转 韩信点兵 及其算法

转 韩信点兵 及其算法 转 韩信点兵 及其算法 一、成语、俗语、歇后语 韩信点兵--多多益善 二、历史故事 1、版本一 秦朝末年楚汉相争。相传有一次韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。双方大战一场楚军不敌败退回营。而汉军也有伤亡只是一时还不知伤亡多少。于是韩信整顿兵马也返回大本营准备清点人数。当行至一山坡时忽有后军来报说有楚军骑兵追来。韩信驰上高坡观看只见远方尘土飞扬杀声震天。汉军本来已经十分疲惫了这时不由得人心大乱。韩信仔细地观看敌方发现来敌不足五百骑便急速点兵迎敌。不一会儿值日副官共有1035人。他还不放心决定自己亲自算一下。于是命令士兵3人一列结果多出2名接着他又命令士兵5人一列结果多出3名再命令士兵7人一列结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布值日副官计错了我军共有1073名勇士敌人不足五百我们居高临下以众击寡一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅这一来更相信韩信是神仙下凡、神机妙算于是士气大振。一时间旌旗摇动鼓声喧天汉军个个奋勇迎敌楚军顿时乱作一团。交战不久楚军大败而逃。 2、版本二 汉高祖刘邦曾问大将韩信你看我能带多少兵韩信说你顶多能带十万兵吧汉高祖心中有三分不悦心想你竟敢小看我那你呢韩信说我呀当然是多多益善啰刘邦心中又添了三分不高兴勉强说将军如此大才我很佩服。现在我有一个小小的问向将军请教凭将军的大才答起来一定不费吹灰之力的。韩信说可以可以。刘邦狡黠地一笑传令叫来一小队士兵隔墙站队刘邦发令每三人站成一排。队站好后小队长进来报告最后一排只有二人。刘邦又传令每五人站成一排。小队长报告最后一排只有三人。刘邦再传令每七人站成一排。小队长报告最后一排只有二人。刘邦转脸问韩信敢问将军这队士兵有多少人韩信脱口而出二十三人。刘邦大惊 三、韩信点兵的计算 韩信点兵的计算方法又被称为孙子定理、鬼谷算、隔墙算、剪管术、秦王暗点兵、物不知数等它是中国古代家的一项重大创造在世界数学史上也有重要的地位。在西方数学史上被称为中国剩余定理Chinese Remainder Theorem中国余数定理。 最早提出并记叙这个数学问题的是《孙子算经》中的物不知数题目。 1、《孙子算经--物不知数》 题目有物不知其数三三数之剩二五五数之剩三七七数之剩二。问物几何 答曰二十三。 术曰三三数之剩二则置一百四十五五数之剩三置六十三七七数之剩二置三十并之得二百三十三以二百一十减之即得。凡三三数之剩一则置七十五五数之剩一则置二十一七七数之剩一则置十五一百六以上以一百五减之即得。 刘邦出的这道题可用现代语言这样述一个正整数被3除时余2被5除时余3被7除时余2如果这数不超过100求这个数。 《孙子算经》中给出这类问题的解法用现代汉语说明就是首先找出能被5与7整除而被3除余1的数70被3与7整除而被5除余1的数21被3与5整除而被7除余1的数15。所求数被3除余2则取数70×2140140是被5与7整除而被3除余2的数。所求数被5除余3则取数21×36363是被3与7整除而被5除余3的数。所求数被7除余2则取数15×23030是被3与5整除而被7除余2的数。又1406330233由于63与30都能被3整除故233与140这两数被3除的余数相同都是余2同理233与63这两数被5除的余数相同都是3233与30被7除的余数相同都是2。所以233是满足题目要求的一个数。而3、5、7的最小公倍数是105故233加减105的整数倍后被3、5、7除的余数不会变从而所得的数都能满足题目的要求。由于所求仅是一小队士兵的人数这意味着人数不超过100所以用233减去105的2倍得23即是所求。 2、秦九韶--《大衍求一术》 《孙子算经》的物不知数题虽然开创了一次同余式研究的先河但由于题目比较简单甚至用试猜的方法也能求得所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从完整的 计算程序和理论上解决这个问题的是南宋时期的数学家秦九韶。秦九韶在他的《数书九章中提出了一个数学方法大衍求一术系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。这个解法传到西方后被称为孙子定理或中国剩余定理。 3、明朝数学家程大位的《算法统宗》中将这一算法编成歌诀 三人同行七十70稀 五树梅花二一21枝。 七子团圆正半月15 除百零五105便得知。 它的意思是凡是用3个一数剩下的余数将它用70去乘因为70是5与7的倍数而又是以3去除余1的数5个一数剩下的余数将它用21去乘因为21是3与7的倍数又是以5去除余1的数7个一数剩下的余数将它用15去乘因为15是3与5的倍数又是以7去除余1的数将这些数加起来若超过105就减掉105如果剩下来的数目还是比105大就再减去105直到得数比105小为止。这样所得的数就是最小解。最小解加上105的正整数倍都是解。 四、相关史料《史记?淮阴侯列传》 原文 上尝从容与信言诸将能不同否各有差高低。上问曰如我能将几何信曰陛下不过能将十万。上曰于君何如曰臣多多益善耳。上笑曰多多益善何为为我禽同擒信曰陛下不能将兵而善将将此信之所以为陛下禽也。且陛下所谓天授非人力也。 译文 刘邦曾经在闲暇时与韩信讨论各位将领才能的大小。个自有高有低。刘邦问道像我自己能统帅多少士兵韩信说陛下你只不过能统帅十万人。刘邦说那对你来说你能统帅多少呢韩信回答道我统帅士兵的越多越好。刘邦笑道统帅士兵的越多越好那为什么被我所控制韩信说陛下不能统帅士兵但善于带领将领这就是韩信我之所以被陛下你所控制的原因了。而且陛下的能力是天生的不是人们努力所能达到的。