弧长的公式、扇形面积公式及其应用

弧长的公式、扇形面积公式及其应用 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点: 、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 1 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点: 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 ,知识要点, 知识点1、弧长公式 因为360?的圆心角所对的弧长就是圆周长C,2R，所以1?的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为R的圆中，n?的圆心角所对的弧长l的计算公式:， 说明:(1)在弧长公式中，n示1?的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R,10，计算20?的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。 (2)在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n?的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360?的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1?的扇形面积是 ，由此得圆心角为n?的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式:。 知识点3、弓形的面积 (1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长,弦长，弧长 (3)弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和?AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示， 例:如图所示，?O的半径为2，?ABC,45?，则图中阴影部分的面积是 ( )(结果用表示) 分析:由图可知由圆周角定理可知?ABC,?AOC，所以?AOC,2?ABC,90?，所以?OAC是直角三角形，所以 ， 所以 注意:(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。 圆周长 弧长 圆面积 扇形面积 公 式 (2)扇形与弓形的联系与区别 (2)扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 知识点4、圆锥的侧面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积 说明:(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。 (2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 知识点5、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积，圆柱的全面积 知识小结: 圆锥与圆柱的比较 名称 圆锥 圆柱 图形 由一个直角三角形旋由一个矩形旋转得到的，如图形的形成过转得到的，如Rt?矩形ABCD绕直线AB旋转程 SOA绕直线SO旋转一周。 一周。 图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面 侧面展开图的扇形 矩形 特征 面积计算 【典型例题】 例1. (2003.辽宁)如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2，1，?AOB,120?，则阴影部分的面积是( ) A. B. C. D. 分析:阴影部分所在的两个扇形的圆心角为 ， 所以 故为:B. 例2. (2004?陕西)如图所示，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC，BC，AB,10厘米，tan?BAC,，求阴影部分的面积。 分析:本题考查的知识点有:(1)直径所对圆周角为90?，(2)解直角三角形的知识(3)组合图形面积的计算。 解:因为AB为直径，所以?ACB,90?， 在Rt?ABC中，AB,10， tan?BAC,，而tan?BAC, 设BC,3k，AC,4k，(k不为0，且为正数) 由勾股定理得 所以BC,6，AC,8，，而 所以 例3. (2003.福州)如图所示，已知扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形AOB，点C，E，D分别在OA，OB及AB弧上，过点A作AF?ED交ED的延长线于F，垂足为F，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为( ) 分析:连接OD，由正方形性质可知?EOD,?DOC,45?，在Rt?OED中，OD,， 因为正方形的边长为1，所以OE,DE,1，所以，设两部分阴影的面积中的一部分为M，另一部分为N，则 ，阴影部分面积可求，但这种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部分空白面积为P， 因为?BOD,?DOC，所以 所以M,P，所以 答案:。 例4. 如图所示，直角梯形ABCD中，?B,90?，AD?BC，AB,2，BC,7，AD,3，以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积。 分析:将直角梯形ABCD绕BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。 解:作DH?BC于H，所以DH,AB,2 CH,BC,BH,BC,AD,7,3,4 在?CDH中， 所以 例5. (2003.宁波)已知扇形的圆心角为120?，面积为300平方厘米 (1)求扇形的弧长。 (2)若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少, 分析:(1)由扇形面积公式，可得扇形半径R，扇形的弧长可由弧长公式求得。(2)由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形ABC，(1)问中求得的弧长 是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为C,2r，底面圆半径r即CD的长可求，圆锥的高AD可在Rt?ADC中求得，所以 可求。 解:(1)设扇形的半径为R， 由，得，解得R,30. 所以扇形的弧长(厘米)。 (2)如图所示，在等腰三角形ABC中，AB,AC,R,30，BC,2r，底面圆周长C,2r，因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以 在Rt?ADC中，高AD, 所以轴截面面积(平方厘米)。 【模拟】(答题时间:40分钟) 一、选择题 1. 若一个扇形的圆心角是45?，面积为2л，则这个扇形的半径是( ) A. 4 B. 2 C. 47л D. 2л 2. 扇形的圆心角是60?，则扇形的面积是所在图面积的( ) A. B. C. D. 3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是( ) A. 90? B. C. D.180? 4. 两同心圆的圆心是O，大圆的半径是以OA，OB分别交小圆于点M， N(已知大圆半径是小圆半径的3倍，则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的( ) A. 2倍 B. 3倍 C. 6倍 D. 9倍 5. 半圆O的直径为6cm，?BAC,30?，则阴影部分的面积是( ) A. B. C. D. 6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为( ) A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 :2，这个圆锥的轴截面的顶角 是( ) A. 30? B. 60? C. 90? D. 120? 8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1?2，则它们的高之比为( ) A. 2:1 B. 3:2 C. 2: D. 5: 9. 如图，在?ABC中，?C ,Rt?，AC > BC，若以AC为底面圆半径，BC为高的圆锥的侧面积为S，以BC为底面圆半径，AC为1 高的圆锥的侧面积为S，则( ) 2 A. S,S B. S > S C. S < S D. S、S的大小关系不确定 12121212 二、填空题 1. 扇形的弧长是12лcm，其圆心角是90?，则扇形的半径 2是 cm ，扇形的面积是 cm. 2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是 . 23. 已知扇形面积是12cm，半径为8cm，则扇形周长为 . 4 在?ABC中，AB,3，AC,4，?A,90?，把Rt?ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S;把Rt?ABC绕AB旋转1 一周得到另一个圆锥，其全面积为S，则S: S, 。 212 5. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm，要用一块圆心角为240?的扇形铁板做一个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有 cm。 6. 如图，扇形AOB的圆心角为60?，半径为6cm，C，D分别是的三等分点，则阴影部分的面积是 。 7. 如图正方形的边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴影部分面积为 。 三、计算题 ABC中，AC,BC ，以A为圆心画弧，交AB1. 如图，在Rt? 于点D，交AC延长线于点F，交BC于点E，若图中两个阴影部分 的面积相等，求AC与AF的长度之比(л取3)。 2. 一个等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的侧面积是S，另一个1圆锥的侧面积是S，如果圆锥和圆柱等底等高，求( 2 3. 圆锥的底面半径是R，母线长是3R，M是底面圆周上一点，从 点M拉一根绳子绕圆锥一圈，再回到M点，求这根绳子的最短长度( 【试题答案】 一、选择题 1. A 2. B 3. C 4. D 5. B 6. B 7. B 8. C 9. B 二、填空题 1、24 144 2、40? 3、19cm 4、3:4 5、3 6、2 7、2,4 三、计算题 1、连接AE，则，所以 2、 3、连接展开图的两个端点MM'，即是最短长度。 利用等量关系得出?MAM′,120?，?AMD,30?，AD,，