曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分 上一章已经把积分概念从积分范围为数轴上一个区间的情形推广到积 分范围为平面或空间内的一个闭区域的情形。本章将把积分概念推广到积 分范围为一段曲线弧或一片曲面的情形（这样推广后的积分称为曲线积分 和曲面积分），并阐明有关这两种积分的一些基本内容。 在设计曲线形构件时，为了合理使用材料，应 该根据构件各部分受力情况，把构件上 各点处的粗细程度设计得不完全一样。 因此，可以认为这构件的线密度（单位 长度的质量）是变量。假设这构件所占 的位置在xOy面内的一段曲线弧上， L 它的端点是、,在上任一点(x,y) ABL 处，它的线密度为,(x,y)。现在要计算 这构件的质量（图10-1）。 图 10-1 M 如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长 度的乘积。现在构件上各点处的线密度是变量，就不能直接用上述方法来 计算。为了克服这个困难，可以用M,M,？,Mn上的点把分成LL12n,1 个小段，取其中一小段构件来分析。在线密度连续变化的前提下，MMi,1i 只要这小段很短，就可以用这小段上任一点，，,,,处的线密度代替这小段ii上其它各点处的线密度，从而得到这小段构件的质量的近似值为 ，，,,,,,s， iii其中,s表示的长度，于是整个曲线形构件的质量MMii,1i n ，，M,,,,,,s 。 iii,i,1 用n表示个小弧段的最大长度。为了计算的精确值，取上式右M, ,0时的极限，从而得到 , n 端之和当，，M,lim,,,,,s。 iii,,,0i,1 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。现在引进下面的定义。 xOy，，fx,yLL LM,M,？,MLni12n,1 ,s i，，,,,iii n ，，f,,,,s，，f,,,,s，，i,1,2,？,n iii,iiii,1 ，，,fx,y0, L，，, fx,yds,L n ，，limf,,,,s，，=， fx,ydsiii,,,L,0i,1 ，，Lfx,y。 在第二目中我们将看到，当，，Lfx,y在光滑曲线弧上连续时，对弧长的曲线积分L，，，，fx,yfx,yds是存在的.以后我们总假定在上是连续,L 的。 根据这个定义，前述曲线形构件的质量L,(x,y)当线密度在上M 连续时，就等于,(x,y)对弧长的曲线积分，即 ，， M,,x,yds,L 上述定义可以类似地推广到积分弧段为空间曲线弧的情形，即函数,，，fx,y,z在曲线弧上对弧长的曲线积分 , n ，，，，fx,y,zds,limf,,,,,,s iiii,,,0,i1,, 如果LL（或）是分段光滑的，我们规定函数在（或）上的曲,,线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分之和。例如，设L可分成两段光滑曲线弧L及L(记作L,L，L)，就规定 2121 ，，，，，，fx,yds,fx,yds，fx,yds. ,,,L，LLL1212 如果L，，Lfx,y是闭曲线，那么函数在闭曲线上对弧长的曲线积分记为 ，，fx,yds,L 由对弧长的曲线积分的定义可知，它有以下。 （1） ，，，，，，，，,,fx,y,gx,yds,fx,yds,gx,yds,,,LLL （2） () ，，，，kfx,yds,kfx,ydsk,,LL （3），，，，，，，，fx,yds,fx,yds，fx,ydsL,L，L 12,,,LLL12 ，，LLfx,y ，，,x,t,, ，，,,t,, ,，，,y,t,, 22,,，，，，，，，，,t，,t,0,,,t,,t,,, ，，fx,yds ,L ,22,,，，，，，，，，，，,,fx,yds,f,t,,t,t，,tdt ,,L, ，，,，,。 （1） ,L，，由变至时,上的依点的方 Mx,y,A至点Bt 证 假定当参数向描出曲线LLA,M,M,M,？,M,M,B。在上取一列点，它012n,1n们对应一列单调增加的参数值,,t,t,t,？,t,t,,。 012n,1n 根据对弧长的曲线积分的定义，有 n ，，，，fx,yds,limf,,,,s。 iii,,,0,i1,, 设点，，，，,,,,,,,,,t,,,t,对应于参数值，即，这里.，，,,,iiii,1iiiiii 由于 ti22,,， ，，，，,s,,t，,tdti,ti,1 应用积分中值定理，有 22,,,,，，，，,s,,,，,,,t iiii其中,,t,t,t,t,,,t。于是 iii,1i,1ii n22,,,,，，，，，，，，，，,,fx,yds,limf,,,,,,,，,,,t。 ,iiiii,L,,0,i1 22由于函数,,,,,,,，，，，在闭区间上连续，我们可以把上式中的 ,t，,t ,,,换成，从而 ii n22,,，，，，，，，，，，,,fx,yds,limf,,,,,,,，,,,t 。 ,iiiii,L,,0,i1 22上式右端的和的极限，就是函数,,，，，，，，，，,,f,t,,t,,t，,t在区间,,,,,,,,,,上的定积分，由于这个函数在上连续，所以这个定积分是存在的，因此上式左端的曲线积分，，fx,yds也存在，并且有 ,L ,22,,，，，，，，，，，，,, fx,yds,f,t,,t,t，,tdt,,L, ，，,，,。 （1） 公式（1）表明，计算对弧长的曲线积分时，只要把，，x,y,dsfx,yds,L 22，,,,依次换为，然后从到作定积分就行了，，，，，，，，，,,t,,t,,t，,tdt 这里必须,.这是因为，从上述推导,中可以看出，由于小弧段的长度,s,t,0总是正的，从而，所以定积分ii的下限,一定小于上限,。 如果曲线由方程 L ，，，，x,x,Xy,,x 0 给出，那么可以把这种情形看作是特殊的参数方程 ，，，，x,t,Xx,t,y,,t 0 的情形，从而由公式（1）得出 X2,，，x,X 。 （2） ，，，，,,fx,yds,fx,,x1，,dx0,,Lx0 类似地，如果曲线由方程 L ，，，，y,y,Yx,,y 0 给出，则有 Y2,，，y,Y （3） ，，，，,,，，fx,yds,f,y,y1，,ydy0,,Ly0 公式（1）可推广到空间曲线弧由参数方程, ，，，，，，，，x,,t,y,,t,z,,t,,t,, 给出的情形，这样就有 ,222,,,，，，，，，，，，，，，，，,,fx,y,zds,f,t,,t,,t,t，,t，,tdt ,,,, ，，,，, （4） 2y,x，，，其中是抛物线上点与点O0,0ydsL,L 例1 计算 ，，B1,1之间的一段弧（图10-2） 解 现在，由方程 L 2y,x，， 0,x,1 给出。因此 2,122，，x1，xdx yds,,,L0 1311，，222 ＝ x1，4xdx,，，1，4x,,,012，，0 1 ＝，， 55,112 图 10-2 图 10-3 例2 计算半径为 、中心角为的圆弧对于它的对称轴的转RL2,动惯量,,1（设线密度）。 I 2解 取坐标系如图10-3所示，则。为了便于计算。利用I,yds,L ，，,,,,,,x,Rcos,,y,Rsin,的参数方程 L ,22222，，，， I,yds,Rsin,,Rsin,，Rcos,d,,,于是 L,, ,3,R,sin2，，32 R,d,,,sin,,,,,,,22，，,, 3R3 ，，，，,2,,sin2,,R,,sin,cos, 2 222例3 计算曲线积分，其中为螺旋线，，x，y，zds,,, x,acost,y,asint,z,kt上相应于从0到的一段弧。 2,t 222解 ，，x，y，zds,, 2,222 ,,，，，，，，,acost，asint，kt ,0 222 ，，，， ,,asint，acost，kdt 2,22222，，,a，kta，kdt ,0 2,2，，k2223 ,a，kat，t ,,3，，0 222222 ，， ,,a，k3a，4,k3 设一个质点在xOy面内从点沿光滑曲线A 弧移动到点。在移动过程中，这质点受到力 LB ，，，，，，Fx,y,Px,yi，Qx,yj 的作用，其中函数，，，，Px,y,Qx,y在上连续。要计算在上述移动过程中L ，，所作的功（图10-4）。 Fx,y 我们知道，如果力是常力，且质点从沿直线移动到，那么常力FAB变力 AB所作的功等于两个向量与的数量积，即 FFW W,F,AB 现在，，Fx,y是变力，且质点沿曲线 L 移动，功不能直接按以上公式计算。 W 但是第一节中用来处理构件质量问题的 方法，原则上也适用于目前的问题。 先用曲线弧，，Mx,y,上的点 L111 ，，，，Mx,y,？,Mx,y把 图 10-4 L222n,1n,1n,1 分成n个小弧段，取其中一个有向小弧段来分析：由于 MMMMi,1ii,1i 光滑而且很短，可以用有向线段来近似代替它，，，，，MM,,xi，,yj,i1iii其中,x,x,x,,y,y,y，，，，Px,y,Qx,y。又由于函数在上Liii,1iii,1 连续，可以用上上任意取定的一点处的力 MM，，,,,i,1iii ，，，，，，F,,,,P,,,i，Q,,,j iiiiii来近似代替这小弧段上各点处的力。这样，变力，，Fx,y沿有向小弧段 ，，F,,,,W所作的功可以认为近似地等于常力沿所MMMMiiii,1ii,1i 作的功： ，，, ,W,F,,,,MMiiii,1i 即 ，，，，,W,P,,,,x，Q,,,,y。 iiiiiii nn ，，，，,,W,,W,P,,,,x，Q,,,,y。 ,,iiiiiii,1,1ii 于是 用n表示个小弧段的最大长度，令取上述和的极限，所得到,,,0的极限自然地被认作变力沿有向曲线弧所作的功，即 F n ，，，，,,W,limP,,,,x，Q,,,,y。 ,iiiiii,,0,1i 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。现在引进下面的定义。 xOyLAB，，，，Px,y,Qx,yLLL ，，，，，，Mx,y,？,Mx,ynMx,y,L222n,1n,1n,1111 ，，i,1,2,？,n;M,A,M,B MM0ni,1i ,x,x,x,,y,y,yMM，，,,,iii,1iii,1i,1iii n ，，P,,,,x,,0iii,i,1 ，，xPx,yL n ，，limQ,,,,y，，Px,ydx,iii,,,0L,1i ，，Qx,yLy，，Qx,ydy,L n ，，P,,,,x，，Px,ydx,limiii,,L,,0i,1 n ，，,limQ,,,,y，，Qx,ydy,iii,,,0L,1i ，，，，Px,y,Qx,yL 以上两个积分也称为第二类曲线积分。 在第二目中我们将看到，当，，，，Px,y,Qx,y在有向光滑曲线弧上连L续时，对坐标的曲线积分及都存在。以后我们总，，，，Px,ydxQx,ydy,,LL 假定，，，，Px,y,Qx,y在上连续。 上述定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧的情形： , n ，，P,,,,,,x， ，，Px,y,zdx,limiiii,,,,,0i,1 n ，，,limQ,,,,,,y， ，，Qx,y,zdy,iiii,,,0,,1i n ，，，，Rx,y,zdz,limR,,,,,,z。 iiii,,,,,0i,1 应用上经常出现的是 P(x,y)dx，Q(x,y)dy,,LL 这种合并起来的形式，为简便起见，把上式写成 。 P(x,y)dx，Q(x,y)dy,L 例如，本目开始时讨论过的功可以表达成 。 W,P(x,y)dx，Q(x,y)dy,L 类似地，把 。 P(x,y,z)dx，Q(x,y,z)dy，R(x,y,z)dz,,,L,, 简写成 。 P(x,y,z)dx，Q(x,y,z)dy，R(x,y,z)dz,L 如果（或）是分段光滑的，我们规定函数在有向曲线弧（或）LL,,上对坐标的曲线积分等于在光滑的各段上对坐标的曲线积分之和。 根据上述曲线积分的定义，可以导出对坐标的曲线积分的一些。 LLL21例如 （1） Pdx，Qdy,Pdx，Qdy，Pdx，Qdy,,,LLL12 公式（1）可以推广到L,L,？,L由组成的情形。 L12k L,LL ， ，，，，Px,ydx,,Px,ydx,,,LL （2） ，，，，Qx,ydy,,Qx,ydy,,,LL 证 把nn分成小段，相应地-也分成小段，对于每一个小弧段来LL 说，当曲线弧的方向改变时，有向弧段在坐标轴上的投影的绝对值不变但 要改变符号，因此（2）式成立。 （2）式表示，当积分弧段的方向改变时，对坐标的曲线积分要改变符 号。因此关于 ，，，，Px,y,Qx,yLL ，，,x,t,, ,，，,y,t,, ,，，Mx,y,LALt ，，，，,,t,t,B 22,,，，，，,t，,t,0P(x,y)dx，Q(x,y)dy,L P(x,y)dx，Q(x,y)dy,L ,,,,,，，，，，，，，，，，，,,,,,P,t,,t,t，Q,t,,t,tdt,, A,M,M,M,？,M,M,B证 在上取一列点，它们对L012n,1n ,,t,t,t,？,t,t,,。 012n,1n 根据对坐标的曲线积分的定义，有 应于一列单调变化的参数值 n ，，P,,,,x。 ，，Px,ydx,limiii,,L,,0i,1设点，，，，，，,,,,,,,,,t与t,,,,,对应于参数值，即，这里在iiii,i1iiiii ，，，，,x,x,x,,t,,t之间。由于，应用微分中值定理，有 iii,1ii,1 ,,，，,x,,,,t， iii其中,,t,t,t,,t与t在之间。于是 iii,1i,i1i n ,,，，，，，，,,,limP,,,,,,,,t 。 P(x,y)dx,iiii,,,0L,1i 因为函数,，，,,,,,t,,,,,,在闭区间（或）上连续，我们可以把上式中的,,,换成，从而 ii n ,，，，，，，,,,limP,,,,,,,,t。 P(x,y)dx,iiii,,,0L,1i ,上式右端的和的极限就是定积分,,,，，，，，，P,t,,t,tdt，由于函数,, ,，，，，，，,,P,t,,t,t连续，这个定积分是存在的，因此上式左端的曲线积分 也存在，并且有 P(x,y)dx,L ,,,,，，，，，，P,t,,t,tdt=。 P(x,y)dx,,,L 同理可证 , ,，，，，，，,,Q,t,,t,tdt=。 Q(x,y)dy,,,L 把以上两式相加，得 P(x,y)dx，Q(x,y)dy,L ,,,,,，，，，，，，，，，，，,,,,， ,P,t,,t,t，Q,t,,t,tdt,, 这里下限,对应于的起点，上限对应于的终点。 ,LL 公式（3）表明，计算对坐标的曲线积分 P(x,y)dx，Q(x,y)dy,L 时，只要把,,，，，，，，，，依次换为,t、,t、,tdt、,tdt，然x、y、dx、dy 后从,的起点所对应的参数值到的终点所对应的参数值,作定积分LL 就行了。这里必须注意，下限,对应于的起点，上限,对应于的终点，LL ,不一定小于,。 如果，，，，y,,x或x,,y由方程给出，可以看作参数方程的特殊情L 形，例如，当，，y,,x由给出时，公式（3）成为 L b,,,，，，，，，,,,,,Px,,x，Qx,,x,xdx P(x,y)dx，Q(x,y)dy,,aL 这里下限a对应于的起点，上限对应于的终点。 LLb 公式（3）可推广到空间曲线由参数方程 , ，，，，，，x,,t,y,,t,z,,t 给出的情形，这样便得到 P(x,y,z)dx，Q(x,y,z)dy，R(x,y,z)dz,L , ,,，，，，，，，，,,,P,t,,t,,t,t ,, ,,，，，，，，，，，，，，，，，，,,,,,，Q,t,,t,,t,t，R,t,,t,,t,tdt 这里下限,,对应于的起点，上限对应于的终点。 ,, 2y,x，，，其中为抛物线上从点到点A1,,1xydxL,L 例1 计算，，B1,1的一段弧（图10-5）。 解 第一种方法：将所给积分化为对x的定积分来计。由于 y,,x不是单值函数，所以要把分为和两部分。在上，LAOOBAOy,,xy,xxx，从1变到0；在上，，从0变到1。因此 OB xydx,xydx，xydx,,,LAOOB 01 ，，,x,xdx，xxdx ,,10 3142 ,xdx,。 2,05 2 第二种方法：将所给积分化为对x,y的定积分来计算。现在，yy从-1变到1。因此 1511，，,y4224,，，,,,yyydy2ydy2 。 xydx,,,,,,,11L55，，,1 图 10-5 图 10-6 例2 计算2其中为（图10-6）： ydxL,L （1） 半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周； （2） 从点，，，，xAa,0B,a,0沿轴到点的直线段。 解 （1）是参数方程 L x,acos,,y,asin,当参数,从0变到的曲线弧。因此 , ,222，， ,asin,,asin,d,ydx,,0L ,32 ，，，， ,a1,cos,dcos,,0 ,3，，,cos433 ,acos,,,,a,,33，，0 （2）现在，aa的方程为y,0，从变到—。所以L ,a2,0dx,0。 ydx,,aL 从例2看出，虽然两个曲线积分的被积函数相同，起点和终点也 相同，但沿不同路径得出的值并不相等。 2例3 计算，其中 2xydx，xdyL,L 为（图10-7）： 2（1） 抛物线y,x，，O0,0上从到的 ，，B1,1一段弧； 2（2） 抛物线x,y，，O0,0上从到的 ，，B1,1一段弧； 图 10-7 （3） 有向折线，，，，，，0,0,1,0,1,1O,A,B，这里依次是点。 OAB 2解 （1）化为对xL:y,x,x的定积分。从0变到1。所以 112223 ，，,2x,x，x,2xdx,4xdx,1。 2xydx，xdy,,,00L 2（2）化为对L:x,y,y的定积分。从0变到1。所以 y 112244，，,2y,y,2y，ydy,5ydy,12xydx，xdy。 ,,,00L 222， 2xydx，xdy,2xydx，xdy，2xydx，xdy,,,LOAAB （3）在上，从0变到1，所以y,0,xOA 122，，。 2xydx，xdy,2x,0，x,0dx,0,,OA0 在上，从0变到1，所以 x,1,yAB 12，，2xydx，xdy,2y,0，1dy,1 ,,AB0 2从而 =0+1=1 2xydx，xdy,L 从例3可以看出，虽然沿不同路径，曲线积分的值可以相等。 322 例4 计算，，A3,2,1，其中是从点到点xdx，3zydy,xydz,,, ，，B0,0,0的直线段。 AB xyz 解 直线段的方程是；化为参数方程得 ,,AB321 x,3t,y,2t,z,t,t从1变到0。所以 322 xdx，3zydy,xydz,, 0322,,，，，，，，,3t,3，3t2t,2,3t,2tdt ,1 0873,87tdt,,。 ,14 例5 设一个质点在，，Mx,y处受到力的作用，的大小与FF ，，Aa,0M到原点O的距离成正比，的方向恒指向原点。此质点由点沿F 22xy椭圆，,1，，B0,b按逆时针方向移动到点，求力所作的功。 FW22ab 22 解 OM,x，y， 。 OM,xi，yj ，，，其中是比例常数。于是 F,,kxi，yjk,0 。 W,,kxdx,kydy,,kxdx，ydy由假设有 ,,,,ABAB x,acost,,,利用椭圆的参数方程：起点分别对应参数0，。A、终点B,2y,bsint,, 于是 ,222 ，，W,,k,acostsint，bsintcostdt,0 ,k22222 ，，，，,ka,bttdt,a,bsincos。 ,02 设有向曲线弧的起点为。曲线弧由参数方程 A、终点为BLL ，，,x,t,， ,，，,y,t, 给出，起点，，，，,t、,t分别对应参数,、,。函数在以A、终点B 22,,，，，，,t，,t,0,、,为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且。又 函数，，，，Px,yQx,y、在上连续。于是，由对坐标的曲线积分计算公L 式（3）有 P(x,y)dx，Q(x,y)dy,L ,,,,,，，，，，，，，，，，，,,,,,P,t,,t,t，Q,t,,t,tdt。 ,, 又有向曲线弧,,,,，，，，t,,t,,t的切向量为，它的方向余弦为 L ,,，，，，,t,t cos，cos 。 ,,,,2222，，，，，，，，,,,,,t，,t,t，,t 由对弧长的曲线积分的计算公式可得 ，，，，,,Px,ycos,，Qx,ycos,ds,L ,,，，,,t, ,,，，，，,,P,t,t,,,22，，，，,,,t,t，,, ,,，，,t,22 ,, ，，，，,t，,tdt，，，，,,,，Q,t,t,22，，，，,,,,t，t,, ,,,,,，，，，，，，，，，，，,,,,,P,t,,t,t，Q,t,,t,tdt ,, 一般地，平面曲线上的两类曲线积分之间有如下联系： L ， （4） ，，Pdx，Qdy,Pcos,，Qcos,ds,,LL 其中，，，，，，,x,y,x,yx,y、为有向曲线弧上点处的切线向量的方向角。 L 类似地可知，空间曲线上的两类曲线积分之间有如下联系： , ， （5） ，，Pdx，Qdy，Rdz,Pcos,，Qcos,，Rcos,ds,,,, 其中，，，，，，，，,x,y,z,x,y,z,x,y,zx,y,z、、为有向曲线弧上点处的,切线向量的方向角。 两类曲线积分之间的联系也可用向量的形式表达。例如，空间曲线, 上的两类曲线积分之间的联系可写成如下形式： （6） A,dr,A,tds,,,, 或 , （） A,dr,Ads6t,,,, 其中,,,,，，A,P,Q,R,t,cos,,cos,,cos,x,y,z为有向曲线弧上点处单位,切向量，,,Adr,tds,dx,dy,dz，称为有向曲线元，为向量在向量上的投Att影。 在一元函数积分学中，牛顿—莱布尼茨公式 b,，，，，，， Fxdx,Fb,Fa,a 表示：,，，，，,,Fx在区间a,b上的积分可以通过它的原函数Fx在这个区间端点上的值来表达。 下面要介绍的格林（Green）公式告诉我们，在平面闭区域上的二D重积分可以通过沿闭区域的边界曲线上的曲线积分来表达。 DL 现在先介绍平面单连通区域的概念。设为平面区域，如果内任一DD闭曲线所围的部分都属于，则称为平面单连通区域，否则称为复连通DD 区域。通俗地说，平面单连通区域就是不含有“洞”（包括点“洞”）的区 域，复连通区域是含有“洞”（包括点“洞”）的区域。例如，平面上的圆 22形区域,,，，x,yx，y,1、上半平面都是单连通区域，圆环,,，，x,yy,0 2222形区域,,,,，，，，x,y1,x，y,4、x,y0,x，y,2都是复连通区域。 对平面区域的边界曲线，我们规定的正向如下：当观察者沿DLLL的这个方向行走时，内在他近处的那一部分总在他的左边。例如，是DD边界曲线及所围成的复连通区域（图10-8），作为的正向边界，的LDLl 正向是逆时针方向，而的正向是顺时针方向。 l 1 ，，Px,yDL ，，Qx,y D ,,,Q,P 1 ,,,dxdy,Pdx，Qdy,,,,,L,x,y,,D LD 公式（1）叫格林公式。 图 10-8 图 10-9 内部且平行坐标轴的直线与的边界曲线DDL 的交点恰好为两点，即区域既是—型又是—型的情形（图10-9）。 DYX 证 先假设穿过区域 ,P设。因为连续，所以由,,，，，，，，D,x,y,x,y,,x,a,x,b12,y二重积分的计算法有 ,bx，，,,，，,PPxy,,2 dxdydydx,,,,,,,,，，ax1yy,,,,D b ,,，，，，,,,,,Px,,x,Px,,xdx。 21,a 另一方面，由对坐标的曲线积分的性质及计算法有 bb ,,，，,,，，Pdx,Pdx，Pdx,Px,,xdx，Px,,xdx12,,,,,LLLaa12 b ,,，，，，,,,,,px,,x,Px,,xdx 。 12,a 因此， ,P ,dxdy,Pdx （2） ,,,,yDL 设。类似地可证 ,,，，，，，，D,x,y,y,x,,y,c,y,d12 ,Qdxdy,Qdy （3） ,,,,xDL 由于既是—型又是—型的，（2）、（3）同时成立，合并后即得DYX 公式（1）。 再考虑一般情形。如果闭区域不满组足以上条件，那么可以在内DD 引进一条或几条辅助曲线把分成有限个部分闭区域，使得每个部分闭区D 域都满足上述条件。例如，就图10-10所示的闭区域来说，它的边界曲D线DMNPMDD为，引进一条辅助线，把分成、、三部分。LDABC312应用公式（1）于每个部分，得 ,,,Q,P,,， ,dxdy,Pdx，Qdy,,,,,,x,y,,DMCBAM1 ,,,Q,P,,， ,dxdy,Pdx，Qdy,,,,,,x,y,,DABPA2 ,,,Q,P,,,dxdy,Pdx，Qdy， ,,,,,,x,y,,DBCNB31 把这三个等式相加，注意到相加时沿辅助曲线的曲线积分相互抵消，便得 ,,,Q,P 。 ,,,dxdy,Pdx，Qdy,,,,,,x,y,,DL 其中的方向对来说为正方向。一般地，公式（1）对于由分段光滑曲LD 线围成的闭区域都成立。证毕。 注意，对于复连通区域，格林公式（1）右端应包括沿区域的全DD 部边界的曲线积分，且边界的方向对区域来说都是正向。 D 下面说明格林公式的一个简单应用。 在公式（1）中取P,,y,Q,x，即得 。 2dxdy,xdy,ydx,,,DL 上式左端是闭区域的面积的两倍，因此有 DA 1 A,xdy,ydx。 （4） ,2L 例1 求椭圆x,acos,,y,bsin,所围成图形的面积。 A 解 根据公式（4）有 2,1122A,xdy,ydx，，,abcos,，absin,d, ,,022L 2,1 ,abd,,,ab。 ,02 例2 设是任意一条分段光滑的闭曲线，证明 L 2 。 2xydx，xdy,0,L 2 证 令P,2xy,Q,x， ,Q,P,,2x,2x,0。 ,x,y 则 因此，由公式（1）有 2 。 2xydx，xdy,,0dxdy,0,,,LD 2,y例3 计算，其中是以 edxdyD,,D ，，，，，，O0,0,A1,1,B0,1为顶点的三角形闭区域 （图10-11）。 2,y解 令，则 P,0,Q,xe 2,Q,P,y,,e。 ,x,y 因此，由公式（1）有 图 10-11 222,y,y,y ,xedy,xedyedxdy,,,,OAOA，AB，BOD 121,x,1 ，，。 ,xedx,1,e.,02 xdy,ydx 例4 计算，其中为一条无重点、分段光滑且不经过原L22,x，yL 点的连续闭曲线，的方向为逆时针方向。 L ,yx22 解 令x，y,0P,,Q,。则当时，有 2222x，yx，y 22,Qy,x,P 。 ,,222,x,x，，x，y记，，0,0,D所围成的闭区域为。当时，由公式（1）便得 LD ,xdyydx,； 022,，xyL ，，时，选取适当小的， 0,0,Dr＞0 222当作位于l:x，y,r内的圆周。 D 记和所围成的闭区域为D（图 Ll110-12）。对复连通区域D应用格林 1公式，得 ,,xdyydxxdyydx,,， 图 10-12 02222,,，，xyxyLl 其中的方向取逆时针方向。于是 l 22222,xdy,ydxxdy,ydxrcos,，rsin,。 ,,d,,2,22222,,,0x，yx，yrLl 在物理、力学中要研究所谓势力场，就是要研究场力所作的功与路径 无关的情形。在什么条件下场力所作的功与路径无关？这个问题在数学上 就是要研究曲线积分与路径无关的条件。为了研究这个问题，先要明确什 么叫做曲线积分与路径无关。 Pdx，Qdy,L 设，，Px,y是一个开区域，以及 G ，，Qx,y在区域内具有一阶连续偏导 G 数。如果对于内任意指定的两个点、 AG 以及内从点到点的任意两条曲 BABG 线L,L（图10-13），等式 12 Pdx，Qdy,Pdx，Qdy 图 10-13 ,,LL12恒成立，就说曲线积分在内与路径无关，否则便说与路径Pdx，QdyG,L有关。 在以上叙述中注意到，如果曲线积分与路径无关，那么 Pdx，Qdy,Pdx，Qdy,,LL12 （图10-13）由于 ， Pdx，Qdy,,Pdx，Qdy,,L,L22 所以 ， Pdx，Qdy，Pdx，Qdy,0,,L,L12 从而 ， Pdx，Qdy,0,L，，，,L12 这里，，L，,L是一条有向闭曲线。因此，在区域内由曲线积分与路径G12 无关可推得在内沿闭曲线的曲线积分为零。反过来，如果在区域内沿GG 任意闭曲线的曲线积分为零，也可推得在内曲线积分与路径无关。由此G 得出结论：曲线积分在内与路径无关相当于沿内任意Pdx，QdyGG,L 闭曲线的曲线积分等于零。 Pdx，QdyC,C 2 ，，，，Px,yQx,yGG Pdx，QdyG,L G ,P,Q 5 ,,y,x G 证 先证这条件是充分的。在内任取一条闭曲线，要证当条件GC（5）成立时有。因为是单连通的，所以闭曲线所围Pdx，Qdy,0GC,C 成的区域全部在内，于是（5）式在上恒成立。应用格林公式，有 DDG ,,,Q,P,,。 ,dxdy,Pdx，Qdy,,,,,,x,y,,DC ,Q,P上式左端的二重积分等于零（因为被积函数在上恒为零），从D,,x,y 内任意闭曲线的G而右端的曲线积分也等于零。 曲线积分为零，那么（5）式在内恒成立。用反证法来证。假设上述论G 再证条件（5）是必要的。现在要证的是：如果沿断不成立，那么M内至少有一点，使 G0 ,,,Q,P ,,,,0。 ,,,x,y,,M0 ,,,Q,P不妨假定 ,,,,,＞0。 ,,,x,y,,M0 ,P,Q由于M、在内连续，可以在内取得一个以为圆心、半径足GG0,y,x 够小的圆形闭区域，使得在上恒有 KK ,,Q,P ,,。 ,x,y2 于是由格林公式及二重积分的性质就有 ,,,Q,P,， ,,Pdx，Qdy,,dxdy,,,,,,,,,x,y2,,rK 这里r,,＞0,,＞0是的正向边界曲线，是的面积。因为，从而 KK 。 Pdx，Qdy＞0,r 这结果与沿内任意闭曲线的曲线积分为零的假定相矛盾，可见内使GG（5）式不成立的点不可能存在。即（5）式在内处处成立。 G 证毕。 在第二节第二目例3中我们看到，起点与终点相同的三个曲线积分 ,Q2 相等。由定理2来看，这不是偶然的，因为这里 2xydx，xdy,L,x,PxOyxOy,,2x在整个面内恒成立，而整个面是单连通域，因此曲,x 2线积分与路径无关。 2xydx，xdy,L ，，，，是单连通区域，且函数，在Px,yQx,yG 内具有一阶连续偏导数。如果这两个条件之一不能满足，那么定理的结G在定理2中，要求区域 论不能保证成立。例如，在例4中我们已经看到，当所围成的区域含有L ,Q,P原点时，虽然除去原点外，恒有，但沿闭曲线的积分,,x,x ,P,Q，其原因在于区域内含有破坏函数、及、连QPPdx，Qdy,0,,y,xL 续性条件的点，这种点通常称为奇点。 O 现在要讨论：函数，，，，Px,yQx,y，满足什么条件时，表达式，，，，，，Px,ydx，Qx,ydyux,y才是某个二元函数的全微分；当这样的二元函数存在时把它求出来。 3 ，，，，Px,yQx,yGG ，，，，Px,ydx，Qx,ydyG，，ux,y ,P,Q 5 ,,y,x G 证 先证必要性。假设存在着某一函数，，ux,y，使得 ，，，，du,Px,ydx，Qx,ydy， ,u,u则必有 ，，,Qx,y，，,Px,y，。 ,y,x 22,u,P,u,Q从而 ，。 ,,,x,y,y,y,x,x 22,u,u、具有一阶连续偏导数，所以、连续，因此QP,x,y,y,x由于22,u,u,P,Q，即。这就证明了条件（5）是必要的。 ,,,x,y,y,x,y,x 再证充分性。设已知条件（5）在内恒成立，则由定理2可知，起G 点为，，Mx,y，，Mx,y终点为的曲线积分在区域内与路径无关，于是G000 可把这个曲线积分写作 x,y，，。 ，，，，Px,ydx，Qx,ydy,x,y，，00 当起点，，Mx,y，，Mx,y固定时这个积分的值取决于终点，因此，它是000 ，，xux,y、的函数，把这函数记作，即 y x,y，， 。 （6） ，，，，，，ux,y,Px,ydx，Qx,ydy,x,y，，00 下面来证明这函数，，，，，，ux,yPx,ydx，Qx,ydy的全微分就是。因 为，，，，Px,yQx,y、都是连续的，因此只要证明 ,u,u ，，,Qx,y，，,Px,y，。 ,y,x ，，，，,,,uux，,xy,uxy按偏导数的定义，有 ,lim。 ,x,0,x,x由（6）式，得 x，,x,y，，。 ，，，，，，ux，,x,y,Px,ydx，Qx,ydy,x,y，，00 由于这里的曲线积分与路径无关，可以取先从到，然后沿平行于轴的直线 段从到作为上式右端曲线积分的路径（图10-14）。 这样就有 x，,x,y，，。 ，，，，，，，，ux，,x,y,ux,y，Px,ydx，Qx,ydy ,x,y，， x，,x,y ，，从而。 ，，，，，，，，ux，,x,y,ux,y,Px,ydx，Qx,ydy,x,y，， 因为直线段的方程为常数，按对坐标的曲线积分的计算法，上式y,MN x，,x成为，，，，，，ux，,x,y,ux,y,Px,ydx。 ,x 应用定积分中值定理，得 ，，，，，，，，ux，,x,y,ux,y,Px，,,x,y,x 0,,,1。 上式两边除以，，Px,y，并令取极限。由于的偏导数在内连,x,x,0G ,u续，，，Px,y，，本身也一定连续，于是得。 ,Px,y,x ,u同理可证 ，，,Qx,y。 ,y 这就证明了条件（5）是充分的。证毕。 根据上述定理，如果函数，，，，Px,yQx,y、在单连通域内具有一阶连续偏导数，且满足条件（5），那么Pdx，Qdy是某个函数的全微分，这函数可用公式（6）来求出。因为公式（6）中的曲线积分与路径无关，为计 算简便起见，可以选择平行于坐标轴的直线段连成的折线MRM或0MSM作为积分路线（图10-15），当然要假定这些折线完全位于内。 G0 在公式（6）中取MRM为积分路线，得 0 xy。 ，，，，，，ux,y,Px,ydx，Qx,ydy0,,xy00 在公式（6）中取MSMu为积分路线，则函数 0 yx也可表为 。 ，，，，，，ux,y,Qx,ydy，Px,ydx0,,yx00 xdy,ydx，，在右半平面内是某个函数的全微分，x,022x，y 例5 验证：冰球出一个这样的函数。 解 在例4中已经知道，令 ,yx ，， P,Q,2222x，yx，y 22,Py,x,Q就有 ,,222,y,x，，x，y xdy,ydx在右半平面内恒成立，因此在右半平面内，是某个函数的全微22x，y分。 取积分路线如图10-16所示，利用公式（6）的所求函数为 x,y，，xdy,ydxxdy,ydxxdy,ydxu，，xy,,，, ,,,222222，，1,0ABBCx，yx，yx，y yyxdyy，， 0arctan,，,22,,,0x，xy，，0 y ,arctan 。 x 22例6 验证：在整个xydx，xydyxOy面内，是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。 ,P,Q22解 现在,2xy,P,xy,Q,xy，且 ,y,x 22在整个xydx，xydyxOyxOy面内恒成立，因此在整个面内是某个函数的全微分。 取积分路线如图10-17所示，利用公式（6）的所求函数为 x,y，，222222 ，，,uxy,xydx，xydy,xydx，xydy，xydx，xydy ,,,0,0OAAB，， y2222 ,0，xydx，xydy，xydx，xydy ,,0AB 22yyxy22 ,，xydy,xydy,0。 ,,002除了利用公式（6）以外，还可以用下面的方法来求函数，，ux,y。 ,u2因为函数u满足 ， ,xy,x 22xy2故 ，，u,xydx,，,y， ,2 其中，，,y是得待定函数。由此得 y ,u2,，，,xy，,y 。 ,x ,u2又,xyu必须满足 ， ,y 22故 ,，，xy，,y,xy。 从而,，，，，,y,0,,y,C，所求函数为 22xyu,，C。 2 第四节 对面积的曲线积分 一、对面积的曲线积分的概念与性质 在本章第一节第一目的质量问题中，如果把曲线改为曲面，并相应地 ，，，，,s,x,y该为面密度,x,y,z，小段曲线的弧长该为小块曲i把线密度面的面积，，,S,,,，而第小段曲线上的一点改为第小块曲面上的一iiiii点，，，，,,,,,，那么，在面密度,x,y,z为连续的前提下，所求的质量就iii 是下列和的极限： n ，，M,lim,,,,,,,S， ,iiii,,0,1i 其中n表示小块曲面的直径的最大值。 , 这样的极限还会在其它问题中遇到。抽去它们的具体意义，就得出对面 积的曲面积分的概念。 定义 设曲面，，fx,y,z是光滑的，函数在上有界。把任意分,,, 成，，n,S,S,,,,,,S小块（同时也代表第小块曲面的面积），设是iiiiiii ，，f,,,,,，，,Si,1,2,3,？,n上任意取定的一点，作乘积，并作和iiiin，，f,,,,,,S。如果当各小块曲面的直径的最大值时，这,,0,iiiii,1 和的极限总存在，则称此极限为函数，，fx,y,z在曲面上对面积的曲面积,分或第一类曲面积分，记作，即 ，，fx,y,zdS,,, n ，，，，fx,y,zdS,limf,,,,,,S， ,iiii,,,,,0,1i 其中，，fx,y,z叫做被积函数，叫做积分曲面。 , 我们指出，当，，fx,y,z在光滑曲面上连续时，对面积的曲面积分, 是存在的。今后总假定，，fx,y,z在上连续。 , 根据上述定义，面密度为连续函数，，,x,y,z在上对面积的曲面积, 。 ，，M,,x,y,zdS,,, 如果是分片光滑的，我们规定函数在上对面积的曲面积分等于函,,分： 数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和。例如，设可分成两片光, 滑曲面,及,（记作,,,，,），就规定 2121 。 ，，，，，，fx,y,zdS,fx,y,zdS，fx,y,zdS,,,,,,,,,，,1122 由对面积的曲面积分的定义可知，它具有与对弧长的曲面积分相类似 的性质，这里不再述。 二、对面积的曲面积分的计算法 设积分曲面，，z,zx,y由方程给出，在xOy面上的投影区域为,,DD，，z,zx,y（图10-18），函数在上具有连续偏导数，被积函数xyxy，，fx,y,z在上连续。 , 按对面积的曲面积分的定义，有 n ，，，，fx,y,zdS,limf,,,,,,S。 ,iiii,,,,,0,1i 设,S,SxOy上第小块曲面（它的面积也记作）在面上的投影,iii 区域为,S（它的面积也记作），则（1）式中的可表示为，，，，,,,,iiixyxy二重积分： 22，，，，,S,1，zx,y，zx,ydxdy。 ixy,,，，,,ixy 利用二重积分的中值定理，上式又可写成 22,,,,，，，，，，,S,1，z,,,，z,,,,,， ixiiyiiixy其中,,，，，，,,,,,,,,是小闭区域上的一点。又因是上的一点，，，,,,iiiiiixy 故，，，，,,z,,,,,,，这里也是小闭区域上的点。于是 ，，,,iiiiiixy nn22,,,,，，，，，，，，,,f,,,,,,S,f,,,,,1，z,,,，z,,,,,。由,,iiiiiixiiyiiixy,,ii11 22于函数D，，，，，，,,1，zx,y，zx,yfx,y,zx,y以及函数都在闭区域xyxy上连续，当时，上式右端的极限与 ,,0 n22，，，，，，，，,,f,,,,z,,,,1，z,,,，z,,,,, ,iiiixiiyiiixy,i1 的极限相等。这个极限在本目开始所给的条件下是存在的，它等于二重积 22分 ，，，，，，f,,x,y,zx,y1，zx,y，zx,ydxdy， ,,xyDxy 因此左端的极限即曲面积分也存在，且有 ，，fx,y,zdS,,, ，， fx,y,zdS,,, 22，，，，，，,f,,x,y,zx,y1，zx,y，zx,ydxdy 。 （2） xy,,Dxy 这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的公式。这公式是容易记忆的， 因为曲面，，z,zx,y的方程是，而曲面的面积元素就是,dS 22z，，，，，，1，zx,y，zx,ydxdyzx,y。在计算时，只要把变量换为，曲xy 221，z，zdxdy换为，再确定在面上的投影区xOy,dSxy 域面的面积元素D，这样就把对面积的曲面积分化为二重积分了。 xy 如果积分曲面，，，，由方程x,xy,z或y,yz,x给出，也可类似地把, 面积的曲面积分化为相应的二重积分。 dS2222例1 计算曲面积分x，y，z,a，其中是球面被平,,,z, 面，，z,h0,h,a截出的顶部（图10-19）。 解 222的方程为。在xOy面上的投影区域z,a,x,y,, 2222Dx，y,a,h为圆形闭区域：。又 xy a22 。 1zz，，,xy222axy,, adxdydS根据公式（2），有 。 ,,,,,222za,x,y,Dxy利用极坐标，得 22,,2ah,ardrdrdrdS , ,,ad,,2222,,,,00za,ra,r,Dxy 22a,ha1，，22，，。 ,2,a,lna,r,2,aln,,h2，，0 例2 计算，其中是由平面,z,0及 x,0,y,0xyzdS,,,, 所围成的四面体的整个边界曲面（图10-20）。 x，y，z,1 解 整个边界曲面在平面,z,0及上的x,0,y,0x，y，z,1, 部分依次记为,,,,,及,，于是 1234 。 ,xyzdS，xyzdS，xyzdS，xyzdSxyzdS,,,,,,,,,,,,,,,1234 由于在，，,,,,,fx,y,z,xyz上，被积函数均为零，所以 123 。 xyzdS,xyzdS,xyzdS,0,,,,,,,,,123 在,上，z,1,x,y，所以 4 2222 ，，，，1，z，z,1，,1，,1,3， xy 从而 ，，,xyzdS,3xy1,x,ydxdy， xyzdS,,,,,,,D,4xy其中D,xOyx,0,y,0x，y,1是在面上的投影区域，即由直线及xy4 所围成的闭区域。因此 11,x，， xyzdS,3xdxy1,x,ydy,,,,00, 1,x231，，yy3x1xdx,,,，，,,,023，，0 3，，11x,,3x,dx ,06 133234，，,x,3x，3x,xdx,,06120 第五节 对坐标的曲面积分 一、对坐标的曲面积分的概念及性质 我们对曲面作一些说明。这里假定曲面是光滑的。 通常我们遇到的曲面都是双侧的。例如由方程，，z,zx,y表示的曲面，有上侧与下侧之分；又例如，一张包围某一空间区域的闭曲面，有外 侧与内侧之分。以后我们总假定所考虑的曲面是双侧的。 在讨论对坐标的曲面积分时，需要指定曲面的侧。我们可以通过曲面 上法向量的指向来定出曲面的侧。例如，对于曲面，，z,zx,y，如果取它的法向量n的指向朝上，我们就认为取定曲面的上侧；又如，对于闭曲面 如果取它的法向量的指向朝外，我们就认为取定曲面的外侧。这种取定了 法向量亦即选定了侧的曲面，就称为有向曲面。 设xOy是有向曲面。在上取一小块曲面，把投影到面上,,,S,S得一投影区域，这投影区域的面积记为，，,,。假定上各点处的法向,Sxy 量与z轴的夹角的余弦有相同的符号（即都是正的或都是负cos,cos,, 的）。我们规定，，,SxOy在面上的投影为 ,Sxy ,,，，,,cos,0,,xy,，，,，，,S ,,,,,cos,0,,xyxy ,0,cos,0.,, 其中，，，，,,,0,Scos,,0xOy也就是的情形。在面上的投影,Sxyxy 实际就是在面上的投影区域的面积附以一定的正负号。类似地可xOy,S 以定义，，,S，，,S在面及面上的投影及。 yOz,SzOxyzzx 下面讨论一个例子，然后引进对坐标的曲面积分的概念。 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由 ，，，，，，，，vx,y,z,Px,y,zi，Qx,y,zj，Rx,y,zk 给出，，，，，是速度场中的一片有向曲面，函数Px,y,z、Qx,y,z、, ，，Rx,y,z都在上连续，求在单位时间内流向指定侧的流体的质量，,, 即流量。 , 如果流体流过平面上面积为的一个闭区域，且流体在这闭区域上各A 点处的流速为（常向量）vna，又设为该平面的单位法向量（图10-21（）），那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为、斜高为的Av斜柱体（图10-21（））。 b 当，，v,n 时，这斜柱体的体积为 。 Avcos,,Av,n 这也就是通过闭区域n流向所指一侧的流量； A 当 时，显然流体通过闭区域n流向所指一侧的流量为A,零，而，故； Av,n,0,,Av,n 当 时，，这时我们仍把称为流体通过闭Av,n,0Av,n区域n,n流向所指一侧的流量，它表示流体通过闭区域实际上流向AA ,n所指一侧，且流向所指一侧的流量为。因此，不论 为何值，,Av,n 流体通过闭区域n流向所指一侧的流量均为。 AAv,n 由于现在所考虑的不是平面闭区域而是一片曲面，且流速v也不是常向量，因此所求流量不能直接用上述方法计算。但过去在引出各类积分概 念的例子中一再使用过的方法，也可用来解决目前的问题。 把曲面n,S,S分成小块（同时也代表第小块区面的面积）。在,iii v,S,S是光滑的和是连续的前提下，只要的直径很小，我们就可以用,ii ，，,,,,,上任一点处的流速 iii ，，v,v,,,,, iiii ，，，，，，,P,,,,,i，Q,,,,,j，R,,,,,k iiiiiiiii代替，，,S,,,,,上其它各点处的流速，以该点处曲面的单位法向量 ,iiii n,cos,i，cos,j，cos,k iiii代替,S,S上其它各点处的单位法向量（图10-22）。从而得到通过流向ii 指定侧的流量的近似值为 ，，v,n,Si,1,2,？,n 。 iii 于是，通过流向指定侧的流量 , n ,,v,n,S iii,i,1 n ，，，，，，,,,P,,,,,cos,，Q,,,,,cos,，R,,,,,cos,,S ,iiiiiiiiiiiii,1i v,S是光滑的和是连续的前提下，只要的直径很小，我们就可以,i用，，,S,,,,,上任一点处的流速 iiii ，，v,v,,,,, iiii ，，，，，，,P,,,,,i，Q,,,,,j，R,,,,,k iiiiiiiii 代替，，,S,,,,,上其它各点处的流速，以该点处曲面的单位法向量 ,iiii n,cos,i，cos,j，cos,k iiii 代替,S,S上其它各点处的单位法向量（图10-22）。从而得到通过流向ii 指定侧的流量的近似值为 ，，v,n,Si,1,2,？,n 。 iii 于是，通过流向指定侧的流量 , n ,,v,n,S iii,i,1 n ，，，，，，,,,P,,,,,cos,，Q,,,,,cos,，R,,,,,cos,,S ,iiiiiiiiiiiii,1i 但 ，，cos,,,S,,Siiiyz ，，cos,,,S,,S ， ， ，，cos,,,S,,Siiiiiizxxy因此上式可以写成 n ,,，，，，，，，，，，，，,,P,,,,,,S，Q,,,,,,S，R,,,,,,S ,iiiiiiiiiiiiyzzxxy,1i 令取上述和的极限，就得到流量的精确值。这样的极限还会在其,,0, 它问题中遇到。抽去它们的具体意义，就得出下列对坐标的曲面积分的概 ，，为光滑的有向曲面，函数在上有界。把任Rx,y,z,,,念。 定义 设意分成块小曲面,S,S,S（同时又表示第小块区面的面积），在xOyiiii ，，,,,,,,S面上的投影，是上任意取定的一点。如果当各小块，，,Siiiiixy n 曲面的直径的最大值，，，，limR,,,,,,S时，总存在，则称,,0iiiixy,,,0i,1 此极限为函数，，Rx,y,z在有向曲面上对坐标的曲面积分记作x,y, ，即 ，，Rx,y,zdxdy,,, n ，，，，,limR,,,,,,S ，，Rx,y,zdxdy,iiiixy,,,,0,1i, 其中，，Rx,y,z叫做被积函数，叫做积分曲面。 , 类似地可以定义函数，，Px,y,z在有向曲面上对坐标的曲面积y,z,分，，Qx,y,z，及函数在有向曲面上对坐标的曲面，，Px,y,zdydzz,x,,,, 积分分别为 ，，Qx,y,zdzdx,,, n ，，，，,limP,,,,,,S， ，，Px,y,zdydz,iiiiyz,,,,0,1i, n ，，，，,limQ,,,,,,S。 ，，Qx,y,zdzdx,iiiizx,,,,0,1i, 以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分。 我们指出，当，，，，，，Px,y,zQx,y,zRx,y,z、、在有向光滑曲面上, 连续时，对坐标的曲面积分是存在的，以后总假定Q、、在上连续。 PR, 在应用上出现较多的是： ，，，，，，Px,y,zdydz，Qx,y,zdzdx，Rx,y,zdxdy,,,,,,,,,这种合并起来的形式，为简便起见，我们把它写成： ，，，，，Qx,y,zdzdx，Rx,y,zdxdy。 ，，Px,y,zdydz,,, 例如，上述流向指定测的流量可表示为 ,, ，，，， ，Qx,y,zdzdx，Rx,y,zdxdy。 ，，Px,y,zdydz,,,,, 如果是分片光滑的有向曲面，我们规定函数在上对坐标的曲面积,,分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和。 对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲面积分相类似的一些性质。例 如：（1）,, ,21 ，Qdzdx，Rdxdy Pdydz,,, ，Qdzdx，Rdxdy ,Pdydz,,,1 ，Qdzdx，Rdxdy。 （1） ，Pdydz,,,2 公式（1）可以推广到,,,,？,,分成几部分的情形。 ,12n （2） ,,,, ， ，，，，Px,y,zdydz,,Px,y,zdydz,,,,,,, ， （2） ，，，，Qx,y,zdzdx,,Qx,y,zdzdx,,,,,,, 。 ，，，，Rx,y,zdxdy,,Rx,y,zdxdy,,,,,,, （2）式表示，当积分曲面改变为相反侧时，对坐标的曲面积分要改 变符号。因此 这些性质的证明从略。 二、 设积分曲面，，z,zx,yxOy是由方程所给出的曲面上侧，在面上,,的投影区域为DD，，z,zx,y，函数在上具有一阶连续偏导数，被积xyxy ，，在上连续。 Rx,y,z, 按对坐标的曲面积分的定义，有 函数 n ，，，，,limR,,,,,,S。 ，，Rx,y,zdxdy,iiiixy,,,,0,1i, 因为取上侧，，所以。 cos,,0，，，，,S,,,,iixyxy又因，，，，,,z,,,,,,,,是上的一点，故。从而有 ,iiiiii nn ，，，，，，，，,,R,,,,,,S,R,,,,z,,,,,。 iiiiiiiiixyxy,,ii,1,1 令取上式两端的极限，就得到 ,,0 ，，,R,,x,y,zx,ydxdy。 （3） ，，Rx,y,zdxdy,,,,D,xy 这就是把对坐标的曲面积分化为二重积分的公式。公式（3）表明，计算曲 面积分z时，只要把其中变量换为表示的函数，，Rx,y,zdxdy,,,, D，，z,zx,y，然后在的投影区域上计算二重积分就成了。 ,xy 必须注意，公式（3）的曲面积分是取在曲面上侧的；如果曲面积,分取在cos,,0的下侧，这时，那么 , ， ，，，，,S,,,,iixyxy从而有 ,，，,,R,,x,y,zx,ydxdy。 （） ，，Rx,y,zdxdy3,,,,D,xy 类似地，如果，，x,xy,z由给出，则有 , ，，,,P,,xy,z,y,zdydz， （4） ，，Px,y,zdydz,,,,D,xy ，，是由方程所给出的x,xy,z,曲面前侧，即，应取正号；反之，如果取后侧，即，cos,,0,cos,,0等式右端的符号这样决定：如果积分曲面 应取负号。 如果，，由y,yz,x给出，则有 , ，，， （5） Qx,y,zdzdx，，Qx,y,zdzdx,,,,,,D,xy 等式右端的符号这样决定：如果积分曲面，，是由方程y,yz,x所给出的,曲面右侧，即cos,,0，应取正号；反之，如果取左侧，即cos,,0，,应取负号。 222例1 计算曲面积分，其中是长方xdydz，ydzdx，zdxdy,,,, 体的整个表面的外侧， . ,,,，，,,x,y,z0,x,a,0,y,b,0,z,c 解 把有向曲面分成以下六部分： , ，，z,c,0,x,a,0,y,b：的上侧； 1 ，，,0,x,a,0,y,b：的下侧； z,02 ,x,a，，0,y,b,0,z,c：的前侧； 3 ，，,0,y,b,0,z,c：的后侧； x,04 ,，，0,x,a,0,z,cy,b：的右侧； 5 ,，，0,x,a,0,z,cy,0：的左侧。 6 除,,yOz、外，其余四片曲面在面上的投影为零，因此 34 222 xdydz,xdydz，xdydz。 ,,,,,,,,,34应用公式（4）就有 2222。 xdydz,adydz,0dydz,abc,,,,,,,DDyzyz 类似地可得 22 ， ydzdx,bac,,, 22 ， zdxdy,cab,,, 于是所求曲面积分为，，a，b，cabc。 222例2 计算曲面积分x，y，z,1，其中是球面外xyzdxdy,,,, 侧在x,0,y,0的部分。 解 把,,,分为和两部分，的 ,211 22方程为 ， z,,1,x,y1 ,的方程为 2 22 （图10-23）。 z,1,x,y2 。 xyzdxdy，xyzdxdyxyzdxdy,,,,,,,,,,21 上式右端的第一个积分的积分曲面,,取上侧，第二个积分的积分曲面21 ,取下侧，因此分别应用公式（），就有 3 2222xy1,x,ydxdy,xy，，,1,x,ydxdy xyzdxdy,,,,,,,DD,xyxy 22,2xy1,x,ydxdy。 ,,Dxy 其中D,,xOy是及在面上的投影区域，就是位于第一象限内的扇形xy21 22，，x，y,1x,0,y,0。利用极坐标计算这个二重积分如下： 222xy1,x,ydxdy ,,Dxy 22 ,2rsin,cos,1,rrdrd, ,,Dxy ,122322 ,,,,,,,sin2dr1rdr1, ,,001515 2从而 。 xyzdxdy,,,15, 设有向曲面，，z,zx,y是由方程给出，在xOy面上的投影区域为,,DD，，，，，函数z,zx,y在上具有一阶连续偏导数，Rx,y,z在上连,xyxy 续，如果取上侧，则由对坐标的曲面积分计算公式（3）有 , ，，,R,,x,y,zx,ydxdy。 ，，Rx,y,zdxdy,,,,D,xy 另一方面，因上述有向曲面的法向量的方向余弦为 , ,z,zyxcos,,cos,,， ， 22221，z，z1，z，zxyxy 1 ,cos,， 221，z，zxy故由对坐标的曲面积分计算公式有 ，，,R,,x,y,zx,ydxdy。 ，，Rx,y,zcos,dS,,,,D,xy由此可见，有 。 （6） ，，，，Rx,y,zdxdy,Rx,y,zcos,dS,,,,,, 如果,取下侧，则由（）有 ,3 。 ，，,,R,,x,y,zx,ydxdy，，Rx,y,zdxdy,,,,D,xy 1但这时,cos,，因此（6）式仍成立。 221，z，zxy 类似地可推得 ， （7） ，，，，Px,y,zdydz,Px,y,zcos,dS,,,,,, 。 （8） ，，，，Qx,y,zdzdx,Qx,y,zcos,dS,,,,,, 合并（6）、（7）、（8）三式，得两类曲面积分之间的如下联系： ，Qdzdx，Rdxdy Pdydz,,, ， （9） ，，,Pcos,，Qcos,，Rcoa,dS,,, 其中cos,，，x,y,z、cos,、是有向曲面上点处的法向量的方向cos,, 余弦。 两类曲面积分之间的联系也可写成如下的向量形式： （10） A,dS,A,ndS,,,,,, 或 , ， （） A,dS,AdS10n,,,,,, 其中,,,,，，A,P,Q,Rn,cos,,cos,,cos,x,y,z，为有向曲面上点, ,,AdS,ndS,dydz,dzdx,dxdy处的单位法向量，，称为有向曲面元，n n为向量在向量上的投影。 A 2例3 计算曲面积分,其中是旋转抛物面，，z，xdydz,zdxdy,,,, 122，，z,x，y介于平面及之间的部分的下侧。 z,2z,02 解 由两类曲面积分之间的联系（9）可得 cos,222，，，，，，cos,z，xdydz,z，xdS,z，xdxdy. ,,,,,,cos,,,, 上，有 , x,1 ，。 ,,cos,cos,在曲面22221，x，y1，x，y故 22 。 ,,，，，，，，z，xdydz,zdxdy,z，x,x,zdxdy,,,,,, 再按对坐标的曲面积分的计算法，便得 2 ，，z，xdydz,zdxdy,,, 2,,11，，2222，，，，，，xyxxxydxdy。 ,,，，,,,，,,,,,,42，，,,Dxy 2122注意到，故 x，，x，ydxdy,0,,4Dxy 1，，2222 x，，xydxdy，，,，，z，xdydz,zdxdy,,,,,,2，，D,xy 2,21,,222,d,rcos,，rrdr,8,。 ,,,,002,, 第六节 高斯公式 通量与散度 一、高斯公式 格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分 之间的关系，而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上 的曲面积分之间的关系，这个关系可陈述如下： 定理1 设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数,,，，，，，，Px,y,zQx,y,zRx,y,z、、在上具有一阶连续偏导数，则有 , ,,,P,Q,R， （1） ,,，，dv,Pdydz，Qdzdx，Rdxdy,,,,,,,,x,y,z,,,, 或 ,,,P,Q,R （2） ,,，，，，dv,Pcos,，Qcos,，Rcos,dS,,,,,,,,x,y,z,,,, 这里cos,是的整个边界曲面的外侧，、、是上点cos,,cos,,, ,，，x,y,z处的法向量的方向余弦。公式（1）或（）叫做高斯公式。 1 证 由第五节公式（9）可知，公式（1）及（,）的右端是相等的，1因此这里只要证明公式（1）就可以了。 设闭区域D在面上的投影区域为。假定穿过内部且平行xOy,,xy于z,轴的直线与的边界曲面的交点恰好是两个。这样，可设由，,,,1 ,，，,,,z,zx,y和三部分组成（图10-24），其中和分别由方程和32211 ，，，，，，z,zx,yz,zx,y,z,zx,y,,给定，这里，取下侧，取上21221侧；zD,是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面上的一部分，xy3 取外侧。 根据三重积分的计算法，有 ,zxy，，RR,,2,, dvdzdxdy,,,,,,,,,,，，zxy1zz,,,,,Dxy ,,，，，，,R,,x,y,zx,y,R,,x,y,zx,ydxdy。 （2） 21,,Dxy 根据曲面积分的计算法，有 ，，，，,,R,,x,y,zx,ydxdy。 Rx,y,zdxdy1,,,,D,xy1 ，，，，,R,,x,y,zx,ydxdyRx,y,zdxdy. 2,,,,D,xy2 因为,xOy上任意一块曲面在面上的投影为零，所以直接根据对坐标的3 曲面积分的定义可知 。 ，，Rx,y,zdxdy,0,,,3 把以上三式相加，得 ，，Rx,y,zdxdy,,, ,,，，，，。 （3） ,R,,x,y,zx,y,R,,x,y,zx,ydxdy21,,Dxy 比较（2）、（3）两式，得 ,R ，，dv,Rx,y,zdxdy. ,,,,,,z,, 如果穿过x内部且平行于轴的直线以及平行于轴的直线与的边,,y界曲面的交点也都恰好是两个，那么类似地可得 , ,R，，dv,Px,y,zdydz. ,,,,,,z,, ,R，，dv,Qx,y,zdzdx. ,,,,,,z,, 把以上三式两端分别相加，即得高斯公式（1）。 在上述证明中，我们对闭区域作了这样 , 的限制，即穿过内部且平行于坐标轴的直线与 , 的边界曲面的交点恰好是两点，如果不满 ,,, 足这样的条件，可以引进几张辅助曲面把分为 ,有限个闭区域，使得每个闭区域满足这样的条件， 并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝 对值相等而符号相反，相加时正好抵消，因此公式（1）对于这样的闭区域仍然是正确的。 例1 利用高斯公式计算曲面积分 ，，，，x,ydxdy，y,zxdydz,,,, 22其中x，y,1z,0,z,3为柱面及平面所围成的空间闭区域的,, 整个边界曲面的外侧（图10-25）。 ，，， P,y,zx,Q,0,R,x,y 解 现在，,P,Q,R ,y,z,,0,,0， ,x,y,z利用高斯公式把所给曲面积分化为三重积分，再利用柱面坐标计算三重积 分： ，，，，x,ydxdy，y,zxdydz,,, ，，,y,zdxdydz,,,, ，，,rsin,,zrdrd,dz,,,, 2,13，，,d,rdrrsin,,zdz ,,,000 ,9 ,,.2 例2 利用高斯公式计算曲面积分 222 ， ，，xcos,，ycos,，zcos,dS,,, 其中，，cos,z,hh,0为锥面介于平面及之间的部分的下侧，、,z,0 ，，x,y,zcos,、是在点处的法向量的方向余弦。 cos,, 解 现在，曲面,不是封闭曲面，不能直接利用高斯公式。若设为,1 222，，z,hx，y,h,的上侧，则与一起构成一个封闭曲面，记它们围,1成的空间闭区域为，利用高斯公式，便得 , 222，， xcos,，ycos,，zcos,dS,,,，,1 ，，,2x，y，zdv,,,, h，，,2dxdyx，y，zdz， 22,,,，xyDxy 222其中,,，，D,x,yx，y,h。注意到 xy h，，dxdyx，ydz,0 22,,,，xyDxy 222即得 ，，xcos,，ycos,，zcos,dS,,,，,1 12224。 ,，，h,x,ydxdy,,h,,2Dxy 而 2222 ，，xcos,，ycos,，zcos,dS,zdS,,,,,,11 24,hdxdy,,h。 ,,Dxy 因此 11222444，，xcosycoszcosdShhh,，,，,,,,,,,,。 ,,22, 例3 设函数，，，，ux,y,zvx,y,z和在闭区域上具有一阶及二阶连,续偏导数，证明 ,vu,vdxdydz,udS ,,,,,,n,, ,,,u,v,u,v,u,v， ,,,，，dxdydz,,,,,,x,x,y,y,z,z,,, ,v其中，，vx,y,z是闭区域的整个边界曲面，为函数沿的外法线方,,,,n 222,,,向的方向导数，符号，称为拉普拉斯算子。这个公,,，，222,x,y,z式叫做格林第一公式。 证 因为方向导数 ,v,v,v,v ,cos,，cos,，cos,， ,n,x,y,z cos,，，、、是在点处的外法向量的方向余弦。x,y,zcos,cos,, 于是曲面积分 其中 ,,,v,v,v,v ,,cos,cos,cos,udS,u，，dS,,,,,,,n,x,y,z,,,, ，，,,,v,v,v,,,,。 ,,ucos,ucos,ucos,dS,，，,,,,,,,,,,,x,y,z,,,,,,,，，利用高斯公式，即得 ,v udS,,,n, ，，,,,,v,,v,,v,,,,,, uuudxdydz,，，,,,,,,,,,,,x,x,y,y,z,z,,,,,,,，， ,,,u,v,u,v,u,v， ,,,u,vdxdydz，，，dxdydz,,,,,,,,,x,x,y,y,z,z,,,, 将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式。 三、通量与散度 下面来解释高斯公式 ,,,P,Q,R， （1） ,,，，dv,Pdydz，Qdzdx，Rdxdy,,,,,,,,x,y,z,,,, 的物理意义。 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由 ，，，，，，，，vx,y,z,Px,y,zi，Qx,y,zj，Rx,y,zk 给出，其中Q、、假定具有一阶连续偏导数，是速度场中一片有向PR,曲线，又 n,cos,i，cos,j，cos,k 是，，x,y,z在点处的单位法向量，则由第五节第一目知道，单位时间内, 流体经过流向指定侧的流体总质量可用曲面积分来表示： ,, ,,Pdydz，Qdzdx，Rdxdy,,, ，，,Pcos,，Qcos,，Rcos,dS,,, , ,v,ndS,vdSn,,,,,,其中v,v,n,Pcos,，Qcos,，Rcos,v表示流体的速度向量在有n 向曲面的法向量上的投影。如果是高斯公式（1）,,, 1, 由于我们假定流体是不可压缩的，且流动是稳定的，因此 在流体离开的同时，内部必须有产生流体的“源头”产生出同样多的,, 流体来进行补充。所以, 为简便起见，把高斯公式（1）改写成 ,,,P,Q,R 。 ,,vdS，，dv,n,,,,,,,,x,y,z,,,, 以闭区域的体积除上式两端，得 ,V 1,,1,P,Q,R vdS。 ,,，，dv,n,,,,,,,VV,x,y,z,,,, 上式左端表示内的源头在单位时间单位体积内所产生的流体的质量的, 平均值。应用积分中值定理于上式左端，得 1,,,,,PQR,,，，,vdS， n,,,,,,,Vxyz,,,，，,,,,,这里，，，，,,,,,Mx,y,z是内的某个点。令缩向一点，取上式的极,,限，得 1,P,Q,R lim,vdS。 ，，n,,M,,V,x,y,z,上式左端称为vv在点的散度，记作div，即 M ,P,Q,Rdiv,，，v。 ,x,y,z v在这里可看作稳定流动的不可压缩流体在点的源头强度——在M单位时间单位体积内所产生流体质量。如果divv为负，表示点处流体Mdiv在消失。 一般地，设某向量场由 ，，，，，，，，Ax,y,z,Px,y,zi，Qx,y,zj，Rx,y,zk 给出，其中、、具有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，QPR, ，，nx,y,z是上点处的单位法向量，则叫做向量场通过曲面AA,ndS,,,, 向着指定侧的通量（或流量），而叫做向量场的散度，记作div，即 AA, ,P,Q,Rdiv,，，。 A,x,y,z 高斯公式现在可写成 ， divAdv,AdSn,,,,,, 其中是空间闭区域的边界曲面，而 ,, A,A,n,Pcos,，Qcos,，Rcos, n 是向量在曲面的外侧法向量上的投影。 A, 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 一、斯托克斯公式 斯托克斯公式是格林公式的推广。格林公式表达了平面闭区域上的二 重积分与其边界曲面积分间的关系，而斯托克斯公式则把曲面上的曲面,积分与沿着的边界曲线的曲线积分联系起来。这个联系可陈述如下： , 1 ,,, ，，Px,y,z, ，，，，Qx,y,zRx,y,z, ,,,,,R,Q,P,R,Q,P,, ,,,,,dydz，,dzdx，,dxdy,,,,,,,,,y,z,z,x,x,y,,,,,,, （1） ,Pdx，Qdy，Rdz,, 公式（1）叫做斯托克斯公式。 证 先假定z与平行于轴的直线相交不多于一点，并设为曲面,, ，，z,fx,y的上侧，的正向边界曲线在面上的投影为平面有向xOy,,曲线D，所围成的闭区域为（图10-26）。 CCxy 我们设法把曲线积分 ,P,P dzdx,dxdy,,,z,y, 化为闭区域D上的二重积分，然后通过格林公式 xy 使它与曲线积分相联系。 根据对面积的和对坐标的曲面积分间的关系， ,P,P有 dzdx,dxdy,,,z,y, ,,,P,P 。 （2） （图10-26） ,,cos,cos,,,dS,,,,,z,y,,, 由第八章第六节知道，有向曲面的法向量的方向余弦为 , ,f,fyx cos,cos,,,，， 22221，f，f1，f，fxyxy 1 ,cos,， 221，f，fxy因此cos,,,fcos,，把它代入（2）式得 y ,,,P,P,P,P， ,,cos,dzdx,dxdy,,，fdSy,,,,,,,z,y,y,z,,,, 即 ,,,P,P,P,P， （3） ,,dzdx,dxdy,,，fdxdyy,,,,,,,z,y,y,z,,,, 上式右端的曲面积分化为二重积分时，应把z，，，，Px,y,z中的用fx,y来 代替，因为由复合函数的微分法，有 ,,P,P ,,，，Px,y,fx,y,，,f。 y,y,y,z所以，（3）式可写成 ,,P,P。 ，，P,,x,y,fx,ydxdy,,dzdx,dxdy,,,,,z,yy,,Dxy根据格林公式，上式右端的二重积分可化为沿闭区域D的边界的曲线Cxy 积分： ,， ，，P,,x,y,fx,ydxdy,,，，,Px,y,fx,ydx,,,,y,DCxy ,P,P于是 。 ,,，，,Px,y,fx,ydxdzdx,dxdy,,,,z,y,C因为函数，，，，，，,,Px,y,fx,yx,yPx,y,z在曲线上点处的值与函数在C曲线，，x,y,z上对应点处的值是一样的，并且两曲线上的对应小弧段在, x轴上的投影也一样，根据曲线积分的定义，上式右段的曲线积分等于曲 线上的曲线积分，，。因此，我们证得 Px,y,zdx,,, ,P,P。 （4） ，，,Px,y,zdxdzdx,dxdy,,,,z,y,, 如果取下侧，也相应地改成相反的方向，那么（4）式两端同时,, 改变符号，因此（4）式仍成立。 其次，如果曲面与平行于z轴的直线的交点多于一个，则可作辅助曲线把曲面分成几部分，然后应用公式（4）并相加。因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲线积分相加时正好抵消，所以对于这一类曲面公式（4）也成 立。 ,Q,Q同样可证 。 ,Qdydxdy,dydz,,,,x,z,, ,R,R 。 ,Rdzdydz,dzdx,,,,y,x,, 把它们与公式（4）相加即得公式（1）。证毕。 为了便于记忆，利用行列式记号把斯托克斯公式（1）写成 dydzdzdxdxdy ,,, ， ,Pdx，Qdy，Rdz,,,,x,y,z,,PQR ,,R,把其中的行列式按第一行展开，并把与的“积”理解为，与R,y,y,z ,QQ的“积”理解为等等，于是这个行列式就“等于” ,z ,,,,,R,Q,P,R,Q,P,,。 ,,,,,dydz，,dzdx，,dxdy,,,,,,,y,z,z,x,x,y,,,,,,这恰好是公式（1）左端的被积表达式。 利用两类曲面积分间的联系，可得斯托克斯公式的另一形式： cos,cos,cos, ,,,， ,Pdx，Qdy，Rdz,,,,x,y,z,,PQR 其中,,n,cos,,cos,,cos,为有向曲面的单位法向量。 , 如果xOy是面上的一块平面闭区域，斯托克斯公式就变成格林公, 式。因此，格林公式是斯托克斯公式的一个特殊情形。 例1 利用斯托克斯公式计算曲线积分，其中为zdx，xdy，ydz,,, 被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与x，y，z,1 这个三角形上侧的法向量之间符合右手（图10-27）。 平面解 按斯托克斯公式，有 图 10-27 。 zdx，xdy，ydz,dydz，dzdx，dxdy,,,,, 由于的法向量的三个方向余弦都为正，又由于对称性，上式右端等, 于 3d,， ,,Dxy 其中D为xOy面上由直线x，y,1及两条坐标轴为成的三角形闭区域，xy 3因此 zdxxdyydz。 ，，,,2, 例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分 222222 ， ，，，，，，I,y,zdx，z,xdy，x,ydz,, 3其中0,x,1,0,y,1,0,z,1是用平面x，y，z,截立方体：的,2 表面所得的截痕，若从a轴的正向看去，取逆时针方向（图10-28（））。 Ox 3解 取x，y，z,为平面的上侧被所围成的部分，的单位,,,2 11法向量,,n,1,1,1cos,,cos,,cos,,，即。按斯托克斯公式， 33 有 111 333 ,,, dSI,,,xyz,,,,222222yzzxxy,,, 4 ，，,,x，y，zdS。 ,,3, 图 10-28 因为在3上，故 x，y，z,,2 43， I,,,dS,,233dxdy,,6,xy,,,,23,Dxy 其中D,DxOy为在平面上的投影区域（图10-28（）），为的面,bxyxyxy 13积，因 ,,1,2，, xy84 9故 I,,。 2 三、环流量与旋度 设斯托克斯公式中的有向曲面，，x,y,z上点处的单位法向量为 , n,cos,i，cos,j，cos,k， ，，的正向边界曲线上点处的单位法向量为 x,y,z,, 而， t,cos,i，cos,j，cos,k 则斯托克斯公式可用对面积的曲面积分及对弧长的曲线积分表式为 ，，,,,,,R,Q,P,R,Q,P,, ,,,,cos,cos,cos,,，,，,dS,,,,,,,,,,,y,z,z,x,x,y,,,,,,,，， 。 （1） ，，,Pcos,，Qcos,，Rcos,ds,, 没有向量场 ，，，，，，，，Ax,y,z,Px,y,zi，Qx,y,zj，Rx,y,zk， 在坐标轴上的投影为 ,P,R,R,Q,Q,P ，， ,,,,y,z,x,y,z,x 的向量叫做向量场的旋度，记作，即 ArotA ,,,,,R,Q,Q,P,P,R,,,j，。 （8） ,,,,rotA,,i，,k,,,,,,,z,x,,,y,z,x,y,,,, 现在，斯托克斯公式可写成向量的形式 ， rotA,ndS,A,tds,,,,, 或 ， （9） ，，rotAdS,Adstn,,,,, 其中 ，，rotA,rotA,n n ,,,R,Q,P,R,,,cos, ,,,,cos,，,,,,,z,x,,,y,z,, ,,,Q,P ,,，,cos,,,,x,y,, 为在的法向量上的投影，而 rotA, A,A,t,Pcos,，Qcos,，Rcos, t 为向量在的切向量上的投影。 A, 沿有向闭曲线的曲线积分 , Pdx，Qdy，Rdz,Adst,,,, 叫做向量场沿有向闭曲线的环流量。斯托克斯公式（9）现在可叙述A, 为：AA,, ，这里的正向与的侧应符合右手规则。 ,,, 为了便于记忆，的表达式（8）可利用行列式记号形式地表示为 rotA ijk ,,, rotA,。 ,x,y,z PQR 最后，我们从力学角度来对的含义作些解释。 rotA 没有刚体绕定轴,,M转动，角速度为为刚体内任意一点。在定轴ll z上任意一点为坐标原点，作空间直角坐标系，使轴与定轴重合，则Ol ，而点可用向量来确定。由力学知道，点MM,,,k,,r,OM,x,y,z v的线速度可表示为 v,,，r。 由此有 ijk ,,v,00,,,,y,,x,0， xyz 而 ijk ,,,,,rotA,,0,0,2,,2,。 ,x,y,z ,,y,x0 从速度场v的旋度与旋转角速度的这个关系，可见“旋度”这一名词的由 来。