康托尔

康托尔 康托尔(Contor,Georg)(1845-1918)，是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者。是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一。19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。然而数学的发展最终证明康托是正确的。他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。 1(康托尔的生平 1845年3月3日，乔治?康托生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。1856年康托和他的父母一起迁到德国的法兰克福。像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。他的父亲力促他学工，因而康托在1863年带着这个目地进入了柏林大学。这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。康托很早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之一。所以在柏林大学，康托受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授。1874年康托在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。这篇文章的创造性引起人们的注意。在以后的研究中，集合论和超限数成为康托研究的主流，他一直在这方面发表直到1897年，过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康托患了精神分裂症。这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续影响着他的生活。1918年1月6日，康托在哈勒大学的精神病院中去世。 2.康托尔关于无空集合的思想，可以溯源很远。无穷和无穷的集合，从古希腊时代起，就引起许多数学家和哲学家的注意。例如，亚里士多德考虑过整数集合的无穷性，但他只承认潜无穷而不承认无穷。他的这种思想影响了不少人。19世纪，极限理论给出无穷概念。数学家们普遍认为无穷的概念本质上是作为无穷过程即变量变化的赵势来理解的。无穷小定义为极发为零的变量，否定了作为数量的实无穷小;无穷大理解为其绝对值可以无限增大的变量，而作为数量无穷大也被忽略了。被誉为"数学之王"的高斯就是一个潜无穷论者。当然，潜无穷在一定条件下是便于使用的，但若把它作为无穷观则是片面的数学的发展表明，只承认潜无穷，否认实无穷是不行的。 数学严格化的大师波尔查诺是一位探索实无穷的先驱，他是正式提出"集合"概念的并是试图着手研究无穷的一个。1851年，他在《无穷悖论》中提出两个无穷集合的等价概念，明确表达了无穷集合具有"部分可以等于全体"的特征，并力图用这些说明:实无穷无论是在数学中，还是在哲学中，都是合法的，但在人的理论体系当中，还存在着许多错误，如错误地用比较无穷大的阶的办法比较无穷大小。 集合的创立，是同康托的成就分不开的，因此康托被认为是20世纪有极大影响的数学家。康托1845年出生于彼德堡，父母都是犹太人。其父是丹麦商人，年轻时就移居彼德堡。1863年在柏林大学学工科，受维尔斯特拉斯影响，由学工转学纯粹数学。6年后任哈雷大学讲师。 康托在哈雷大学任教期间，海涅作为人的同事和师长，建议他研究黎曼提出的"惟一性理论"。康托接受了这个建议，并放弃了人所喜爱的数论方面的研究课，1870年、1871年、1872年连续发表了三篇论文，提出了"戴德金-康托"公理，定义了导集，使无穷点集成为数学研究的对象。 1874年，康托又发表了《切代数实数的一个性质》一文。该文提出了"可数集"概念，并以一一对应为准则对无穷集进行分类。该文是集合论诞生的标志，康托1874年的论文以取得如此重要的成就，主要是他坚持了一一对应的方法。由于这一认识上的飞跃，才接受了无穷它的真子集对等这一事实。虽然这个事实早在5世纪的普鲁克鲁斯已经知道，以后在里略、 莱布尼兹、波尔查诺等人的研究中都屡次提同群，但在康托尔之前，都因为这个结果同"整体大于部分"这一传统公理相把它否定了。康托敢于承认有限和无限的本质区别，排除一切传统的、直观的世俗偏见，利用一一对应这一有效工具。对无穷集合的特性进行了深入的分析和开拓。 1879-1884年，在以《关于无穷的线性点集合》为总标题下的一系列论文中，康托系统地建立了无穷集合的超基数与超限数的理论。 为了真正把超限数当作"数"来对待，康托不像波尔查诺那样，随便给无穷集合指定一个超限数，而是利用等价成。每一个矿脉对应一个基数，并规定超限数大小的比较法则。 集合论是现代数学中重要的基础理论。但在其产生初期，人们不仅没有认识到它的重要意义，甚至受到人的激烈反对。反对派的柏林学派的代表人隆尼克。隆尼克认为:只有自然数才可以作为数学的可靠基础，任何涉及"无穷"的数学都毫无意义;德国数学家魏尔认为，康托把无穷分成等级是雾上之雾。 由于两千年来无穷数学带来的困难，也由于反对派的权威地位，康托的成就不仅没有得到应得的，反而受到排斥。在学校，康托只能拿同等资历教授工资的一半，在社会上，发几家杂志拒绝刊登他论文，粗暴地指责、无理的歧视给康托带来巨大的压力。1884年康托患了精神分裂症，后来又宗教信仰作为精神寄托，然而趔是不可战胜的，他最终获得了世界的承认，至今享有极高的声誉。希尔伯特就曾热烈赞美康托的业绩。他大声疾呼:"没人能把我们从康托所创造的天国中赶走。"罗素把康托的工作称为:"可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。" 集合论的理论意义十分巨大，它拓宽了人们对"无穷"和"无穷集合"的深层认识。就数学而言，集合论改变了数学的各个分支的基本叙述方式，成了它们共同的基础。