龙牡壮骨颗粒[教材]

2019-2020年高考数学大一轮复习第九章第50课线面平行与面面平行要点导学线面平行的判定与证明　如图(1),在等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图(2)所示的三棱锥A-BCF,求证:DE∥平面BCF.　　图(1)图(2)(例1)[思维引导]将平面图形折成空间图形要弄清折前折后不变的关系,如=.[证明]在等边三角形ABC中,AD=AE,所以=,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,所以DE∥BC.因为DE⊄平面BCF,BC平面BCF,所以DE∥平面BCF.　(xx·山东卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点,求证:AP∥平面BEF.(变式1)[证明]设AC∩BE=O,连接OF,CE.由于E为AD的中点,AB=BC=AD,AD∥BC.所以AE∥BC,AE=AB=BC,因此四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点.又F为PC的中点,因此在△PAC中,AP∥OF.又OF平面BEF,AP⊄平面BEF,所以AP∥平面BEF.　如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AD⊥AB,CD∥AB,AB=2,CD=3,点M,N分别是PA,PB的中点.(变式2)(1)求证:MN∥平面PCD;(2)求证:四边形MNCD是直角梯形.[证明](1)因为点M,N分别是PA,PB的中点,所以MN∥AB.因为CD∥AB,所以MN∥CD.又因为CD平面PCD,MN⊄平面PCD,所以MN∥平面PCD.(2)因为MN=AB=1,ED=3,所以MN≠CD,又MN∥CD,所以四边形MNCD是梯形.因为AD⊥AB,CD∥AB,所以CD⊥AD,又因为PD⊥底面ABCD,CD平面ABCD,所以CD⊥PD,又AD∩PD=D,所以CD⊥平面PAD.因为MD平面PAD,所以CD⊥MD,所以四边形MNCD是直角梯形.线面平行的性质的应用　(xx·泰州模拟改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E是PC的中点,F为线段AC上一点.若EF∥平面PBD,求的值.(例2)[思维引导]通过线面平行的性质,将空间的问题转化到一个平面PAC中,通过EF∥PO来确定点F的位置,求出的值.[解答]设AC∩BD=O,连接PO.因为EF∥平面PBD,底面ABCD是正方形,平面PBD∩平面PAC=PO,且EF平面PAC,所以EF∥PO,又E是PC的中点,所以OF=FC,AF=3FC,即=3.　在空间四边形ABCD中,点E,F,G,H分别在AB,BC,CD,DA上,且四边形EFGH为平行四边形,求证:AC∥平面EFGH.(变式)[证明]如图,因为四边形EFGH是平行四边形,所以EF∥HG.又HG平面ACD,EF⊄平面ACD,所以EF∥平面ACD.又EF平面ABC,平面ABC∩平面ADC=AC,所以EF∥AC.又EF平面EFGH,AC⊄平面EFGH,所以AC∥平面EFGH.面面平行的判定　(xx·江苏模拟)如图,在四棱锥E-ABCD中,△ABD为正三角形,EB=ED,且AB⊥BC,M,N分别为线段AE,AB的中点,求证:平面DMN∥平面BEC.(例3)[思维引导]分别证MN∥平面BCE和BC∥平面BCE,再利用面面平行的性质定理进行证明.[证明]因为N是AB的中点,△ABD为正三角形,所以DN⊥AB.因为BC⊥AB,所以DN∥BC.因为BC平面BCE,DN⊄平面BCE,所以BC∥平面BCE.又因为M为AE的中点,所以MN∥BE.因为MN⊄平面BCE,BE平面BCE,所以MN∥平面BCE,因为MN∩DN=N,所以平面MND∥平面BCE.[精要点评]在利用面面平行的性质定理进行证明时,不能直接根据DN∥BC和MN∥BE得出平面DMN∥平面BEC.　如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,Q分别是AA1,BB1,B1C1的中点,求证:平面ABC1∥平面MNQ.(变式)[证明]在△B1BC1中,因为N,Q分别为B1B,B1C1的中点,所以QN∥BC1,又因为QN⊄平面ABC1,BC1平面ABC1,所以QN∥平面ABC1.在矩形A1B1BA中,因为M,N分别为AA1,BB1的中点,所以MN∥AB,又MN⊄平面ABC1,AB平面ABC1,所以MN∥平面ABC1.又因为QN∩MN=N,QN,MN平面MNQ,所以平面MNQ∥平面ABC1.直线与平面平行的探索问题　(xx·四川卷)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.(例4)[思维引导]对于求某个特殊位置上的点这类问题,一种办法是由猜想定下点的位置,后证明;另一种办法是可先假定存在这个点,然后再根据点的特点找到这个点所满足的条件.[解答]线段AB上存在点M,且M为AB的中点,使得直线DE∥平面A1MC.证明如下:取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,连接MD,OE,OM.设O为A1C,AC1的交点,则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线,所以MD∥AC,且MD=AC,OE∥AC,且OE=AC,所以MDOE.从而四边形MDEO为平行四边形,所以DE∥MO.因为直线DE⊄平面A1MC,MO平面A1MC,所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在点M,使得直线DE∥平面A1MC.[精要点评]“探索”在于由未知到已知,由变化到确定.找平行关系时多借助中点、中位线、平行四边形等图形,此题的本质仍是线与面的平行关系.　(xx·蚌埠模拟)在如图所示的几何体中,平面CDEF为正方形,平面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC=,AB=2BC=2,AC⊥FB.(变式)(1)求证:AC⊥平面FBC.(2)线段AC上是否存在点M,使EA∥平面FDM?并证明你的结论.[解答](1)在△ABC中,AC=,AB=2,BC=1,所以AC⊥BC.又因为AC⊥FB,BC∩FB=B,所以AC⊥平面FBC.(2)线段AC上存在点M,且M为AC中点时,有EA∥平面FDM.证明如下:连接CE,与DF交于点N,连接MN.因为CDEF为正方形,所以N为CE中点,所以EA∥MN.因为MN平面FDM,EA⊄平面FDM,所以EA∥平面FDM.所以线段AC上存在点M,使得EA∥平面FDM.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABC,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF.若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE.(范题赏析)[思维引导]要证明直线GM与平面ABFE平行,就要在平面ABFE内找到一条直线与GM平行.本题可以考虑构造四边形AMGF,然后再证明其为平行四边形即可.[规范答题]连接AF,因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,所以△ABC∽△EFG.(4分)由AB=2EF,得BC=2FG.所以FG∥BC,则FG=BC.(6分)在平行四边形ABCD中,M是线段AD的中点,所以AM∥BC,且AM=BC.(8分)所以FG∥AM,且FG=AM,所以四边形AFGM为平行四边形,所以GM∥FA.(10分)又FA平面ABFE,GM⊄平面ABFE,所以GM∥平面ABFE.(14分)1.平面α内的两条直线a,b都平行于平面β,则α和β的位置关系是　　　　　　.[答案]平行或相交2.若直线a∥b,a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系为　　　　.[答案]b∥α或bα[解析]很容易漏掉bα的情况,这一点很值得注意.3.(xx·泰州中学模拟)给出下列命题:①如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;②如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;③如果两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直;④如果两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,真命题有　　　　.(填序号)[答案]①③④[解析]由面面垂直的判定定理可知①正确;如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行,但若是两条平行直线,得不到平面平行,故②错误;根据空间直线夹角的定义,可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等,故若两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直,即③正确;根据面面垂直的性质定理,若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,故④正确.4.(xx·济南期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=1,AA1=AB=2,点E是线段AB上的动点,点M为D1C的中点.若点E是AB的中点,求证:直线ME∥平面ADD1A1.(第4题)[证明]取DD1的中点N,连接MN,AN,则MN∥CD,且MN=CD,AE∥CD,且AE=CD,所以MNAE,所以四边形MNAE为平行四边形,故ME∥AN.因为AN平面ADD1A1,ME⊄平面ADD1A1,所以ME∥平面AD1.[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第99-100页).