermitian , 则 ACj = ,, mj m m m 1 1/m mm ? . ? ) tr( A( ))&tr( A$% trA j""jj m j = 1 = 1j = 1 j 参考文献: [1] CHRISTIAN Mehl, LEIBA Rodman. Classes of normal matrices in indefinite inner products [J]. Linear Algebra and its Applications, 2001(336): 71-98. [2] HOLTZ O, STRAUSS V. On Classification of Normal Operators in Spaces with Indefinite Scalar Product[J]. linear algebra and its Applications, 1997(255): 113-155. [3] BELLMAN R. Some Inequalities for Positive Definite Matrices, General Inequalities[ J]. 2 (Beckenbach, E.F.Ed), Birkhauser Verlag, 1980: 89-90. [4] HORN R A, JOHNSON C R. Matrix Analysis[M]. CambridgeUniversity Press, 1985. TRUSTRUM G B. Trace inequalities for positive definite matrix power products[J]. Linear Algebra [5] BUSHELL P J, and its Applications, 1990(132): 173-178. 陈道琦关于半正定 矩阵乘积迹的一个不等式数学学报[6] . Hermitian [J]. , 1988, 4: 565-569. 229: 9-14. [7] XU Changqing. Bellman’s Inequality[J]. Linear Algebra and its Applications, 1995, [8] XU Changqing. Bellman’s Inequality(?)[J]. Journal of Mathematice Research and Exposition, 1997, 17(1): 30-34. [9] MITRINOVIC D S, VASIC P M. Analytical Inequelities[M]. Guangxi People Press, 1986:463 [10] FAN Ky. Maximum Properties and Inequalities for the Eigenvalues of Completely Continuous Operators[J]. Proc, Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1951(37): 760-766. 18 页下转第 ( ) 2 the detective system in real time, exactness and high efficiency are indicated. And this system has a good prospect of application in the field of high-frequency detection of ultrasonic energy converter. Key wordsVxDVToolsDdata collectionreal timesyntonic frequency.: ; ; ; ; 责任编辑 为 学 朱本华 上接第2页 ( ) Inequality on Tr ace of H- self- adjoint Matr ix ZHAN Shi- lin (Collage of Mathematics and Information Technology, Hanshan Normal University, Chaozhou 521041, China) AbstractSome properties for -self-adjoint matrix are discussedone inequality that with regardto : H, -self-adjoint matrix trace is obtained and a relevant result for positive definite Hermitian matrix His generalized. -adjoint-normal-adjoint-selfKey wordstraceinequality H; H; H; :; 责任编辑为学朱本华 18