3.2.1直线的方向向量与平面的法向量

海头中学数学组集体备课纸 备课时2007年11月10日 授 课 间 人 课 课 题:直线的方向向量与平面的法向量 题 教学目标: 1(理解直线的方向向量和平面的法向量; 2(会用待定系数法求平面的法向量 教学目 标 过程与:通过对方向向量和法向量的探究。感知应 用方向向量和法向量解决问题的方法，通过转化思想， 数形结合思想和逻辑推理的数学方法 情感态度与价值观:感受方向量和法向量在数学中的重 要作用，体会向量与现实世界的联系 教学重直线的方向向量和平面的法向量 点 教学难求平面的法向量 点 教 学 过 程 教师活动 教 学 内 容 学生活动 一、创设情景 1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率， 直线的方向向量，直线平行与垂直的判 定; 一条直线2、如何用向量描述空间的两条直线、直 的方向向线和平面、平面和平面的位置关系, 给定直线量有无数二、建构数学 的方向向个 且它1、直线的方向向量 量及直线们共线。 我们把直线上的向量以及与共ee上一点的l 线的向量叫做直线的方向向量 坐标，可以l 2、平面的法向量 确定一条 如果示向量的有向线段所在直线垂n直线(类似 直于平面α，则称这个向量垂直于平面于平面中 α，记作n,,n,,一个平面，如果，那么向量n叫直线方程的法向量做平面α的法向量。 的点斜式) 注: 有无数个 ,且它们共?若，则称直线为平面的法线; l,,l 线 ?平面的法向量就是法线的方向向量。 ?给定平面的法向量及平面上一点的坐 标，可以确定一个平面。 教师活动 教 学 内 容 学生活动 中，求证:例1 在正方体ABCD,ABCD 1111 DB是平面的法向量。 ACD:眼 11 DA,DC,DD证:设正方体棱长为1，以为一个 1向量是平单位正交基底， 建立如图所示空间坐标系 D,xyz面的法向 z C1 D1 DB,(1,1,1)AC,(,1,1,0)AD,(,1,0,1) ，， 量，就是 11AB1 1 DB,AC,0DB,AC，所以 证明这个 11 C D y DB,AD同理 向量所在 11A B x DB, 所以平面 的直线与 ACD1 DB从而是平面的法向量。 ACD平面垂直 11 即可。 3、在空间求平面的法向量的方法: (1)直接法:找一条与平面垂直的直线， 求该直线的方向向量。 提问学生 (2)待定系数法:建立空间直接坐标系 nxyz,(,,)?设平面的法向量为 回顾以前 证明线面?在平面内找两个不共线的向量 和 axyz,(,,)垂直是怎 111 bxyz,(,,)么证明 222 ,na,,0,的，线面 ?建立方程组: ,nb,,0,, 垂直的判 ?解方程组，取其中的一组解即可。 定定理以掌握在空间 ACD例如:在例1中，可以设平面的法1及面面垂中求平面的 向量为 nxyz,(,,)，则 直的判定法向量的方 nACnAD,,,定理 法:待定系1 即 nACnAD,,,,0,0 数法，并注1 意在用待定 系数法求法 向量时要先 建立空间直 接坐标系。 通过例1 讲解求平 面的法向 量的待定 系数法。 并要求学 生掌握这 种方法。 教师活动 教 学 内 容 学生活动 因为 ACAD,,,,(1,1,0),(1,0,1) 1 ,，,xy0yx,,, 所以，即 ,,,，,xz0zx,,, 取，则 yzx,,,1x,1 n,(1,1,1)所以，就是平面的一个法ACD1 向量。 ,例2 在空间直角坐标系内，设平面经 ,过点P(x,y,z)，平面的法向量为000 e,(A,B,C),，为平面内任意一点，M(x,y,z) 求满足的关系式。 x,y,z PM,(x,x,y,y,z,z)解:由题意可得 000 e,PM,0 (A,B,C),(x,x,y,y,z,z),0即 000 A(x,x)，B(y,y)，C(z,z),0化简得 000 三、课堂练习 :空 1、已知点是平行四边形所在平面PABCD 间中平面掌握空间中 AB,,(2,1,4)AD,(4,2,0)外一点，如果，， 的方程是平面的方程 新疆王新敞奎屯AP,,,(1,2,1) 三元一次与平面中直 AP(1)求证:是平面的法向ABCD 方程，与线的方程的 量; 平面中直联系与区 线的方程(2)求平行四边形的面积( 别。 ABCD 类似。 (1)证明: APAB,,,,,,,,(1,2,1)(2,1,4)0?， APAD,,,,,,(1,2,1)(4,2,0)0?， APAB, ，又，平面， ABADA,APAD,AP,ABCD AP ?是平面的法向量( ABCD 222(2)， ||(2)(1)(4)21AB,，,，,, 222 ， ||42025AD,，，, 掌握证明一 个向量是平 面的法向量让学生回 的方法，并答平行四 边形面积会用平面的公式 法向量与直 线的方向向 量解决有关 问题。 教师活动 教 学 内 容 学生活动 ABAD,,,,,,(2,1,4)(4,2,0)6?， 63105 ?， cos,,,,,ABAD1052125， 932sin1，,,,BAD?， 掌握利用空10535 ?( SABADBAD,,，,||||sin86 间向量的有ABCD 2、课本第86页练习1，2 关知识解决教师讲解四、回顾总结 问题的方思路，让1、直线得方向向量与平面法向量得概法。 学生书写念; 过程。 2、求平面法向量得方法 五、布置作业 学生板演课 堂练习 课题 1、直线的方向向例1 练习 量 板书设 例 2 计 2、平面的法向量 课后习题 1， 2 ，3 布置作 业 要求学生掌握一个平面的法向量有无穷多个,只求出其课后反中一个就可以。若已知平面内不共线的三点，会求平面思 的法向量，以及平面的方程。知道平面的法向量及平面 内一点时会求平面的法向量。