反对称正交反对称矩阵反问题的加权最小二乘解

反对称正交反对称矩阵反问的加权最小二乘解 Ξ 反对称正交反对称矩阵反问题的加权最小二乘解 112 孟国艳赵青杉赵俊华 () 1. 忻州师范学院 计算机系, 山西 忻州 034000; 2. 太原师范学院 系, 山西 太原 030012 T〔摘要〕 主要讨论了矩阵方程 = 的反对称正交反对称最小二乘解, 得到了解的一般 A XA B 3 达式, 并且文章对于任意给定的矩阵 , 在最小二乘解集中得到了的最佳逼近解.X A 〔关键词〕 矩阵方程; 反对称正交反对称矩阵; 加权最小二乘解; 最佳逼近 () 〔文章编号〕 167222027 20080120013205 〔中图分类号〕 O 241. 81 〔文献标识码〕 A 0 引言 n ×m n ×n n ×n文中所使用的一些概念及记号如下: 表示所有 ×实矩阵集合, 表示实反对称矩阵集, R n m A S O 表示所有实正交矩阵集合. ‖?‖表示矩阵的 范数, 3 表示矩阵的 积, 即3 =F ro b en iu s A B H adam a rd A B ×mn() ) ) (( . a ij bij , 其中A = a ij , B = bij ?R n×n T T 定义 1 设 P ?R , 且 P P = I , P = P , 则称 P 为对称正交矩阵.n n×m T T 2() 给定 P 为对称正交阵, 且 X ?R , 若 X 满足 X = - X , PX = - PX , 则称 X 为反对称正定义 2 n×n交反对称矩阵, 所有 阶反对称正交反对称矩阵的全体记为. n A SR p Tn×n ( ) 对于矩阵方程A XA = B 其中A , B ?R 为已知矩阵, 文献1 , 4 详尽地讨论了它有一般解, 对称正 交对称解及对称正交反对称解的充要条件及通解表达式, 并给出了其最佳逼近. 本文将考虑如下问题: n×n n×n 给定矩阵A , B ?R 求 X ?A S R , 使 问题 1P T()‖- ‖= 1 A XA B M m in 其中‖?‖表示加权范数.M 3 n×n 问题 2 设问题 1 的解集 S E 非空, 给定 X ?R , 求 X?S E , 使得 3 3 ()2 ‖- ‖= ‖- ‖.m in XX X X X ?S E 1 几个引理 首先我们给出一个引理. 3n×n 矩阵 ?的充要条件是 可表示为 引理 1X A S R p X X 0 1T ()3 = U X UX 0 2 1 () () r×r n- r× n- rn×n) ) ( ( 其中 1 ?, 2 ?, = + , 由 唯一确定且?.n X A S X A S rran k I P U P U O 2 记 ()Tn×r n× n- r) (()= , ?, ? 4 A U A 1 A 2 , A 1 R A 2 R T T(( ) ) 则矩阵对 , A A 的广义奇异值分解 简记为 为 2 1 GSV D T T ()5 = , = A 1 Q 1 8 1M A 2 Q 2 8 2M (() ) r×r n- r× n - rn×n 其中?, ?; ?为可逆阵; 且 Q 1 O Q 2 O M R Ξ 收稿日期: 2008201223 ( ) ( ) 基金项目: 山西省教育厅高等学校科技开发项目20041335; 忻州师范学院基金200504. ( ) 作者简介: 孟国艳19732, 女, 山西代县人, 忻州师范学院计算机系讲师, 主要从事最优化理论研究. () 太 原 师 范 学 院 学 报 自然科学版 第 7 卷14 ( 0 ) 0 0 0 0 0 0 I kn- r- t+ k ×k ()0 S S 0 0 0 6 0 0 1 2 8 1 = 8 2 = ( ) ( )0 0 0 0 0 0 r- k - s× t- k - s 0 I ( )t- k - s ) ) ) ( () ((Λs > 0, S 2 = d iag Κ1 , Κ2 , , Κs > 0, t= ran k A 1 , A 2 , k = - , = , 为块矩阵, = , , tran k A 2 sran kS 1 d iag Λ1 Λ2 () () + - .A 1 ran k A 2 t () n×r n× n- rn×n () 定义 3 矩阵A 1 ?R , A 2 ?R 给定, G ?R , 对应与 5式确定的M , 称- T- 1 ‖‖= ‖‖G M M GM F 为矩阵 G 的加权范数. 5n×n 设 ?, 则对任意 阶反对称矩阵 有 引理 2E R n H T E - E ?‖- ‖. E - E H 2 利用微分理论可下述引理 3, 引理 4. ×ss×kk ×sk ) ( 引理 3给定1 = 1 , 2 , , s > 0, ?, ?, 则存在唯一的矩阵 ?, 使 = ‖1 - S d iag ΛΛΛE R F R G R ΥGS 1 T - 1 2 T 2 ) (1 .‖+ ‖+ ‖= 成立, 且 = -F S E S 1G F m in G E 2 ×ss×ks×kk ) (引理 4给定 = , , , > 0, ?, ?, 则存在唯一的矩阵 ?, 使 = ‖- S 2 d iag Κ1 Κ2 Κs E R F R Z R ΥS 2 Z 2 T2 ‖+ ‖+ ‖= 成立, 且 F ZS 2 E m in 1 T - 1 ) (= -2 .Z F E S 2 s×s s×s ) ( ) (引理 5 设 , ?, = , , , = , ,, > 0, ?未知, 则使 G F R S 1 d iag Λ1 Λ2 Λ s > 0, S 2 d iag Κ1 Κ2 Κs X R - 12 - 1 2 ( ) = ‖ - 2 ‖+ ‖- ‖= 成立的反对称解为 7 S 2 S 1X S 1 G S X F m in T 2 T 2 (() ( ) ( ) ) = 3 - + -X K S 1 G G S 1 S F 7 2 F S 2 1 ×ss ) (. 其中 = , = K k i j ?R k i j 2 2 2 2 ()2 ΛΛ+ ΚΚ i j i j ) ) (() (, = , 则有 = , = - , = 记 证明g ij F f i j X x ij x i j x ij G s 2 1 2 ( Λx Λ-) = (i ii i + 7 ?g f ii ii + x i i -2 i= 1 Κi 2 1 1 2 2 2( () () ) ( () Λx Λ- g + x - f ?- Λi x ij Λi - g j i x - f + - i ij i ij i j ij + ij j i i< j ΚΚ ΚΚ i ji j2 个变量 是连续可微的, 由函数在某一点取最小值的必要条件得下面的表达式 关于 7 sx ij 22 j i ) () ( f ΚΛg - g Λ+ Κf -i j i ij j i j ij ()8 x ij = 22 2 2 ()2 Λ i Λj + Κi Κj () () 由8得7, 证毕. 2 主要结果 n×n n×n TT T() (定理 1 给定矩阵 ?, , ?, 按照 4式进行分块, 矩阵对 , P O A B R A U A A ) 1 的广义奇异值分解由2 () 5式给出, 令 B B B B 11121314 B B B B 21 22 23 24 - T- 1 =M BM B B B B 31 32 33 34 B B B B 41 42 43 44 n×n 则问题 1 的最小二乘解 ?的通解可表示为 X A S R X 0 1T ()9 X = U U 0 X 2 其中 第 1 期孟国艳等: 反对称正交反对称矩阵反问题的加权最小二乘解15 1 1 T T - 1 (()) B X B 11 -B 12 - 21 111 B S 132 2 T 1 X 1 = Q 1 T - 1 T Q 1 ) ) ( (- B -B S X X 21 1 12 22232 T T - - X X 1323X 33 Y 11Y 12Y 13 1 1 - 1 T T - 1 T - 1 ( ((B -)) ) - Y 22 B - B - B S T 12S 22 S X S S 23 32 22 1221 2 X 2 = Q 2 2 2 2 Q 1 1 T T - 1 T T ( ()()) B 23 - 32 B 33 - 33 - 13 - - 2 Y B S B 2 2 其中 , , , 为任意矩阵, , , 为任意的反对称阵. X 13 X 23 Y 12 Y 13 X 22 X 33 Y 11 X 0 1 n ×n T r×r 证明 设对任意的 X ?A S R P , 由引理 1 知 X 可表示为 X = UU , 其中 X 1 ?A S , X 2 ?0 X 2 () () n- r× n- r() , 由4式知A S X 0 1TTTT T - = - = + -A XA B A U U A B A 1X 1A 1 A 2X 2A 2 = B 0 X 2 T T T T T T () () 1 Q 1 X 1Q 1 8 1M + M 8 2 Q 2 X 2Q 2 8 2M - M 8 B 记 X X X Y Y Y 111213111213 T T T T X Y Y - 23 23 - X X 12Y 1 X 1Q 1 = 12 22 Q 2 X 2Q 2 = 22 Q T T T T - - - - X 13X 23Y 13Y 23X Y 33 33 T T T T) ( ) ( , = -由反对称性可知, = - , 又由矩阵对 1 , 2 的广义奇异值分解由 5 式可知ii X ii Y X ii Y ii A A TTTTT- T- 1 ‖- ‖= ‖1 1 + 2 2 - ‖= A XA B M 8 Q X 1Q 1 8 1 8 Q X 2Q 2 8 2 M BM X - B X S - B B - - 11 11121 1213B 14 T B S Y - B - S X -B - S X S + S Y S -22 2 23 23 1 24 12 B 211221 2 222 T Y - B - B - Y S -- B 33 33 312 34 B 3223 - B - B - B 42- 41 43 B 44 T2 2 T‖= 等价于‖- ‖= , 也就等价于‖- ‖= , ‖- 于是问题‖- M B M m in A XA B m in X 11 B 11 m in Y 33 A XA 2 2 T 2 2 ‖= , ‖- ‖+ ‖+ ‖= , ‖+ + - ‖= , ‖- 12 B 33 m in X 12S 1 B 12 S 1X B 21 m in S 1X 22S 1 S 2 Y 22 S 2 B 22 m in S 2 Y 23 B 23 2 T 2 ‖+ ‖+ ‖= . 23 Y S 2 B 32 m in 由引理 2, 3, 4 得 1 1 1 1 T T T T - 1 ) ) ) ) ((((= - , = - , + = - , = - 1 , =X 11 B 11 B 11 Y 33 B 33 B 33 S 1X 22S 1 S 2 Y 22S 2 B 22 B 22 X 12 B 12 B 21 S Y 23 2 2 2 2 1 T - 1 () B S .- B 23 32 22 X 0 1T () 将上述解代入 = 中, 即知问题 1 的通解表达式为 9. 证毕. X UU X 0 2 3 n×n 假设条件与定理 1 相同, 问题 1 的解集 S E 非空, Π X ?R , 令 定理 2 T3 ) ( () , , = 1, 2, =K i j ij U X U 3 3 3 3 3 3 X X Y Y Y 11 X 1213111213 T T 3 3 3 3 3 3 Q X X Y Y Y 1 K 11Q 1 = X 21 2223Q 2 K 22Q 2 = 212223 3 3 3 3 3 3 X X X Y Y Y 31 3233313233 TQ XQ 0 111 T () 10 则问题 2 存在唯一解 ?E , 且 可表示为 = XS XXUU T Q XQ 0 222 其中 () 太 原 师 范 学 院 学 报 自然科学版 第 7 卷16 1 1 1 T 3T - 1 3T ((()) )B B 11 -B 12 -X 3 -11 B 21 S 1 1 X 31 2 2 2 1 1 3T - 1 T 3T T () ) ( () = - B -X 3 -B S X 21 1 2 3 1 X1 Q 1 12 22X 2Q 2 2 1 1 1 33 T T T T T 3 3 3 3 (- - - - ) () () X 13 X 23 X 33 X X X 31 32 33 2 2 2 1 1 1 33 T 3 3 T 3 3 T ()) () (Y - Y - Y X 11 12 Y 13 - X 31 11 21 2 2 2 1 1 1- 1 T - 1 T 3- 1 T 3T T ) () ) ( () ( B -S B 23 - B 32 S 2 Q 2= - Y 1 -2 S B 22 - S 1X 22S 12 2 22 X2 Q 2 2 X 1 2 22 1 1 1 T T - 1 T 3 3 T T ()) ) )( ((- - Y 13 X B 23 - B 32 S 2B 33 - B 33 31 2 2 2 1 32 T T s s T 2 33×) ( ) ) ) ) ((() 2(2 2 2 2 22 -2 ?, = 3 - + -X S , = -, =B k ij R X 22 K S 1 G G S 1 S X 2 G B 22 S 2 Y 2S 2 K 2 1 ( ), = 1, 2, , . k ij = ij s2 2 2 2 ()2 ΛΛ+ ΚΚ i j i j 证明 由 范数的正交不变性有 F 2 2 X X K K 11 11 12 3 2 T T3 T() ‖X - X ‖=U - U U X U U = - = U X X K K 22 21 222 X - K - K 1 11 122 2 2 2 = ‖- ‖+ ‖- ‖+ ‖- ‖+ ‖- ‖= X 1 K 11 K 12 K 21 X 2 K 22 X - K - 2 22K 21 T T 2 T T 2 2 2 ()()‖- 1 1 ‖+ ‖- 2 2 ‖+ ‖‖+ ‖‖= X 1 Q 1 Q K 11Q 1 Q X 2 Q 2 Q K 22Q 2 Q K 12 K 21 2 1 1 T T - 1 33 (() ) X - B 11 -B 12 -X 1 13 X 1 B B S -11 21 12 3 2 2 1 + T - 1 T 333 ( () ) X - - B 12 - B 21 S 1-2 2 23 2 X X - X X 1 22 2 3 2 T T 333X - - X - X 3 - X - X 3 33 X 3 12 1 23 2 3 2 333Y - Y - Y Y Y - Y 1 12 1 1 11 1 2 13 3 1 1 T - 1 T - 1 T - 1 3 3 3 ( () () ) - Y - S S X S S - B S - 2 2 B 22 -B 22 -Y 22B 23 -Y 23Y 1221 232 212 1 + 2 2 1 1 T T - 1 2 3 33T ( () () - Y - ) - B 23 - B 32 S 2-Y Y 3 Y 3 B 33 - B 33 -3 3 13 1 2 2 2 2 2‖‖+ ‖‖ K 12 K 13 3 因此, ‖- ‖= 等价于m in X X X ?S E3332 T 32 ‖- ‖= , ‖- ‖= , ‖- ‖+ ‖+ ‖= , 3 1 1 13 3 X 33 X 3 m in Y 11 Y 1 m in X 13 X 3 X X 1 m in 32 T 32 32 T 32 ‖- ‖+ ‖+ ‖= , ‖- ‖+ ‖+ ‖= , X 23 X 3 X X 2 m in Y 12 Y 2 Y Y 1 m in 2 23 3 1 12 2 32 T 32 ‖- ‖+ ‖+ ‖= , 1 13 3 Y 13 Y 3 Y Y 1 m in 1 T - 1 - 13 2 3 2 ) ( ‖2 B 22 - B 22 -‖ + ‖- ‖ = S 1X 22S 1 2 - S Y 22 X 22 X 22 m inS 2 由引理 2, 5 可知 1 1 1 1 1 333333333T T T T ((((( ) ) ) ) = -----, =, =, =, =X 33 X 3 Y 1 X 3 X 3 Y 2 3 X 3 3Y 11 1 Y 1 1X 13 1 X 3 1X 23 2 X 32 Y 12 1 2 2 2 2 2 1 3 T T T 2 3 3 T 2 3 3 )) (((() ) ) , = - - + - , , = 3 21 Y 13 Y 13 S 1 G G S 1 S 2 X 22 X 22 S 2 X X 31 X 22 K 2 1 1 T s s ×3() ( ) ) , = (B 其中, = - - 2 , =k ij ?R k i j , , = 1, 2, , G B 22 22 S 2 Y 2S 2 K 22 2 2 ij s(2 2 Λ ) Λ + ΚΚ i j i j() 由此即得 10, 证毕. 第 1 期孟国艳等: 反对称正交反对称矩阵反问题的加权最小二乘解17 参考文献: K ing 2w ah E r ic C hu. 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A nd w e o b ta in th e gene ra l exp re ssio n s o f th e so lu t io n. In o f add it io n , in so lu t io n s se t o f th e equa t io n , th e exp re ssio n s o f th e op t im a l app ro x im a t io n to an y 3 g iven m a t r ix X a re de r ived. 〔Key word s〕 m a t r ix equa t io n; an t i2symm e t r ic o r tho go na l an t i2symm e t r ic m a t r ix; w e igh ted lea st2squa re so lu t io n; op t im a l app ro x im a t io n () 上接第 3 页 参考文献: ( ) ( ) 陈应生. S ie rp in sk i 地毯的 H au sdo rff 测度估计J . 华侨大学学报自然科学版, 2005, 26 2: 2202221 1 () ( ) 周作领. S ie rp in sk i 垫片的 H au sdo rff 测度J . 中国科学A , 1997, 27 6: 4912496 2 F a lco ne r 著. 分形几何的数学基础及其应用M . 曾文曲译. 沈阳: 东北大学出版社, 2001 3 ( ) ( ) 陈秀庆. 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Co nc lu sio n T h e gene ra liza t io n o f th e co u n tab le su badd it iv ity o f h au sdo rff m ea su re and th e symm e t ry can be u sed in som e o th e r f rac ta l se t. 〔Key word s〕 sie rp in sk i ca rp e t; h au sdo rff m ea su re; h au sdo rff d im en sio n; co ve r ing