直线的方向向量
A(30? B(45? 3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程
(60? D(90? C一、选择
?AC||11(点A(,3,1,5),B(4,3,1)的中点坐标是( ) A(4,1,3),B(2,,5,1),C为线段AB上一点且C的坐标为6(已知点,,则点?3|AB|71,,,,,1,,2,2,3A. B. ,,,,22,,,,( )
14,,7153,,,,,12,3,5(),,,2C. D. ,,,,,,,3,2A. B. ,,,,33,,2228,,,,
2??107573,,,,2(已知点A(3,3,,5),B(2,,3,1),C为线段AB上一点,且AC,AB,则点C的坐,,1,,,C. D. ,,,,333222,,,,标为( ) 7(如图,在正方体ABCD—ABCD中,E、F、G、H分别是AA、AB、BB、BC的中点,11111111
7153则异面直线EF与GH所成的角等于( ) A((,,,) B((,,3,2) 2228
7573C((,,1,,1) D((,,,) A(45? B(60? 3222
C(90? D(120? 3(若异面直线l,l的方向向量分别是a,(0,,2,,1),b,(2,0,4),则异面直线12
8(在正四棱柱ABCD—ABCD中,E、F分别是AB,BC的中点,111111l与l的夹角的余弦值等于( ) 12
则以下结论中不成立的是( ) 22A(, B. 55A(EF与BB垂直 1
B(EF与BD垂直 2525C(, D. 55C(EF与CD异面 4(已知向量a,(2,3,5),b,(3,x,y)分别是直线l、l的方向向量,若l?l,则1212D(EF与AC异面 11
( )
9159(在正方体AC中,PQ与直线AD和AC都垂直,则直线PQ与BD111A(x,,y,15 B(x,3,y, 22
的关系是( )
915C(x,3,y,15 D(x,,y, A(异面直线 B(平行直线 22
C(垂直不相交 D(垂直且相交 5(已知a,b是异面直线,A,B?a,C,D?b,AC?b,BD?b且AB,2,CD,1,则a
与b所成的角是( )
l的方向向量a,(2,4,x),直线l的方向向量b,(2,y,2),若|a|,10(已知直线 12
6,且a?b,则x,y的值是( )
A(,3或1 B(3或,1
C(,3 D(1
二、填空题
11(已知点A、B、C的坐标分别为(0,1,0)、(,1,0,,1)、(2,1,1),点P的坐标为O是正?ABC平面外一点,若OA,OB,OC,AB17(如图,点
(x,0,z),若PA?AB,PA?AC,则P点的坐标为________( ,1,E、F分别是AB、OC的中点,试求OE与BF所成角的余弦(
12(已知A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5),且ABCD是平行四边形,则点D的坐标为
________( 18(如图所示,在长方体OABC,OABC中,|OA|,2,|AB|1111
13(已知直线l的方向向量v,(2,,1,3),且过A(0,y,3)和B(,1,2,z)两点,则y,3,|AA|,2,E是BC的中点( 1
,______,z,______.
114(已知两异面直线l和l的方向向量分别为v和v,若cos〈v,v〉,,,则l12121212
与l所成的角为________________( 2
三、解答题 (1)求直线AO与BE所成角的大小; 11
15(已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,,5),若点P(x,,1,3)在平面ABC内,求x
的值(
16(已知三棱锥O—ABC中,OA,OB,1,OC,2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程 D,使BD?AC,DC?AB? 一、选择题
1(点A(,3,1,5),B(4,3,1)的中点坐标是( )
71,,,,,1,,2,2,3A. B. ,,,, 22,,,,
14a,(2,3,5),b,(3,x,y)分别是直线l、l的方向向量,若l?l,则4(已知向量1212,,,12,3,5(),,,2 D. C.,,33,,( )
[
] B 915A(x,,y,15 B(x,3,y, 22[解析] 由中点坐标公式可得B.
2915??2(已知点A(3,3,,5),B(2,,3,1),C为线段AB上一点,且AC,AB,则点C的坐C(x,3,y,15 D(x,,y, 322
标为( ) [答案] D
7153xy3A((,,,) B((,,3,2) [解析] ?l?l,?a?b,?,,, 122228235
7573915C((,,1,,1) D((,,,) ?x,,y,. 322222
[答案] C 5(已知a,b是异面直线,A,B?a,C,D?b,AC?b,BD?b且AB,2,CD,1,则a
?与b所成的角是( ) [解析] 设C(x,y,z),AC,(x,3,y,3,z,5)
A(30? B(45? 2,(,1,,6,6) 3C(60? D(90?
7[答案] C 解得x,,y,,1,z,,1. 3??[解析] 直线a,b的方向向量分别为AB,CD, 3(若异面直线l,l的方向向量分别是a,(0,,2,,1),b,(2,0,4),则异面直线12
?????AB,AC,CD,DB, l与l的夹角的余弦值等于( ) 12
???????22?AB?CD,AC?CD,CD2,DB?CD, A(, B. 55??即2?1?cos〈AB,CD〉,1 2525C(, D. 155???cos〈AB,CD〉,, 2[答案] B
??即〈AB,CD〉,60?.故选C. [解析] a?b,,4,|a|,5,|b|,25,
?a?b,42AC||1,,,,cosθ,|cos〈a?b〉|,,. ,,,,,6(已知点A(4,1,3),B(2,,5,1),C为线段AB上一点且C的坐标为,,则点|a||b|105?3,,,,|AB|
( )
17153,,,,,,,,,,3,2 B. A.,,,,422281,,,,??EF,GH〉,,,. ?cos〈222107573,,,,?,,1,,,C. D. ,,,,2233222,,,,
??[答案] C ?〈EF,GH〉,120?, ??异面直线EF,GH成60?角( AC||1[解析] 设C(x,y,z),?C为线段AB上一点且,. ?38(在正四棱柱ABCD—ABCD中,E、F分别是AB,BC的中点,则以111111|AB|
下结论中不成立的是( ) 1???AC,AB, 3A(EF与BB垂直 1
1B(EF与BD垂直 即(x,4,y,1,z,3),(,2,,6,,2), 3C(EF与CD异面
107?x,,y,,1,z,. D(EF与AC异面 1133
[答案] D 7(如图,在正方体ABCD—ABCD中,E、F、G、H分别是AA、AB、BB、BC的中点,11111111
[解析] 建立空间直角坐标系后,验证A、B、C正确,故选D. 则异面直线EF与GH所成的角等于( )
9(在正方体AC中,PQ与直线AD和AC都垂直,则直线PQ与BD111
的关系是( )
A(异面直线 B(平行直线
C(垂直不相交 D(垂直且相交
[答案] B A(45? B(60?
[解析] 取D点为坐标原点建系后, C(90? D(120?
??DA,(1,0,1),AC,(,1,1,0), 1[答案] B
a,c,0[解析] 取D点为坐标原点,DA,DC,DD为x,y,z轴建系,设棱长为1, 1,?设PQ,(a,b,c),则 , ,a,b,0,,1111,,,,??0,,,,,0,则EF,,GH,, ,,,,2222,,,,?取PQ,(1,1,,1)(
???BD,(0,0,1),(1,1,0),(,1,,1,1),,PQ, 1
??l的方向向量v,(2,,1,3),且过A(0,y,3)和B(,1,2,z)两点,则y13(已知直线PQ?BD,?PQ?BD. ?11
,______,z,______. 10(已知直线l的方向向量a,(2,4,x),直线l的方向向量b,(2,y,2),若|a|,12
336,且a?b,则x,y的值是( ) [答案] 22A(,3或1 B(3或,1 ??[解析] ?v?AB,而AB,(,1,2,y,z,3) C(,3 D(1
,12,yz,3[答案] A ?, ,2,13[解析] ?|a|,6,?x,?4. 33?y,,z,. 又a?b,?2y,x,2,0. 22当x,4时y,,3,x,y,1; 114(已知两异面直线l和l的方向向量分别为v和v,若cos〈v,v〉,,,则l12121212当x,,4时y,1,x,y,,3.故选A.
与l所成的角为________________( 2二、填空题
[答案] 60? 11(已知点A、B、C的坐标分别为(0,1,0)、(,1,0,,1)、(2,1,1),点P的坐标为
[解析] 由异面直线夹角的范围可得( (x,0,z),若PA?AB,PA?AC,则P点的坐标为________(
三、解答题 [答案] (,1,0,2)
15(已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,,5),若点P(x,,1,3)在平面ABC内,求x???[解析] 由已知,AB,(,1,,1,,1),AC,(2,0,1),PA,(,x,1,,z),
的值(
??,PA?AB,0x,1,z,0x,,1,,,?[解析] AB,(,2,2,2), 由,得,解得. ,,, ??,2x,z,0z,2,,,PA?AC,0,??AC,(,1,6,,8),AP,(x,4,,2,0)(
?P(,1,0,2)( ???因为点P在平面ABC内,则存在一对实数λ,μ,使得AP,λAB,μAC. 12(已知A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5),且ABCD是平行四边形,则点D的坐标为
x,4,,2λ,μ,________( ,
,2,2λ,6μ,故解得x,11. ,[答案] (1,2,0) ,0,,2λ,8μ.???[解析] BC,(,2,,2,0),而AD,BC,
16(已知三棱锥O—ABC中,OA,OB,1,OC,2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点
????OD,BC,OA,(,2,,2,0),(3,4,0),(1,2,0), D,使BD?AC,DC?AB? ?D点坐标为(1,2,0)(
A(1,0,0),[解析] 建立如右图所示的空间直角坐标系,则
B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z)(
????由BD?AC,DC?AB?BD?AC.DC?AB,
因此
AO与BE所成角的大小; (1)求直线11
(x,y,1,z),k(,1,0,2),1,(2)作OD?AC于D,求点O到点D的距离( ,11 (,x,,y,2,z),k(,1,1,0),,2
[解析] 如图所示,建立空间直角坐标系(
x,,1,(1)由题设知,A(2,0,0),O(0,0,2), 1,
y,1,?D点的坐标为(,1,1,2)( 即,B(2,3,2),E(1,3,0) 1 ,z,2.
???AO,(,2,0,2),BE,(,1,0,,2)( 1117(如图,点O是正?ABC平面外一点,若OA,OB,OC,AB
,210??,1,E、F分别是AB、OC的中点,试求OE与BF所成角的余弦( ?cos
,,,. 1110210???[解析] 设OA,a,OB,b,OC,c,则a?b,b?c,c?a,10?AO与BE所成角的大小为arccos. 11110,|a|,|b|,|c|,1, 2
????(2)由题意得OD?AC,AD?AC. 111,,??c,bOE?BF,(a,b)? ,,22?C(0,3,0),设D(x,y,0), ,,
??111,,2?OD,(x,y,,2),AD,(x,2,y,0), 1a?c,b?c,a?b,|b|, ,,222,,
?AC,(,2,3,0) 11111,,,,,1,,,, ,,44222,,18,2x,3y,0,x,,,,,13,11812,???D(,,0)( ,??x,2y,2OE?BF21313??12,, ,?cos〈OE,BF〉,,,,. ,23y,.,,??333,13|OE|?|BF|?22
1812?222?|OD|,(,0),(,0),(0,2) 211313?OE与BF所成角的余弦为. 3
228618(如图所示,在长方体OABC,OABC中,|OA|,2,|AB|,3,|AA|,2,E是BC的11111,. 13
中点(