证明三角形内部的任意一个正方形的面积不超过三角形面

证明三角形内部的任意一个正方形的面积不超过三角形面 題號89104 證明:三角形內部的任意一個正方形的面積不超過三角形面積的一半。 本週答對者 (按先後次序 ) 邱聖夫 台南一中214 吳哲宇 高雄中學一年級 黃信溢 建興國中 參考解答 (吳哲宇同學的解答) (1) 只要找出三角形內部的任意一個正方形中最大的,再證它小於等於三角形面積的一半即可。 (2) 因為三角形內部的任意一個正方形只要不是內接正方形:四頂點都在三角形的三邊上:,就可以將它在三角形內移動,所以它們的面積一定小於等於在三角形內不能移動的內接正方形。 (3) 現在只要證明三角形內內接正方形的面積小於等於三角形面積的一半。 (4) 設三角形ABC中,內接正方形 的邊長x, BC,a,,ABC以BC為底的高h如圖,用相似三角形得: AD:AC,x:a,AC:DC,h:x ah？(h,x):h,AD:AC,x:a,x, a，h 2111ah1,ah(a,h)22又因為? ,,,x,,ah,(),ah,,02222a，h44(a，h) 1所以? ,故內接正方形的面積小於等於三角形面積的一半:等號成立時,,,2 a=h:。 所以三角形內部的任意一個正方形的面積不超過三角形面積的一半。 A D h x B a C