小学奥数题

小学奥数题 学好奥数的学习方法 每个人都会有缺点，孩子当然也不例外。但父母怎样面对孩子的缺点，却很有讲究。教育学家认为:用粗暴、打骂等方法纠正孩子的缺点，很可能使孩子产生逆反心理，不可能达到理想的效果。只有用说服教育、讲道理的方法，使孩子认识到缺点错误的危害性，他才会主动地去改正缺点。因此父母教育孩子纠正缺点，必须讲究方法。 1、无论什么时候都不要说谎。 2、每个人都有值得学习的地方。 3、自我约束是对自己负责。 4、骂人是一种可耻行为。 5、你一定要学会控制自己的脾气。 6、你是个懂事的孩子。 7、有耐心才能做好任何事情。 8、我们找个锻炼细心的事情做一做。 9、凡事都要冷静，不能急躁。 10、游戏可以玩，但不能沉迷其中。 11、胆子大些，再大些。 12、偏食会妨害你的成长。 内容来自一位家长的日记: 星期三是无作业日,早上临上班前就告诉女儿,下午下学后去硬笔老师家练一会字.可是等下午五点多打电话时,女儿已经回到家,说爸爸接她的时候,忘记带硬笔本了,所以没有去老师家.只好吩咐女儿,竟然没有去,今天又是无作业日,让她把所学过的课文生字和课文记一下和背熟.妈妈下班回家要听写和背课文.女儿满口答应. 晚上回到家.孩子已经吃过,正在和家人一起看电视.我赶快吃饭,同时对孩子讲,宝贝,生字和课文都会了吗?妈妈吃完饭,就要听写了."女儿说:"我已经会了."眼睛盯着电视,一眼都不看我的回答.等我吃过饭后,我叫她卧室去听写生字,叫了好几次才慢慢的进来. 让她听写生字的要求是,一个字,一个拼音,把笔划写出来,同时要组一个词.我念字了,她开始按要求的写,字还比较认真,一笔一划的写.听写完第一课的十个字. 我说:"继续把会认的字,写一个字,一个词." 这下子,小姑娘可就不干了, "老师没有要求我们去写,而且你当时只是让我写一个字,而没有组词呀!我不写了." 小家伙罢工了,坐在课桌旁,边哭边说:"你想累死我呀!我困了.我不写了." 我说:"你如果不写生字,那么去写日记." "不写,就不写" 声音哭着好大好大.而且说话的嗓门也越来越高. "你中午是不是没有睡午觉." "没有,我困了.我想睡觉. "妈妈,告诉你中午必须睡午觉,你难道不知道.你不睡午觉,下午上课时就会犯困,而且到了晚上就瞌睡了,我要求你那怕休息十几钟也可以呀!" 女儿开始捂住耳朵, "我不听,你又说废话.你闭上嘴." 孩子火气越来越大,而且就不能让人说,哭着更厉害.同时把手中铅笔扔过来.看着她生气发火,我只是坐着,也不说话.从来没有见过女儿发这么大的火.这时爸爸进来了,问怎么回事 ,女儿哭着说,"我困了,妈妈让我听写生字." 爸爸说:"妈妈说着对,你要是中午休息一会儿,肯定就不会困呀!不哭了,告诉爸爸还有那些没有听 写." 孩子指了指没有听写着字,然后爸爸继续听写完. 这时她的情绪也比较稳定下来,脾气也发过了.不哭了.,走到我旁边, "妈妈,对不起,我不该向你发那么大的脾气.我以后要睡午觉了." 说完,抱住我.我轻轻搂住她,边抚摸着边对她说: "妈妈,接受你的道歉,妈妈希望你以后不要总发脾气." "你总是惹我生气吗?" "你也惹我生气呀!你要是听话,把事情做好做完,妈妈还会找你麻烦呀!" "那我以后把事情做好,不再惹你生气,好吗?我们拉勾,大家都不要惹对生气,要不然,妈妈谁要是惹对方生气,你给谁一块钱."说完,笑着起来. "你认为我的这个办法好不好." "说话一定要算数哦"伸手小姆指同女儿拉勾. (下面是俺滴点评感想哦 ) 由此篇韵儿形象生动的精彩日记，可以看出浩然的可爱浩儿的懂事呢，是在成长的孩子，是很优秀的孩子，是很有主见的孩子，是很有自信的孩子，更是很会自省的孩子啊～ 这篇日记最感人之处、也是最值得亲们学习之处在于:面对浩然的发躁、浩然的哭闹，韵儿没有以躁对躁、没有以怒制怒、没有以暴易暴----韵儿的冷静理智是值得大大叫好的哦～ 感慨之后，感动之余，俺这里，却想从另一个角度去反思另一个问题呢，想给韵儿提出更高要求呢(嘿嘿，对韵儿苛求了尼): 如何培养孩子学习作业的自觉性,如何引导孩子自己为自己的学习作业负责, 从这篇精彩的文中可以看出，浩然是位学习很优秀的孩子，浩然课文词语听写组词已经很优秀，她在学校(或者在家里)，对老师要求的听写背诵内容应该已经掌握得很不错了，可是必须要完成妈妈布置的作业，即使在她看来是多余的作业，即使是她在看喜欢的电视时，她心里很不情愿去写、很不情愿这时去写，也要被催着、被逼着无奈地去完成这个作业，后来，即使她用事实证明她已经掌握得很好了，她还是毫无商量必须完成更多的在她看来完全无必要的重复作业—— “让她把所学过的课文生字和课文记一下和背熟.妈妈下班回家要听写和背课文.”----女儿说:"我已经会了."眼睛盯着电视,一眼都不看我的回答.等我吃过饭后,我叫她卧室去听写生字,叫了好几次才慢慢的进来. 让她听写生字的要求是,一个字,一个拼音,把笔划写出来,同时要组一个词.我念字了,她开始按要求的写,字还比较认真,一笔一划的写.听写完第一课的十个字. 我说:"继续把会认的字,写一个字,一个词." 这下子,小姑娘可就不干了 “老师没有要求我们去写,而且你当时只是让我写一个字,而没有组词呀!我不写了.”----(嘿嘿，这个场景描写得非常细致生动，是否在很多亲们家里发生过呢,) 完全可以理解，太多的妈妈，出于最朴素最简单也是最可以理解的愿望——让孩子成绩更好些，让孩子对知识的掌握更扎实些——因此，对孩子提出了如此更高要求，给孩子布置了更多额外作业，天天陪着孩子、缠着孩子、催着孩子、赶着孩子甚至逼着孩子多学点知识多做点作业～ 也许你也会说，孩子就是孩子啊，他哪里懂得要自觉学习自觉作业呢，何况有几个孩子是喜欢学习和作业的呢，你不监督、不提醒、不检查甚至不强迫她，她哪里会好好的给你做作业呢,你管一下，她就好一点，你不管她就退步啊～ 当然，事实也往往证明:家长操心的给孩子布置更多的额外作业、对孩子进行更大的强化训练，也就是花大力气对孩子的学习进行监督、检查，孩子完全可能立竿见影的在老师的测验考试中取得好分数好成绩哦～ 但是，我想说的是，我更想提醒的是，绝不要因为孩子这一时的进步这一时的优秀而欣欣然而自我陶醉而蒙蔽了双眼啊～ 请好好想想，请好好反省:这样不管不顾孩子的情绪，陪着、催着、赶着、逼着孩子做更多的作业，也许孩子的考试成绩是一时进步了、是一时优秀了。但这种所谓的“进步”所谓的“优秀”，往往就是以牺牲孩子的学习欲望、打消孩子的学习兴趣为代价，往往是以丧失孩子主动学习完成作业的自觉性为前提。那么一定会出现这样的现实:你每次总要孩子多做一点，而孩子总想少做一些的状况;孩子总在疲于应付家长没完没了的额外作业中叫苦连天的状态;孩子总在绞尽脑汁的想如何少做一点额外作业中讨价还价的表现。这样的话，孩子如何能早日懂事,孩子如何能尽快长大,孩子何时会自己主动找作业做呢,何时会自己自情自愿的钻研书本知识呢, 请清醒的认识，请千万记住哦:孩子学习最高的境界就是她自己安排自己的学习，自己有学习的主动性和自觉性，最优秀的孩子不是“管”出来的，更不是催出来的、逼出来的，是尊重、是引导、是欣赏出来的，她们有一颗“我要学习”积极向上的心(实际上，每一个孩子最初都有这颗心的啊，有的孩子没有被挖掘被激发而已，有的孩子被老师家长一次次的抹杀了而已)，会为自己的学习作业负责～ “我要学习”和“要我学习”，这是很重要的两种学习状态的分水岭，激发、引导孩子逐渐形成“我要学习”的精神状态，比一时优异的学习成绩都更有价值更有意义，更值得我们去追求去获得～我们宁愿降低要求、降低作业量、降低成绩的期望值，也要努力追求培养孩子“我要学习”的精神状态。我所见的太多的孩子，刚开始学习、刚开始作业、刚去参加考试时，都有着良好的“我要学习”的精神状态，可是，就是因为家长的额外作业、家长的苛责要求、家长的更高标准、家长更多的不满，孩子的“我要学习”变成了被动的“要我学习”了，孩子越来越厌倦学习、逃避作业、畏惧考试了啊----- 所以说，对要进行人生学习长跑的孩子来说，对刚刚站在马拉松起跑线上的孩子来讲，挖掘激发孩子的那颗积极向上的心(要相信每个孩子内心深处都有“我要优秀我要更好”的种子)，给孩子更大的信任和欣赏，让孩子有好孩子的感觉，激发孩子对学习的热情和激情，比孩子一时成绩的进步更重要更有意义哦～放手(当然也要引导更要激发)让孩子自己为自己的事情负责，自己为自己的学习作业安排，而不要跟在屁股后面催啊、提醒了啊，置孩子于不懂事的境地，绝不要让孩子感觉到是在为你学习作业，为你完成任务～ 记得我小时候的时候，父母没啥文化，不知道辅导我，也不知道对我有啥额外的课业辅导，我父亲的一位老乡带着孩子到咱家来，她报了一些生字给我听写，我总写不出，她就欣欣然起来，她说她家的孩子都听写得出来呢，原来她一直在天天辅导孩子天天在给孩子布置大量的额外作业，她孩子每天都在她威逼之下完成大量作业练习，也总在与她讨价还价中与她斗智斗勇。后来呢，随着我逐渐懂事了，我虽没有家长名次的要求，但我感受到了学习进步的成功体验，到初中，我知道了自己要学习了，自己主动去看书学习了，自己在总结在反思自己的学习方法了，成绩也大步前进了。而她的孩子呢，原来成绩那么好的孩子，却逆反心理很重了，却很厌学了，成绩直线下滑了----还记得哦，我孩子小时候，成绩较“差”(嘿嘿，这样看来，俺家孩子小时候成绩差，是有传统滴哦～)，我改变了观念，我只能降低要求，每天基本不布置啥课外作业，老师布置的作业，我也往往降低量的要求，以期给他成功的体验，给了他一个快乐的童年。后来，孩子逐渐懂事要学了，成绩也步步提高了。而一个朋友的孩子呢，从小妈妈给他找了大量的课外习题做，成绩比我孩子好很多呢，但他一直是在被催、被逼的状态下学习，初中后厌学心理非常重，成绩一落千丈了---- 所以，很多时候，当我们调整心态，蹲下身子，降低要求，仰视孩子的各种表现，给孩子更大的信任和欣赏，就可以发现孩子的可贵进步、孩子的优秀之处，也可以发现原来孩子内心深处都有“我要学习”的精神火种。检查孩子的作业，目的绝不仅仅是发现孩子的错误和问题，而主要就是为了激发孩子喜欢写作业、愿意写作业的激情和播撒孩子“我爱学习”“我要学习”的精神火种～老师要求孩子的作业要家长签字，面对懂事的孩子，咱要有意识的说，信任你哦，你自己为自己签字吧～刚开始学习的孩子，遇到老师布置超额作业量的时候，你甚至该主动的说，我帮你写一点吧，剩下的你一定写得更认真呢～孩子考试归来，面对一道道错误的答题，你却首先去看孩子的进步、欣赏孩子独立思考的努力～ 俺崽小时候，老师要求很多作业都要家长检查签字，很多时候，我都有意识的说你自己的作业，你自己签字啊。孩子写字很难受，老师布置一个生字抄一行，他都难受异常书写很差，我说:“你一行少写几个字咋样呢,剩下的我来写，只要你写的那几个字的笔画比原来写得好多了就行哦”。孩子 兴奋地说:“帮我写三个吧,剩下的我一定比原来好”我却提出帮写四个吧，果真，孩子少写几个字以后，那几个字一笔一划写得非常认真了，也爱主动去抄写作业了，一年后，他自己主动不要我帮他抄了，轻松的自己完成了。初一时，临期中考试前，他那时竟然主动要我陪他复习，给他报历史地理题目，我心里很欣赏他开始主动要学习了(但我心里想，如果他做到不要我陪他复习，而是自己主动复习就更好了)，我陪了他一段时间，期中考试成绩也取得了进步，但我给了他及时的鼓励之后，跟他说:“更重要的是你自己要去总结这次考好的原因，把这种好的学习方法运用起来，学习要靠你自己，你自己要平时安排时间自己背诵，不要靠我来帮助你背诵----”期末考试，是他自己复习背诵的，完全如我所料，成绩名次下降了，但我心里很坦然没有一点后悔，我安慰他说:“我很高兴看到你考到了这个成绩啊，甚至比原来那个期中考试的成绩都高兴啊，因为这是完全是在你自己安排复习取得的结果啊，这点更值得骄傲更有意义啊---”孩子后来高中，很会自己安排学习，很多课程都是自己去买课外书自学课程，对各门课程的学习都总结出了适合自己的独到的学习方法～ 就才小学二年级的浩儿来说，在学习上，浩然已经够优秀的了，有老师的要求布置作业，该足够了，不需要妈妈额外的布置这样作业(特别是重复枯燥的听写组词----)。特别是浩儿说了“我已经会了”，这是多好多优秀的回答啊，没有你的额外布置作业进行训练的操心，她就已经会了啊，该大大的高兴才是啊，你本来可以说:“哦，这么厉害啊，你肯定是偷偷看了吧，那我抽查几个咋样啊,”当然，你可以抽查几个词语啊，然后大大滴表扬她啊:“哈哈，小样，你一定自己好好记了哦，看来浩儿是免检产品啊，你表现这么好，我下次免检次数大大增加呢，甚至不需要我来听写了哦----”妈妈给浩儿听写了那么多，事实也证明她听写的都好、都会啊，这时，你本该看到浩然的对重复听写组词的厌恶情绪，你本该及时刹车，大大表扬她自己看的学的很好啊，不要再去操心的让她听写啊组词的啥的啊～遗憾的是，你却不减反加了，加大量了，非要逼着她再重复大量的去做了-----对她的疲倦视而不见，甚至要挟她这时去写日记(把写日记当作是一种惩罚手段了哦，日记就不再是快乐享受的事情了)～这样一来，让浩然感觉到，所有这些听写背诵甚至写日记，都是被你催的、都是被你逼的、都是在为你完成任务似的啊，而不再是她的自觉自愿的主动行为了。长此以往，在她心中，对学习对作业，只有了逃离、只有了躲避、只有了厌恶，何谈兴趣盎然,何来我要学习, 话说回来，如果还是想给孩子布置一些额外作业，帮孩子训练一下，该怎样说呢,我给大家建议一下:妈妈在面对优秀的浩儿时，你可以给她建议哦:“你的听写组词背诵应该没啥问题吧，要不要我回来后来陪陪你一起弄弄,”如果她自信满满的说:“都背好了，没问题哦”你就表达出信任和欣赏来，说相信浩儿的自觉学习浩儿的优秀哦～(如果你平时的检查是以欣赏鼓励为主的，而不是以找问题否定她为主，她往往也愿意被你检查被你陪伴呢)～ 你回家后，在何时检查她作业陪她复习的时间安排上，尊重她的决定、相信她的选择，给她被信任的优秀孩子的感觉，你问她何时开始哦，看她正陶醉于电视，甚至你都可以主动说:“今天这节电视好看哦，等你看完了这段，再来叫我，好不,”而绝不是催着她、赶着她、逼着她去完成你的任务哦(还是特别提醒一下，那些平时安排了时间表的妈妈，要引导孩子遵守时间计划，但更要信任孩子、保护孩子那颗积极主动的心哦)。 在陪伴孩子复习课本知识时，到底该复习些什么,到底该进行哪些训练,到底该进行多大量的训练,你也先好好征求孩子的意见，一时知识掌握量的多少、一时技能训练量的大小，都不是最重要的，最重要的是授之以渔啊，即要引导孩子，总结优秀的学习方法、探索有效的复习手段、坚定战胜困难的学习信心，即让她自己学会学习、学会思考、学会自省:哪些地方我还需要复习,自己哪些地方薄弱,哪些地方我该强化,那些地方我该让妈妈帮助我啊, 你或者只是在她说过、她过之后，提出你的建议算了，征求她的意见罢了，取得她的共识而已～挖掘孩子的主动性培养孩子在自主意识激发孩子积极向上的心更重要～比如她要说听写多少词语组多少词汇，你在听写了一些后，看到她表现不错，你大大的欣赏，说:“看样子，我的检查真是多余啊～”，你甚至该主动建议减少一些她提出的作业量，换取她的被信任感、换取她的成就感、换取她写作业的愉悦心情啊～争取她下次更主动更积极的去自己学习、自己思考、自己总结啊～ 还要补充一点哦，家长要有下面这样的心态这样的高度才是优秀的家长:不仅仅把学校里的学习才算着是学习，把掌握课本上的知识才当作知识掌握，以为上课的考试成绩的优秀才是优秀～比如语 文学习来说，语文课文只是一个范文例子而已，广泛的涉猎课外读物才是最优秀的语文学习，培养孩子喜欢阅读对书爱不释手，让孩子感受生活热爱生活写出精彩的日记，这才是孩子优秀最优秀的成绩～(如果能站在这个高度这个心态上去认识问题，韵儿就不会太在意孩子一两个星期没有固定老师而着急上火了。) 所以说，如果可能的话，韵儿妈妈面对优秀的浩儿，在浩儿都已经轻松完成老师布置任务的时候，不要再盯着那一点课内知识内容，苛求掌握得训练得更好～在布置浩儿作业时，去布置浩儿读一篇几篇孩子喜欢的儿童读物，等妈妈回来给妈妈复述----这同样是学习啊，这同样是学习语文啊，培养孩子的课外阅读兴趣比上几节语文课更重要啊～ 千言万语，再啰嗦一下哦:咱“管”孩子不是目的，咱“管”孩子就是为了早日“不管”孩子，优秀的“不管”孩子才是最优秀的管孩子哦(要不，咱不说“管”咋样,就说引导、商量、建议、陪伴---);家长有时“偷点懒”也不是坏事哦，家长优秀的“偷懒”，就是信任孩子引导激发孩子自己更主动更勤快呢～(当然，家长的“偷懒”要偷懒的有艺术，要是建立在充分了解孩子，学会有艺术地引导孩子激励孩子的基础之上) ----- 别嫌烦，再啰嗦最后一句:是好孩子，就一定给孩子懂事好孩子的感觉哦～不是“好”孩子，也一定降低要求，创造机会，给孩子成功的体验，送给孩子“懂事好孩子”的感觉哦～ 高三了，还在为语文成绩无法提高而发愁吗,在e度论坛中，张禾强老师为高三的同学们指点迷津，以下为详细内容: 各位亲爱的童鞋: 虽然大家今天来到我的班上，显示出语文学习的足够热情，但土鳖相信大部分同学此前对于语文学习是没有怎么下工夫的。课前随机问了几名同学，也证实了这个猜测。 今天来到这里，坦白讲，我们只有热情，没有信心。由于此前并没有把语文学好过，所以今天我们对自己能否在紧张的高三中学好语文存在怀疑。 但要学好语文，我们需要树立学好的坚定信念。这个信念的坚定程度，直接影响了我们学习的有效程度。从第一节到第二节课，课后来提问的同学比之高一高二显然不是一个量级，但这是热情，这是尝试，如果接下来自己遭遇失败，或者进步不明显，很快会归于沉寂。 持久的动力源于我们坚定的信心，而坚定的信心源于我们对现状的分析和对自身的估计。 数理化可以通过短期突击快速提升，语文的短期内成绩快速提升靠什么, 我们需要认清几个事实。 一、心态转变:语文考试命题的科学性 高考是为了选拔人才，不是为了折磨大家。高考主要的作用是检测谁是优秀人才。这要求命制出科学的题目。不同考生读了同一篇文章确需要答出一样的答案，是不是要求离谱,请同学们注意，虽然大部分人会诅咒语文命题，但也找不出革命性的改革方式。因为现下的命题体制存在很高的科学性。每年都有一些同学得了阅读题的满分，这便是命题没有问题的明证，些微的细节性技术性问题并没有影响到选拔的大体公平。 语文学得不好的不愿意承认学不好，只能诅咒命题有问题。但那些语文成绩一直很棒的同学，他们能够看到考试对于创造力的扼杀，但是也能认清现状，轻松胜出。他们，不骂命题人。或者说，没有轻松赢得考试的能力，也就没有认清考试的本质，此时来鄙视考试，没有资格。 这是我们要走出的第一个心理误区:语文命题不科学。 其他自己没考好的学科我们为什么不说是命题有问题,因为其他学科学好的人相对多一些。 那语文的特殊性究竟在哪里, 二、认识转变:语文是一门讲究逻辑的学科 很好，很开心。最怕的就是老师说这个问题大家要靠感觉，凭理解。 数理化的题目都给出了足够的已知条件，用相关公式进行灵活组合，看谁经验更多速度更快而已。 语文则多了一个步骤。语文给出的题干比较长，是一篇文章或者古诗文，需要同学们从中提取出有效信息后进行按照命题逻辑的推理，才能得出答案。那些只擅长给足条件再推理的同学在此处碰见了先找条件的困难，就有些慌乱了。 其实看到这一问题，针对性训练一下，我们会进步神速，立竿见影。 从文章中找信息，像极了侦探柯南的破案，找够了信息，接下来就是因为所以直到推出结果，用专业术语进行准确表达，足矣。 所以，语文试题存在严密的逻辑性，这才是产生规律的前提，这也是语文阅读存在满分的原因。 三、方法转变:语文的分数如何快速提升 两个条件，定向的积累加上适量的方法训练。 定向的积累是指为了答题需要积累的相关专业术语、手法及其使用特点和使用效果。也包括常见的作者情感及其产生的原因(因为何种事件产生何种情感也是逻辑)。 适当的方法训练是为了让同学们通过典型题目的训练能够快速把握考试命题规律和答题思路，运用高质量的量变快速引发质变。 注意，无意义的量变无法引发质变，非典型题有时会起到反作用。 只要快速明确各类基本术语，掌握答题思路，语文成绩在短时间内会有明显提升。 但这适合于从105左右提高到120左右的同学，要考到125以上，需要同学们过去的时候产生了足够的积累，有着高远的胸襟和广博的见闻，作文立意高远和选材广泛这两条离不开过去的积累。而老师提供的快速作文法也只能保证拿到比平均分高一点的分数，提供的素材也容易被大众用烂了。所以，真正的高分作文源于作者的匠心独运，独特积累。 四、信心回归:我们需要语文的快速专项突破 各位童鞋，我们看到了，只要用心做题，总结规律，我们是可以在短期内快速提升语文成绩的。 短期内，做一定数量的典型题，找到规律，引发质变，走进题海，走出题海。 由于眼下的我们热情与信心兼具，所以，请坚信，要出现的改变不算奇迹。 世上无难事，只怕有心人。我们共同努力。 土鳖当竭忠尽智，盼助一臂之力。 这些经典题是我自己亲自整理并发布到论坛的，用了很长时间，希望大家多多支持，谢谢 1. 先分解再通分 有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57和76为互质数。 判断两个数是否互质，不必用2、3、5、……逐个试除。把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。 57=3×19，如果57和76有公有的质因数，只可能是3或19。用3、19试除， [57，76]=19×3×4=228。 26=2×13，65和91是13的倍数。 最小公分母为 13×2×5×7=910。 2.退法 著名的我国数学家华罗庚指出，善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个决窍。 (1)从复杂退到简单 千克，还剩下20千克。这袋米重多少千克? 后剩19×2=38(千克) 所求40×2=80(千克) (2)从一般退到特殊 例2 一只轮船往返于甲、乙码头一次，问:静水中航行所花时间长，还是流水中航行所花时间长，还是所花时间一样长。 这样的问题，一时很难作出解答。我们可以把问题足够地“退”，“退”到一种非常特殊的情况:假定船速等于水速，船在逆水航行时将停止不前。这就是说，船无论花费多长时间，也无法在这样的流水中完成两码头之间的往返航行。而在静水中航行的话，往返一次所花时间总是“往”(或“返”)时的2倍。因此在流水中花的时间最长。 如 时速3千米的一只小船，往返一段12千米的行程。如果水时速1千米，需几小时?若是静水，需几小时? (3)从抽象退到具体 此题比较抽象，且由于“标准量”、“比较量”前后变化，增加了题目难度。把它从抽象退到具体， 不妨假设女生人数是30(所设数是3的倍数简 3.推想与推断 例如，3/17的分子和分母同时加上什么数， 因为一个分数的分子与分母同时加上一个数的前后、分母与分子的差17 分母同时扩大14?2=7(倍)，就是 加上的数是35-17=18或21-3=18。 4.割补法 还少2吨，这时，正好运完。这批货共几吨? 这批货是10吨。 5.统一单位“1”1 分率的单位“1”不同，量的性质相异的题型，由于数量间运算无法直接实施，必须统一单位“1”，才能解答。 吨? 分析:为了求出甲、乙两堆煤的重量间的倍数关系，只须将其中一个量作为标准量，并以此为计量单位去度量另一个量。若甲堆煤的重量为单位 若设乙堆煤的数量为单位“1”，则算式为 解法二:观察线段图 各有多少人? 部分人数，从而求出甲队的人数。 乙队为336-154=182(人)。 ?乙队-甲队=(192-188)×7=28， ?甲队=(336-28)?2=154(人)，……。 6.统一单位“1”2 临时又有10个同学报名参加比赛，这样，参加比赛的人数刚好是未参加人数 依题意作线段图如下: 确定以“原来未参加的人数’为单位“1”。从图中可知，现在参加的 整理线段图如下: 因为原未参加人数与现未参加人数相差10人，所以 用假设法统一标准量。 比实际少 710-600=110(人)。 =450(人)。 =360(人)，或710-350=360(人)。 比实际多 875-710=165(人)。 300(人)。 350(人)。 7.同分子法 例1 某水果商店运来一批梨和桃子，其中梨比桃子多40千克。已知梨 通常用“两数差与倍数”关系解: 如果把相关的分数化为同分子的分数去分析数量关系问题比较容易解答。 梨和桃的重量共为19个等份，梨占10份，桃子占9份，每份重40千克。 梨:40×10=400(千克) 桃:40×9=360(千克) 可见，科技书和文艺书的相应份数分别为8份和5份。 然后用归一法求出科技书本数。 例3 两人分别从相距224千米的AB两地同时相向而行，因甲途中办事1小时而6小时后相遇并立即返回原地。当甲行2小时，乙行4小时后，分别与AB两地距离相等，每小时各行多少千米? 所以 8.同分母法 吨? 都平均分成15份，甲库中的9份相当于乙库中的10份，由此得出甲库与乙库的存粮数之比为10?9。现有粮 乙库:570-300=270(吨) 乙库原有粮:570-400=170(吨) 9.通用公式 一般的平面图形都可以用公式(a、b互为两个平行的底边长，h为两底间的距离) 例1 一个三角形的底为6cm，高为4cm，求面积。 例2 一个长方形长8cm，宽2cm，求面积。 例3 一个梯形的上底为12cm，下底为18cm，高为3cm，求面积。 例4 一个平行四边形的底边长9cm，高5cm，求面积。 例5 一个圆的周长是12.56cm，半径是2cm，求圆的面积。 例6 一个圆环，内圆周长18.84cm，外圆周长31.4cm，环宽2cm，求环形面积。 例7 求下图的面积。(单位:厘米) 一般解法:3.14×30=94.2 15.7?94.2=1/6 S=3.14×152×1/6 =117.75(cm2) 10.替代法 例1 一块布，可以做3套大人衣服或7套儿童衣服。已知做一套大人衣服比做一套儿童衣服多用布8尺。做一套大人衣服和儿童衣服各用布多少尺? 解:将3套大人衣服改做儿童衣服，则少用布8×3=24(尺)，这些布刚好可以做7-3=4套儿童衣服。因此，一套儿童衣服用布24?4=6(尺)。即 (8×3)?(7-3)=6(尺) 一套大人衣服用布: 8+6=14(尺) 例2 一个水果店有水果845千克，其中桃子比鸭梨的3倍还多25千克。问各有多少千克? 解:根据已知条件，如果用鸭梨代替桃子，那么桃子就相当于3份鸭梨再加上25千克。从总数中减去25千克，就相当(3+1)份鸭梨，从而可求出鸭梨的重量。 鸭梨 (845-25)?(3+1)=205(千克) 桃子 845-205=640(千克) 类似以上两例的特点是，题目只给出两个未知数量的关系，要求这两个未知数量，思考时，可根据所给的条件，用一个未知数量代替另一个未知数量，从而找到解题途径。 11.特殊值 有些数学题，按一般思路不易求解，若从给出的特殊值入手，紧扣条件和问题之间的联系，将会优化解题思路，很快找到解题捷径。 例1 如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分为两部分，S?DBC比S?ABD大10cm2。BC与AD的和为5cm，差为5cm，求S梯? 一般是借助“辅助线”解。其实只要仔细分析题意，利用给出的特殊条件可简捷求解。 底，它们等高，由BC=2AD，知?BDC=2?ABD。所以 S梯=10×(2+1)=30(cm,)。 例2 设直角三角形的两条直角边分别为6厘米和8厘米，用四个这样的直角三角形拼成如图所示正方形，求大正方形的边长。 此题用勾股定理求解,10。通过观察可以发现，大正方形和阴影部分小正方形的面积是条件和问题的联系纽带。小正方形的边长为直角三角形两条直角边之差8-6=2(cm)，大正方形面积为四个直角三角形的面积和小正方形面积的和。 1/2×8×6×4+(8-6)2=100(cm2)。 这个面积是一个特殊值100=10×10，所以大正方形的边长为10cm。 例3 四个一样的长方形和一个小的正方形拼成了一个大正方形(如图)大正方形的面积是49平方米，小正方形面积是4平方米。问长方形的短边长度是几米?(第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛题) 因为 4=2×2， 49=7×7，所以小正方形边长2cm，大正方形边长7cm。 长方形长宽之和为7cm，差为2cm，即 从而可求得，宽为2.5cm。 例4 1992年奥林匹克决赛题:一个正方形(如图)，被分成四个长方形，他们的面积分别是 图中阴影部分是一个正方形，那么它的面积是多少平方米。 大正方形边长为1米。仔细观察还可发现小正方形的边长与长方形?、?的长和宽有关。只要求出?的长和?的宽即可求得小正方形的边长了。 12.特殊结论 有些题目按照一般的思考方法解答，或者较麻烦，或者不能获得正确答案。用特殊结论解题，思路清楚，方法简便。 例1 周长为28cm的长方形，如果长和宽都增加1cm，这个长方形的面积增加多少? 增加部分的面积=(半周长+增加数)×增加数。分析示意图，不难发现。 (28?2+1)×1=15(cm2) 例2 周长为28cm的长方形，长增加1cm，宽增加2cm，面积增加24cm2，求原长方形的面积。 思路一:假设长和宽都增加1cm，根据以上结论，这个长方形的面积增加:(28?2+1)×1=15(cm2)，因实际宽比假设多增加1cm，而面积多增加24-15=9(cm2)如图，所以原长方形的长为9?1-1=8(cm)。宽为 28?2-8=6(cm)。 面积是8×6=48(cm2) 思路二:假设长和宽都增加2cm，根据以上结论，面积增加: 与题给条件24cm2相差8cm2这是因为长没增加2cm，只增加1cm，假设比实际多的部分的面积如图中阴影部分的面积。所以，原长方形的宽为8?1-2=26(cm)，长为28?2-6=8(cm)。 面积为8×6=48(cm2) 例3 如图，已知S阴影=6.28cm2，求空白部分的圆面积。 S圆=6.28×2 =12.56(cm,)根据: 结论——任意一个圆心角为90?的扇形面积，等于以这个扇形的半径为直径的圆的面积。 证明: 设有一圆心角为90?，半径为R的扇形。 则它的面积为 直径为R的圆的面积为 结论，得证。 13.特殊数题1 (1)21-12 当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。 因为这样的两位数减法，最低起点是21-12，差为9，即(2-1)×9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31-13=(3-1)×9=18。减数从12—89，都可类推。 被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如 210-120=(2-1)×90=90， 0.65-0.56=(6-5)×0.09=0.09。 (2)31×51 个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。 若十位数字的和满10，进1。如 证明:(10a+1)(10b+1) =100ab+10a+10b+1 =100ab+10(a+b)+1 (3)26×86 42×62 个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。 证明:(10a+c)(10b+c) =100ab+10c(a+b)+cc =100(ab+c)+cc (a+b=10)。 (4)17×19 十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。 原式=(17+9)×10+7×9=323 证明:(10+a)(10+b) =100+10a+10b+ab =[(10+a)+b]×10+ab。 (5)63×69 十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。 原式=(63+9)×6×10+3×9 =72×60+27=4347。 证明:(10a+c)(10a+d) =100aa+10ac+10ad+cd =10a[(10a+c)+d]+cd。 (6)83×87 十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如 证明:(10a+c)(10a+d) =100aa+10a(c+d)+cd =100a(a+1)+cd(c+d=10)。 (7)38×22 十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。 原式=(30+8)×(30-8) =302-82=836。 (8)88×37 被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。 (9)36×15 乘数是15的两位数相乘。 被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10;是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。 (10)125×101 三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125+1=126。 原式=12625。 再如348×101，因为348+3=351， 原式=35148。 (11)84×49 一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。 原式=8400?2-84 =4200-84=4116。 14.特殊数题2 (12)85×99 两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。 原式=8500-85=8415 不难看出这类题的积: 最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差; 最低位上的两位数，是100与被乘数的差; 中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。 证明:设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a?0)，则 如果被乘数的个位数是1，例如 31×999 在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。 71×9999=709999-70=709929。 这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a+1)的形式，由9组成的自然数可表示为 (10n-1)的形式，其积为 (13)1?19 这是一道颇为繁复的计算题。 原式=0.052631578947368421。 根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质， 可很方便算出结果。 原式转化为0.1?1.9，把1.9看作2，计算程序: (1)先用0.1?2=0.05。 (2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除 如此除到循环为止。 仔细分析这个算式: 加号前面的0.05是0.1?2的商，后面的0.05×0.1?1.9中0.05×0.1=0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。 除数末位是9，都可用此法计算。 例如1?29，用0.1?3计算。 1?399，用0.1?40计算。 15.顺推 例1 永明在去农安时速45千米的客车上发现第一块里程碑上的数是AB;过了1小时见第二块里程碑上的数是BA;又过了1小时，见第三块里程碑上的数是A0B。经研究很快明白了，这三块里程碑上的数分别是16、61、106。试说明算理? 思路一 BA与AB的差，只能是两位数或一位数。车匀速前进，B必大于A。A0B与BA的差必等于BA与AB的差，不会是三位数。 A只能是1，若是2以上的数，则A0B与BA的差肯定是三位数了。 由下表知: 思路二:由速度一定知BA-AB=A0B-BA。写成十进数，化简 (10B+A)-(10A + B)=(100A + B)-(10B+A) 10B+A-10A-B=100A+B-10B-A 9B-9A=99A-9B B=6A B是一位数，且只能是一位数。故A=1，B=6。A和B的数字确定了，其它随之出现。 例2 美国小学数学奥林匹克(1982,1983)第二次 2题:1个面包和6个鸡蛋价值1.80元，同样价格下，2个面包和4个鸡蛋价值2.40元。问1个面包多少钱。 由2个面包和4个鸡蛋价值2.40元，可知，1个面包和2个鸡蛋价值 2.40?2=1.20(元)。 又由1个面包和6个鸡蛋价值1.80元，知4个鸡蛋价值1.80-1.20=0.60(元)。 所以1个面包价值(2.40-0.60)?2=0.90(元)。 16.数字的双重作用 例 美国小学数学奥林匹克，第一次(1980年11月)题2:时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推。从1点至12点这12小时共敲了( )下。 由“首尾之和”知 例2 第二次(1980年12月)2题:如果全体自然数如下表排列，数到1000应在哪个字母的下面。( ) A B C D E F G 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17……………… ………………………… 1、2、3、4、5、6既是列的序数，又是对应列以下各数除以7的余数;而7既是列的序数，本列除以7余数为0。 1000?7=142余6 所以1000与6位于同一列，即在字母F的下面。 17.竖式填空之巧填除法例题1 奥数难题:竖式填空之巧填除法例题1 例1 一个三位数，其十位数字是0，且能被一个一位数整除;如果被另一个一位数除则余3。请填上所有适合的情况。 根据所有条件，全面分析，有序思考: 式(1)中，由除数与商的首位数之积是一个数字，知被除数的百位数字为1; 式(2)中，由余数是3，且除数与商的末位数的积是一位数和“余数必小于除数”，知除数只能为4、5、6，被除数的前两位数为10，除数只能为5，被除数的末位数字为8，这个数为108; 因为108能被2、3、4、6、9整除，但除数为2不符合式(1)的书写形式。答案为: 18.竖式填空之巧填除法例题2 例2 由第一乘积和第一余数，知除数是35;商的十位数字可能是6或4。 商是62不合题意，则除数是35，商为42。 例3 下式可整除，请在?中填进适当的数。 对比联想，逆向思考——转除为乘。 显然，A位只能为7。 B=5，是一定的。C只能是2，到此整个算式解开。 19.竖式填空之巧填除法例题3 例4 第五册数学思考题: 首尾观察: 观察式(1)，知商的百位上是6;再观察式(2)，知商的个位上是2。则被除数为4816。 例5 美国小学数学奥林匹克，第四次(1981年 2月)题 5:在右边的除法算式中，方格表示擦掉 的数字，A和B表示商的数字。求A和B的值。 A B A B 由B×5?=432，知B=8;进而知A×54=?6?，A=3。 20.竖式填空之巧填乘法例题1 奥数难题:竖式填空之巧填减法例题1 例1 式中的字母各代表什么数。 M不能大于3，如果是4、则4×4,16。也不能小于3，如果是2，则2×2,4，都不符合积的要求。M,3。 3×N,21，N,7;P,0。即 21.竖式填空之巧填乘法例题2 例2 空，并确定被乘数小数点的位置。 由积的末尾是“30”，知第一部分积为230; 积的最高位是“1”，第二部分积的最高上也为1; 被乘数和第二部分积都是三位数，根据第二部分积的最高位上是1，可确定被乘数和乘数的最高位上也都为1; 被乘数最低位上是“5”，而积的末尾是0，乘数的最低位上可能是2、4、6、8中的一个。由被乘数最高位上是1，第一部分积的最高位上是“2”，知乘数的最低位上为2; 乘数是三位数，而只有两个部分积，知乘数的中间一位上为0; 由被乘数最低位上是“5”，乘数的最低位上是2，第一部分积的末尾是30，知被乘数中间一位上为1; 由被乘数和乘数，求出第二部分积115，终积117.30; 最后，由乘数是一位小数，积有两位小数，知被乘数为一位小数。即右式 22.竖式填空之巧填乘法例题3 奥数难题:竖式填空之巧填乘法例题3 例3 国小学数学奥林匹克，1981,1982年试题: 下边乘法算式中，每个字母代表不同的数字，A不是零。A、B、C、D各代表什么数。 由C×C,C，知C只可能是1、5、6。如果C,1，乘积为原被乘数，与条件矛盾，C只可能是5或6，A只能是1。C,6无解。 C,5时，B,2或7。 如果B,2，则D,6; 如果B,7，则D,8。即 在右边算式中，每一个方格表示一个擦掉的数字，求最后的乘积。 由第一部分积个位上是2，十位上是8，知被乘数个位数字是6，十位数字是2; 根据第二部分积前两位数字是1、2，确定乘数的十位数字是3。 23.竖式填空之巧填乘法例题4 奥数难题:竖式填空之巧填乘法例题4 例4 下式中每个?号，都只表示某个素数(即2、3、5、7)，请你确定这个算式。 由素数数码构成的三位数与一位素数相乘，积仅是由素数码构成的四位数，只有四种: 325×7,2275 555×5,2775 755×5,3775 775×3,2325 进一步，不难得到 24.竖式填空之巧填减法例题1 奥数难题:竖式填空之巧填减法例题1 例1 册数学思考题:下面减法竖式中的字母，各代表什么数。 由被减数、减数和差的位数，可确定a,1，s,9;13,6,7，t,6。 c可能为9，但已借给个位数一个1，c,0;b可能是4，因为14—7,7，但b已借1给c，所以b,5。 25.竖式填空之巧填加法例题2 奥数难题:竖式填空之巧填加法例题2 例2 把下列算式中的符号?、?改写成数字，每种符号代表同一个数。 26.竖式填空之巧填加法例题3 奥数难题:竖式填空之巧填加法例题3 二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初试题:有一个四位数，在它的某位数字前面加一个小数点，再与这个四位数相加，得数2000.81。求这个四位数。 奥数难题:竖式填空之巧填加法例题3 由题意知，所求的四位数是整数，且个位、十位上的数字必定分别是1与8。 变换为下列算式: 易推得方框中的数字为1、9，从而再根据加小数点后的数与原四位数字组成相同，确定这个数为1981。 27.竖式填空之巧填加法例题2 奥数难题:竖式填空之巧填加法例题2 例2 把下列算式中的符号?、?改写成数字，每种符号代表同一个数。 28.竖式填空之巧填加法例题3 奥数难题:竖式填空之巧填加法例题3 二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初试题:有一个四位数，在它的某位数字前面加一个小数点，再与这个四位数相加，得数2000.81。求这个四位数。 奥数难题:竖式填空之巧填加法例题3 由题意知，所求的四位数是整数，且个位、十位上的数字必定分别是1与8。 变换为下列算式: 易推得方框中的数字为1、9，从而再根据加小数点后的数与原四位数字组成相同，确定这个数为1981。 29.竖式填空之巧填加法 奥数难题:竖式填空之巧填加法例题: 最大两位数的和,200，和的最高位只能是1，B,1; A，B?10，方可形成进位。 A,9，C,0。 30.学生何时相遇 一列长110米的火车，以每小时30千米的速度向北驶去，14点10分火车追上一个向北走的工人，15秒后离开工人，14点16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开学生。问工人，学生何时相遇, 点击查看答案 设工人速度每小时x千米, 0.11/(30-x)=15/3600,x=3.6千米/小时 设学生速度每小时y千米, 0.11/(30+y)=12/3600,y=3千米/小时 ----------------------------------------------- 如果都用小学算术方法解 求工人速度,15秒=1/240小时 工人速度=30-0.11/(1/240)=30-0.11*240=3.6千米/小时; 求学生速度,12秒=1/300小时 学生速度=0.11/(1/300)-30=33-30=3千米/小时 ----------------------------------- 火车14点10分追上工人，14点16分遇到学生, 火车行进路程30*6/60=3千米 从14点10分到14点16分,工人行进3.6*6/60=0.36千米 14点16分,工人与学生相距3-0.36=2.64千米 工人与学生需要2.64/(3.6+3)=0.4小时相遇 0.4小时=24分钟,即14点16分后24分钟, 14点40分,工人与学生相遇. 31.牛吃草 有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10 头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天, 【解析】这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。 把每头牛每天吃的草看作1份。 因为第一块草地5亩面积原有草量，5亩面积30天长的草,10×30,300份 所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300?5,60份 因为第二块草地15亩面积原有草量，15亩面积45天长的草,28×45,1260份 所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260?15,84份 所以45,30,15天，每亩面积长84,60,24份 所以，每亩面积每天长24?15,1.6份 所以，每亩原有草量60,30×1.6,12份 第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24,38.4份，原有草就有24×12,288份 新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288?80,3.6头牛 所以，一共需要38.4，3.6,42头牛来吃。 两种解法: 解法一: 设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为:10*30/5=60;每亩45天的总草量为:28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6每亩原有草量为60-1.6*30=12，那么24亩原有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42(头)。 解法二:10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15木，可以推出15亩每天新长草量(28*45-30*30)/(45-30)=24;15亩原有草量:1260-24*45=180;15亩80天所需牛180/80+24(头)24亩需牛:(180/80+24)*(24/15)=42头。 32.慢车的车速是多少 有三辆不同车速的汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人(这三辆车分别用3分钟，5分钟，8分钟分别追上骑车人(已知快速车每小时54千米，中车速每小时39(6千米，那么慢车的车速是多少(假设骑车人的速度不变), 分析 根据题意先画出线段图，如图5-2( 从图5-2可以看出，要求慢车的车速，只要求出慢车行8分钟的路程.慢车8分钟的路程等于路程ab加上路程be(ab表示三车出发时骑车人已骑出的一段距离，这段距离用快车行3分钟的路程ac减去骑车人行3分钟的路程bc得到，骑车人3分钟行的路程是多少，关键求出骑车人的速度，由图中可以看出，中速车行5分钟的路程ad减去快车行3分钟的路程ac恰好为路程cd，路程cd是骑车人5-3=2分钟行的路程，于是求出了骑车人的速度(be表示骑车人8分钟行的路程，也就容易求出，这样慢车的速度便可以迎刃而解了( 解:快车速度54千米,小时=900米,分钟 中速车速度39(6千米,小时=660米,分钟 (1)骑车人的速度 (660×5-900×3)?(5-3)=300(米,分钟) (2)三车出发时骑车人距三车出发地的距离 900×3-300×3=1800(米) (3)慢车8分钟行的路程 1800+300×8=4200(米) (4)慢车的车速 4200?8=525(米,分)=31.5千米,小时 答:慢车的车速为每小时31.5千米( 33.马吃草 20匹马72天可吃完32公顷牧草，16匹马54天可吃完24公顷的草(假设每公顷牧草原有草量相等，且每公顷草每天的生长速度相同(那么多少匹马36天可吃完40公顷的牧草, 分析:同例1一样，解这个题的关键在于求出每公顷每天新长的草量及每公顷原有草量即可( 设1匹马吃一天的草量为一份(20匹马72天吃32公顷的牧草，相当于一公顷原有牧草加上72天新长的草量，可供20×72?32=45匹马吃一天，即每公顷原有牧草加上72天新长的草量为45份(同样，由16匹马54天吃24公顷的草量，知每公顷原有牧草加上54天新长的草量为16×54?24=36份(这两者的差正好对应了每公顷72-54=18天新长的草量，于是求得每公顷每天新长的草量，从而求出每公顷原有草量，这样问题便能得到解决( 解:(1)每公顷每天新长的草量 (20×72?32-16×54?24)?(72-54) =0.5(份) (2)每公顷原有草量 20×72?32-0.5×72=9(份) 或16×54?24-0.5×54=9(份) (3)40公顷原有草量 9×40=360(份) (4)40公顷36天新长的草量 0.5×36×40=720(份) (5)40公顷的牧草36天吃完所需马匹数 (360+720)?36=30(匹) 答:30匹马36天可吃完40公顷的牧草( 34.计算器上的一与零 如果你只能按计算器上1与0两个数字键，请试试看你是否能用不同的方式得出其他的数字。 例如，要想得到120，你可以按下 第一种方式需要按键9次，其他两种方式只需7次，因此后两种是比较有效率的方式。 请用最有效率的方式，在计算器上得出下列数字: (1)77 (2)979 (3)1432 (4)1958 (5)2046 (6)15983 分析与解答: (1) 100-11-11-1= 按12次键 或 10-1-1-1×11= (2) 100-11×11= 按10次键 以这样的方式按键，有些计算器会得到-21，因此，最后的按法应该是: 100-11,×11 或 1000-11-10= 按11次键 (3) 11×,×11，101= 按12次键 (4) 100-11×11= 按14次键 (5) 1+111-= 按10次键 (6) 11，1×,×111-1= 按13次键 在你用计算器核对这些运算时，可能会得到不一样的答案。即使是同一牌号的计算器，同样的按 键次序也可能得到不同的答案，所以你必须彻底了解你所用的计算器。例如: a-b×c 有的计算器会把它当作是(a-b)×c，有的则当作是a-(b×c)。 35.交叉的梯子 在两栋房屋之间的巷道里有两个梯子靠在墙上。AB长8m，CD长10m。 两个梯子的交叉点距地面4m。请问这两栋房屋相距多远, 分析与解答: 这个题目历史悠久，但并不如想象的那么容易。 根据勾股定理，可得 AC2,102-a2=82-b2 因此 a2-b2,36 (1) 利用相似三角形的特性，可得: 重新整理(2)式得: 将b代入(1)式得: 整理之后得到下列四次方程式: a4-8a3-36a2，288a-576,0 用试误法，或是更复杂的数值分析法，可以得到: 9.25,a,9.255 因此 AC?3.8m 还有一个类似的问题，也是听起来简单，但实际去做却相当困难:用一条绳子把一只羊拴在一块圆形草地边缘的木桩上。如果羊只能吃到一半草地的草，绳子长度是多少, 36.使用计算器的能力 艾伦、贝蒂和卡罗想出一种游戏，来检验彼此使用计算器的能力。这个游戏是要用最有效的方式，在计算机上依序得出1到20的整数。这并不像听起来那么容易，因为他们规定，每次按下的数字必须依照大小次序，从1开始，而且不得重复。例如按下3之后，下一次必须按4。 游戏进行到求8时，各人的按法如下: 艾伦的按法是-1，2，3，4= 贝蒂的按法是1×23= 卡罗的按法是.1-2= 在求得某个数字时，按键次数最少的人得分;如果按键次数一样，则输入数字最小的人得分。以上面的情形为例，艾伦按了9个键，贝蒂和卡罗则只接了6个键。然而，卡罗只按了1和2两个数字，因此由他得到分数。 分析与解答: 这个游戏鼓励学生去探索计算器所具有的功能。例如，CASIO HL-807型计算器就有一种功能，在按下 1，,,,= 之后，会得到4，也就是按下n个等号键就会得到n。 使用记忆键也能得到类似的答案，不过这并不一定是最有效的方式。例如按下 1 之后会得到6，总共接了8次键。 但是按 1，2，3= 也会得到6，而只需按6次键。 或是按下 1×2×3= 或 1，2==(使用CASIO HL-807) 或 1，2= 都可以。 下面所列的是使用 CASIO fx-8100计算器按出1到20的方法，但不一定是最好的答案～ 按键次数 1:1 1 2:1×2 3 3:1，2, 4 4: 1×2×, 5 5:.1?2, 6 6:1×2×3, 6 7:1，2×3, 6 8:.1-2= 6 9:1+2,×, 6 10:.1 3 11:1-2，3×4, 8 12:.1+2= 6 13:1，23，4, 8 14:1×2，3×4, 8 15:.1?2×3= 8 16:1×2×,×= 7 17:.1×2-3= 8 18:1，2,×= 9 19:1×2×,×,，3, 10 20:.1×2, 6 37.飞镖游戏 由于飞镖游戏日渐流行，一个飞镖团体决定把称作“501分”的比赛稍作修改，使得它更具有挑战性。新的规定是每一回合的总分必须是质数才能列入记录。 每一回合，每一位参加比赛的人掷3支飞镖，每支飞镖可能得到的分数是1、2、3、…20，或是这些分数的2倍或3倍。如果飞镖射中“内圈”，可以得到25分，如果射中靶心，则得50分。如果飞镖没有射到靶盘，就算得0分。 例如某一回合的比赛，3支飞镖射中3倍20、2倍12和5分，那么总分就是89，是个质数，因此可以列入记录。如果每支飞镖都射中3倍30，虽然总分高达180，但因不是质数，所以不算。 3种可被列入记录的最高总分各是多少, 要想达到501分，最少要经过几个回合, 如果比赛必须掷出“2倍”分数后才能结束，那么参加比赛的人最少需投掷几支飞镖才可以获胜, 这个游戏的另一种玩法，就是从501分开始倒推，与每一回合总分的差是质数时才列入记录(此时每一回合的总分不必是质数)。 请证明，在第九支飞镖射中一个2倍分数后，就可使差为0。 分析与解答: 3种最高的分数是: 167,3倍20，3倍19+靶心 157=靶心+靶心+3倍19 151,3倍19，3倍18+2倍20 因为501=3×167，因此最少只需3个回合就可以得到501分，当然玩的人必须是位高手。 如果飞镖射中2倍分数区后才能结束比赛，那么这一回合就不可能得到167分，因此就需要进行第五回合。如果第四回合的分数是质数，那么它一定是奇数，这样 第五回合的得分也必须是奇数;又由于在第五回合必须得一个2倍分数才能结束，因此第五回合至少要掷2支飞镖。以14支飞镖得到501分的方法之一如下: 第一回合:3倍20，3倍19+靶心 167 第二回合:3倍20，3倍19+靶心 167 第三回合:3倍20，3倍20，7 127 第四回合:20，15，2 37 用9支飞镖使分数差为0，且每一回合总分的差均为质数的一种方法如下: 38.步步为营的战略 由图中的左上角开始，走过一个方格到达1，再走两个方格到达2，然后再走3个方格到达3，以此类推。行进过程中不得重复经过某一方格，最后要到达右下角的8。 只能直走或横走，不得沿对角线走。 请找出这样的路线。 分析与解答: 上面的答案是当初设计题目时的依据。显然用这些数字还可以排出许多其他的路线。利用不同方格的数字可以找到其他不同的答案，只不过这些答案绝非事先安排好的～ 解这类问题的重要步骤，就是要以充分的耐心，由路线两端有系统地推敲。要自行设计出一个类似的问题并不困难，而且很值得一试。 39.一座中古世纪的修道院 有一坐中古世纪的修道院围绕着正方形的中庭，中庭里有一口井，僧侣们都是从这口井中汲取饮用水。这口井的位置与3个相邻顶点的距离分别是30m、40m、50m。请问这个中庭有多大, 分析与解答: 中庭的边长大约是56.54m。 这个题目其实很简单，利用勾股定理、代数运算，再加上一个计算器，就能轻易地得出答案。由图可知: x2，(a-y)2,900 (1) (a-x)2，y2,2 50 (2) x2，y2,1 600 (3) (1)-(3)得 a2-2ay，700,0 (4) (2)-(3)得 a2-2ax-900,0 (5) 把由第(4)式和第(5)式所得的x、y代入第(3)式: a4-3 400a2+650 000=0 再把这个式子当作a2的二次方程求解 40.巧用数字来填空 请找出下列数列的规律，把数字填满，并写出16之后的下一个数字是多少, (1)1，-，7，-，-，16 (2)1，-，-， 7，-，16 (3) 1，-，-，-，7，16 还有哪些规则，可以在1与16之间填入4个数字, 分析与解答: 理论上会有无限多种可能，这个题目的目的是要强调有许多方式可以完成一个数列。 (1)1，4，7，10，13，16，19。每次加3。 (2)1，2，4，7，11，16，22。每次加的数比上次多1。 (3)1，6，3，10，7，16，13。前后项的差有两种:加上5、7、9、…，与减去3。 1与16的差是15，因此有一种产生数列的方法是找到某种形式的5个差，其差的总和为15。例如，1，6，1，6，1的总和是15，故可产生如下的数列: 1，2，8，9，15，16 再如，7，-3，7，-3，7的总和也是15，因此可以产生下面的数列:1，8，5，12，9，16 41.红宝石婚纪念日 为了庆祝红宝石婚纪念日，威廉和露西与全家人一起举行聚会。威廉回想起这段漫长的婚姻生活，追忆当年在学校因与“年轻的露西”同桌而坠入情网。环顾周围的家人，威廉又想到不知等到金婚纪念时，所有的家人是否还能聚在一起。就在这样的思绪起伏中，他突然发现他的年龄的平方与露西年龄平方的差，正好等于他们子女数目的平方。 请问当年威廉和露西结婚时，两人各是几岁,他们共有几个子女, 在西方，结婚40周年纪念日被称为红宝石婚纪念日。另外，在英国，法定结婚年龄为16岁。 分析与解答: 这个问题的数学基础是毕氏三元数组。由于是红宝石婚，所以威廉和露西的年纪应该在56岁以上。而且他们曾在学校同桌，两人的年纪差应该不会超过1岁。因此，综合已知的资料，可以说题目是要找出两个相差1的数字，其平方差是另一个数字的平方。 现在试试 612-602=112 852-842,132 两组答案看来都有可能。不过，第二组答案应该剔除，因为根据这组答案，威廉和露西40多岁结婚之后生了13个小孩。因此，威廉和“年轻的露西”结婚时，两人应为21岁和20岁，他们生育了11个子女。 42.巧记π的近似值 Sir，I bear a rhyme excelling In mystic force and magic spelling [size=+0] Celestial sprites elucidate [size=+0] All my own striving can’t relate. [size=+0] 这两段韵文都是为了相同的目的而作的。你知道究竟其目的何在, [size=+0]分析与解答: [size=+0] 这两段韵文都可以帮助记忆π的近似值。计算一下每个单词的字母数目… [size=+0]π,3.141 592 653 589 793 238 46… 43.小矮人与巨人之战 这是两个人玩的游戏。可以在纸上画出如下图的棋盘，也可以在木板上钻孔，用图钉作棋子，或是在木板上挖出凹洞，用小石头作棋子。 用3个棋子代表小矮人(D)，还要一个不同颜色或大小的棋子代表巨人(G)。开始时，各棋子的位置如图所示。小矮人先走，可以向下或向旁边移动到任何空 位。例如在开局时，最左边的小矮人可以向下移动到2号圆圈，或斜向移动到1号圆圈。巨人的走法与小矮人相似，不过它还可以往上走。 [size=+0] 这个游戏的目标是要使小矮人包围巨人，让它无法移动。 [size=+0] 想想看，是否有致胜的策略, [size=+0] 如果你将开局时棋子的位置作不同的安排，结果会如何, [size=+0]分析与解答: [size=+0] 由图上所示的位置开始，小矮人必须将巨人困在5号圆圈才能获胜，但只要走错一步，巨人就能闪身而过。 [size=+0] 如果由其他位置开始，对巨人会比较有利。例如，小矮人的位置仍然如图所示，但巨人却从1号圆圈开始，那么巨人将会获胜。 [size=+0] 看看你能否发现从哪些位置开始可以保证小矮人会赢(只考虑正确的走法)，而哪些位置对巨人有利。 44.平方数25的特性 1)平方数25有种特性，把它的每位数都加 1之后成为36，还是一个平方数。只有一个四位数的平方数具有相同的特性，请问它是多少, (2)一个二位数ab，它的平方与ba的平方的差也是一个平方数。请问这个数字是多少, (3)两个平方数的和与另两个平方数和的乘积，一定是两个平方数的和。例如: (12，22)×(22，32),65,42，72 请问这个叙述是否正确, 分析与解答: (1)2 025,452 3 136,562 2 025，1 111,3 136，而且45，11=56 (2)652-562,332 (3)这个平方数的关系可用下式表示: (a2，b2)(c2，d2),(ac+bd)2，(ad-bc)2 或是 (a2，b2)(c2，d2),(ac-bd)2，(ad，bc)2 如果你了解复数的观念，那么就可以知道这些等式是由下面的式子推算出来的:(a，ib)(c+id),(ac-bd)，(ad，bc)i (a-ib)(c+id),(ac，bd)，(ad-bc)i 45.可能性的深入了解 请将1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字排列成某种次序，使得: 前两位数可被2整除 前三位数可被3整除 前四位数可被4整除 以此类推，直到9为止。 排成 123 654 987看来好像有希望，因为 12可被 2整除 123可被3整除 1236可被4整除 12 365可被5整除 123 654可被6整除 但可惜，1236 549无法被7整除。再试一次吧～ 分析与解答: 这个题目能使你增进对数字“可除性”(divisibility)的了解。例 如，5一定是在中间位置，因为利用1、2、…9所构成的数字的前五位数，没有其他方式可以被5除尽。因为所有数字的总和是45，所以无论这些数字如何排 列，都可被9除尽。因为前六位数要被6整除，所以前面6位数字的和必须可被3除尽，而且第六位数必须是偶数。同时，还必须使偶数作间隔排列，如此才能被 2、4、6、8所整除。 上述的分析很有帮助，不过要找到能被7整除的数，还是需要试误演算。 唯一的答案是:381 654 729。 但是在这里要提醒你，不要太依赖计算器。因为如果你的计算器只能显示8位数，那么963 258 147看起来就会像是一个答案，因为计算器上会显示出96 325 814可被8整除;但这是不可能的，因为814不能被8整除。 46.乘积与原来的数顺序相反的数字 你是否能找出一组数字，当乘上9时，所得的乘积与原来的数字正好顺序相反。 等你找到这组数字所具有的共同形式之后，再试试看你是否能找到乘以4之后会顺序相反的数字。 分析与解答: 如果 abc…k×9,k…cba，那么很容易就可以看出 a,1，k,9，因为任何其他的a都会产生进位，使乘积比原来的数字多一位。 但是19×9?91，因为个位数9乘上9时会有进8的情形。 考虑1b9×9，显然由于会进位，所以结果不会等于9b1。 再考虑 1bc9×9,9cb1 可以发现当b,0，c,8时，能够符合题目的条件。 1 089×9,9801 这是四位数中唯一的答案。 接着的3组答案是: 10 989 五位数 109 989 六位数 1 099 989 七位数 此时数字的形式已呼之欲出。八位数的答案则有两种: 10 999 989和10 891089 九位数的答案有: T109 999 989和108 901089 十位数有3种答案: 1 099 999 989 1 089 001 089 1 098 910989 这些数字都是从已知的答案而来，任何位数的数字都可以依照以上的规则找出答案。 乘以4之后会顺序相反的数字，与上述这些数字的关系非常密切。事实上，就是上列数字的两倍。 1 089×2,2 178 而 2 178×4,8712 10 989×2,21 978 而 21 978×4,87919 以此类推。 47.趣味的井字游戏 这个游戏类似井字游戏，在设计时可以针对各种不同的运算方式，以及不同的难易程度作灵活运用。 如图的这个例子是4×4的数字方阵，其中的16个数字是由A,(23，42，19，36)与B,(17，28，5，12)中各挑出一个数字相乘的乘积所构成。由于填入的方式并不规则，因此这是随机的排列。 [size=+0] 玩的人轮流从A及B集合中各挑出一个数字，用计算器算出这两个数字的乘积，然后在写有答案的方格上画上记号。先使3个记号连成一直线的人赢。 [size=+0] 为了节省重新写上这些数字的时间，可以准备一张画好4×4空格的纸，以?或×的符号标记计算出的乘积的位置。 48.收藏毛毯的木箱 彼得到木材行买合成板，打算做一个长方体的木箱收藏毛毯。如果要切一块完整的合成 板，价钱很贵，但如果买已经裁切下来的剩余材料就很便宜。彼得在剩余材料堆中用心寻找，终于找到3块合成板正好符合他的要求。其中一块正好做箱底与一个长 侧面;另一块裁成两块正好做一个长侧面和一个短侧面;第三块可以做盖子和剩下的一个短侧面。木材行的老板丈量这3块合成板的面积(以便计算价钱)，分别 是: 6048cm2，4563cm2，4995cm2 合成板的厚度不计，请问这个木箱的尺寸是多少, 分析与解答: 木箱的尺寸可以用试误法求得，也可以通过下列系统的分析求出。 假设木箱尺寸如图所示为a、b、c，并假设3块合成板的面积分别是X、Y和Z， 49.重修一座早已倾颓的古庙 一群历史学家在经过多年的资料收集与研究之后，有意重修一座早已倾颓的古庙。他们知道其中一 个大厅较长的那面墙贴的是橡木壁板，面对房门的墙面挂着来自法国的织锦，地板上则铺着名贵的波斯地毯。他们知道这些装演的设计细节与颜色，也知道橡木壁 板、织锦和地毯的面积分别是648m2、388m2和1296m2。可是他们查遍资料，就是找不到这个大厅的尺寸。你能帮帮他们吗, 分析与解答: 答案为 54m×24m×12m。 假设这个大厅的长、宽、高分别是a、b和c，那么 ac,648 bc,288 ab=1296 50.安妮的圣诞礼物 安妮的圣诞礼物是一盒积木。每块积木都是边长5cm的立方体，所有的积木装满一个也是立方体的盒子。就像其他小孩一样，安妮对堆积木很感兴趣。 她把积木倒出来，先搭起一个大的立方体，然后在它的上面再搭了一个较小的立方体，接着又搭了一个更小的立方体。安妮站起来，发现这个塔还是没她高，这令她 有点失望，不过，她因为能把所有的积木都用掉而感到很得意。 这个塔有多高, 分析与解答: 安妮把堆成一个大立方体的积木，重新堆成3个立方体，唯一可能的情况是，3个立方体的每边分别为5块积木、4块积木和3块积木，装积木的盒子则是每边为6块积木。这是因为 33，43，53,63 没有其他合理的数字能符合这个条件。 因此塔高应该是12块积木的高度，也就是60cm。 51.应付多少钱的邮费, 秘书小姐在下班前为一大堆邮件贴上邮票。她有许多邮票，但是面额只有两种，她不知道是否能正确组合这些邮票而得到应付的邮资。不过经验告诉她，虽然以这些邮票无法组合出39元的邮资，但是却可以组合出其他较高额的邮资。假设邮票的面额都是整数，请问面额可能是多少, 分析与解答: 这个题目与“可能达到的分数”有异曲同工之处。 令 mn-m-n,39 则 (m-1)(n-1),40 所以 (m-1)(n-1),1×40或2×20或4×10或5×8故可能的m、n组合 (m，n),(2，41)或(3，21)或(5，11) 或(6，9) 其中(3，21)和(6，9)很显然是不正确的，因为可以组合出39。 然而，无论是以面额2元及41元，或是5元及11元的邮票，在无法组合出的邮资中，金额最高的都是39元。因此这两组答案都是正确的 52.共有多少个是质数 产生包含1、2、3、…9且每个数字只出现一次的数，是很有趣的一件事。可是由于大多数的计算器只能显示八位数，因此在计算下面这些题目时，恐怕不是光靠按键就可以完成的。 请完成下列计算: 118262, 193772, 125432= 196292= 156812, 231782, 180722, 290342= 事实上有83个数字的平方包含1、2、3、…9且每个数字只出现一次。如果你会使用电脑，也许你可以设计程序找出它们。 现在试着完成下列计算: 11 1132-2002, 31 1112-2002, 11 1152-2942, 191 1612-188 5602= 用 1、2、3、…9且每个数字只用一次，可以产生362 880个不同的数字，其中有多少个是质数, 解答与分析: 11 8262,139 854 276 9 3772,375 468129 12 5432,157 326 849 9 6292,385 297641 15 6812,245 893 761 23 1782,537 219684 18 0722,326 597 184 9 0342,842 973156 将这些数字平方，在你的计算器上可能只会正确显示出前面七位数。再平方最后两位数，就能得出乘积的最后两位数。 用同样的方法计算平方数的差，或利用a2-b2,(a，b)(a-b)。 11 1132- 002,123 458769 11 1152 942,123 456789 31 1112- 002,967 854321 191 1612-188 5602,987 654321 因为1，2，3，4，…，9,45，而45可被3整除，因此所有的这些数字都是3的倍数，所以它们没有一个是质数。 53.狐狸和乌鸦的游戏 这是两人玩的游戏，十字架形的棋盘。你需要17个筹码代表鹅，摆在图上标有G的位置。还要有一个不同颜色或大小的筹码代表狐狸，摆在中央标有F的方格。 鹅每次可以移动一格，向左、向右、向下都可以，但不能走对角线，也不能向上。 狐狸每次移动一格，上下左右都可以。如果有一只鹅在它面前，而这只鹅旁边的方格是空的，那么狐狸就可以跳过鹅，并把这只鹅吃掉。 鹅要想办法把狐狸困住，使它无法移动;而狐狸则要尽量吃掉鹅，并避免被困住。 游戏开始时，由鹅先走。 请试着找出致胜的策略。 54.逻辑数值(聪明人都在做的思维游戏15) 空缺处的逻辑数值是多少, 空缺处的逻辑数值是多少, 55.字母游戏(聪明人都在做的思维游戏14) 下面的图形可以折叠出a、b、c、d、e、f六个选项中的哪一个, 56.九宫格游戏(聪明人都在做的思维游戏13) 你能算出最后一个六边形中缺少什么数字吗, 57.三角形填数游戏(聪明人都在做的思维游戏12 想一想，问号处应该填上什么数字, 58.数字游戏(聪明人都在做的思维游戏11) 猜猜看，问号处应该填入哪个图形, 59.巧填正方形(聪明人都在做的思维游戏5) “,”所在的位置应该填入选项中的哪一个长方形, 60.趣填字母(聪明人都在做的思维游戏5) 猜一猜，在,的地方填入哪一个字母可以完成这道谜题, 61.巧填数字(聪明人都在做的思维游戏8) 将数字1,9放进数字路线中，使得各等式成立。想想都应该填写什么数。 62.移动火柴(聪明人都在做的思维游戏7) 怎么样才能只移走两根火柴,使现在的图形保留四个正方形. 63.解剖图形(聪明人都在做的思维游戏6) 即使你无法看到这个不规则立方体图形的全貌,你也依然能剖面中哪一个是不可能出现的呢?够在心中 精确地勾画出它的外观.如果从不同方向进行观察,下面这四个剖面中哪一个是不可能出现的呢? 64.垒砖墙(聪明人都在做的思维游戏5) 如果下面这个建筑四面都很完整,那么它总共用了多少块砖呢? 65.拼木块(聪明人都在做的思维游戏4) 有一块木板,突出的一角是一个小正方形,每边长1厘米,同他相连的一个中正方形,其面积是16平方厘米,这个中正方形又同面积为64平方厘米的大正方形相连.大,中,小三者合计,面积正好是81平方厘米. 现在打算把这块木板做成一个9乘9的正方形遮窗板.请问应该怎样锯木板才能拼出正方形.当然,块数锯得越少越好. 66.找图形(聪明人都在做的思维游戏3) 找找看，哪个图形适合填在空白的部分, 67.椭圆填数(聪明人都在做的思维游戏2) 同学们，应该在最后一个椭圆里填什么数字, 68.巧填环形图(聪明人都在做的思维游戏一) 考考你:你能想出在,处填上什么数字后可以完成这个环形图吗, 69.双胞胎的秘密 49要乘上多少才能得到4949, 38要乘上多少才能得到383838, 请找出4个质数，它们与一个二位数ab相乘所得的乘积为ababab。研究一下，一个二位数ab与73×101×137的乘积会是多少。 答案与分析: 49× 101,4949 38×10 101,383838 10 101=3×7×13×37 因此任何二位数ab乘以3，再乘以7，再乘以13，再乘以37，都会得到ababab。 73×101×137,1 010101 因此ab乘上这些数字之后，会得到abababab。 70.魔数的性质 写下任意三位数abc，重复数字使之成为六位数abcabc。 将这个数除以13，余数忽略不计。 将所得的商除以7，余数忽略不计。 最后再除以11。 你注意到什么了吗,请解释这个现象。 答案与分析: 任何具有abcabc形式的六位数，都相当于1 000×abc，1×abc，也就是1 001×abc。由于1 001,13×7×11，因此不会有余数。 71.质数幻方趣味题 请找出适当的质数填入空格内，使每一行、每一列，以及对角线上的数字和都相等。 研究其他3×3的质数幻方。用不超过300的数字所组成的幻方中，数字和最小的是多少, 答案与分析: 解答如下所示。只要知道幻方中每行、每列及对角线的数字和是中央数字的3倍，就能轻易解出这个题目。 要想找出其他的质数幻方，首先要把所有的质数(例如300以下的质数)列表，然后再分析数字的形式，使之能符合幻方的条件。 上面第二个方阵是笔者所排出的数字和最小的幻方，如果你能找到更小的，笔者很乐意知道。记住，1不是质数。 72.显示器上错误的数字 某个计算器显示屏的电路出了毛病，所以每次应该显示x数字，出现的却是y数字。除此之外，这个计算器的功能都还正常。使用这个计算器做运算，结果如下: 5672+7747,12975 279×767,87717 这些数字都是在显示屏上看到的。 请问哪一个数字是错误的,它应该是哪一个数字, 答案与分析: 在那两道算式中，只有0和3没有出现。从第一道算式的个位数判断，可能3被7所取代，经过验算得知事实的确如此。 原来的算式应该是: 5 632+7 343,12975 239×367,87713 73.俄罗斯幻方 要把从1到16的数字排成幻方并不容易。不过你可以用下面介绍的方法，轻易地设计出幻方。 从左上角开始，把数字依序填入，如图1。 要排成幻方，每一行、每一列以及对角线上的数字和必须等于34。经过检查，我们发现对角线上的数字，如图2中圈起者，已经符合这个条件，不过每一行与每一列的和并不正确。再把不在对角线上的各个数字，与其斜相对的数字交换位置，如图3，就可以完成幻方，如图4。 换一种方式，如果把非对角线上的数字留在原位，而把对角线上的各个数字与其相对的数字互换，也可以排成幻方，如图5，这等于把图4的幻方旋转180?。 答案与分析: 这个题目是研究如何变换才能使幻方仍保持其特性，它还可以使你进而获得集体变换的观念。但是在某种程度上，它只是为了引起读者寻找更多幻方的兴趣，井借此激发读者研究的热情。 74.俄罗斯乘法原理 据说从前俄罗斯的农民使用过一种乘法，只需要用到2的乘除表。其方法是有系统地将被乘数除以2，同时将乘数乘以2。例如，要求39和79的乘积。 由39和79两数开始，左列的数字是把39除以2，不计余数，得出的数字再除以2，直到商数是1为止。右列的数字则是把79乘以2，得出乘积再乘以2，直到所对应的左列数字是1为止。 最后，由右列数字中挑出所对应的左列数字为奇数者(图中箭头所指)，再把这些数字加起来。这个和就是所要的答案。 39×79,79，158，316+2528,3081 用其他的数字试试这个方法，再用计算器核对答案是否正确。 你能解释这个方法的原理吗, 答案与分析: 这个方法的原理是，把被乘数减半以及挑选出奇数的数字的过程，实际上就是把被乘数转换为二进位数字的过程。 以例题中的39为例，每一次除以2所留下的余数由上而下分别是1、1、1、0、0、1。而39可 以写成 39,25，0×24，0×23，1×22，1×21，1 ,100111(二进位数) 因此39的二进位表示法就是以相反的次序排列余数。 39×79,(25×79)，(22×79)，(2×79)，(1×79) ,2 528+316+158+79 75.生日是哪一天 也许你知道你的生日是星期几，不过一般人大概都不知道自己的生日是星期几，即使父母也可能早就 忘记了，而只记得是在几月几日。你想知道自己是在星期几出生的吗, 如果你有足够的耐心，可以仔细地推算回去，不过不要忘了每4年一次的闰年。这样做恐怕要花 不少时间，下面我们提供较简单的方法: (1)Y代表你出生的年份。 (2)D代表你生日是在一年中的第几天。 (3)计算X,(Y-1)/4，忽略余数。 (4)计算 S,Y，D，X。 (5)把S除以7，记下余数。 从下表你就可以查出你的生日是星期几。 下面举例说明:某人生于1960年6月6日。 (1)Y,1960 (2)一月有31天 二月有29天(因为1960年是闰年) 三月有31天 四月有30天 五月有31天 六月有6天 D,158 (4)S,1960，158，489=2607 (5)2607?7=372余3 查表格，余数3表示此人的生日是在星期一。 当你为自己、家人及朋友算出生日是星期几之后，你能解释这个方法的原理吗, 答案与分析: 一般人通常对于与自己有关的事比较感兴趣，因此这个题目应该颇受欢迎。计算过程中较易犯错的地方是算错D的天数。对于一个一月出生的人，计算过程就简单得多了。 要了解其中的道理，首先要知道例如今年的元旦是星期日，去年的元旦就是星期六(其他日子也是如此)，也就是要往前推一天，但是闰年就要往前推两天。Y表示自公元元年起的年数，X则代表所有的闰年数，因此X，Y就表示自公元元年开始，某天是星期几所往前推的天数。这个方法是先知道公元元年1月1日为星期五，并且有效地算出某天在当年是星期几，而且经过这些年它应该改变了多少。 事实上，这些年来历法已经有了相当大的改变，但是这个方法对于本世纪中的生日还是正确的。 74.加加减减的错位问题 我们在计算两个数字相减时，经常会遇到必须向前一位数借1的情况。其实并不是非借位不可。下面所讨论的补数加法，就是每个数字都用9来减，因此不会涉及借位的问题。 例如我们想计算573减489，可以不用借位，计算过程更轻松。先用999减去489得510，再将510加上573得 1083，忽略千位数1，而在个位数加1，就可以得到最后的答案84。 最后，83+1=84。 下面再举一个例子说明这种方法: 最后16677+1=16678 用传统的减法或计算器核对这两个答案，再自己出题试试这种方法。 现在请你解释为什么这个方法可行。 答案与分析: 这个方法可行的原因，可由下面的式子清楚地证明: 573-489,573，(1 000-1 000)-489 =573，(999，1-1 000)-489 ,573，(999-489)，1-1000 这个方法与电脑做减法运算的方式很类似，只是电脑是以二进位数字储存各运算值，因此电脑不是用一连串的“9”减去某数，而是用一连串的“1”。 做这样的运算非常简单，因为运算的结果就是把原来的“1”变成“0”，“0”变成“1”，例如1111-1011=0100。 75.八旬老人的真实年龄 有位八十多岁的退休数学老师，整天拿着他十几岁的曾孙女送给他的计算器玩。他发现自己年龄的两个数字的立方差，刚好等于曾孙女年龄的平方。他们两人各是多少岁, 分析与解答 83-73,512-343,169,132 这位退休的数学老师87岁，他的曾孙女13岁。 76.汽车进口商 一批进口小汽车刚由货船上卸下，停放在码头边。汽车进口商在核对过车型之后，就到海关办公室完成必要的手续。他在那里发现这批汽车原价的总和是1111111英镑，这个数字令他觉得十分有趣。 这种汽车的原价是多少(为整数),一共有多少辆车, 分析与解答 由于1 111 111是两个质数的乘积:4 649和239，因此有239辆车，每一辆为4 649英镑。当然，4 649辆车每辆239英镑，理论上也说得通，但却不切实际。 77.需要三思而后行的题目 (1)100kg的羽毛和100kg的煤炭，哪一个比较重, (2)地上有一个长6m、宽2m、深6m的大洞，请问洞内泥土的体积是多少, (3)有一艘船在港口外下锚停泊。为了方便参观的人上下船，船舷外吊挂着一条绳梯。绳梯每级的距离是30cm。在上午10时，绳梯有12级露在水面上。潮水上涨的速度是每小时60cm，因此市长把登船参观的时间延迟到下午1时，她认为这样就可以少爬几级绳梯。假设潮水上涨的速度保持一定，而且市长也准时到达，请问她到底需要爬几级绳梯, (4)一个羽毛球拍和一个球要128元，球拍比球贵120元，那么一个球要多少钱, (5)有位农夫的玉米田里野兔肆虐。一天晚上，他带着猎枪去田里捕杀野兔。到了田里，他发现有13只野兔正在啃食他的玉米，于是开了一枪，一只野兔中弹身亡。请问田里还有几只野兔, 如果你从来没有见过类似的题目，很可能会被骗～ (1)都是100kg，所以一样重。 (2)“洞”里是没有泥土的。 (3)船也会随着涨潮而上浮，因此市长还是得爬12级绳梯。 (4)是4元，不是8元。 (5)一只野兔，死掉的那一只 78.谁的答案是错误的, 有位数学老师为了让班上同学练习使用计算器，出了一道联立方程要大家求解。 35.26x+14.95y,28.35 187.3x+79.43y,83.29 他自己并没有亲自计算过这道题目，因为他是从参考书上抄下来的，因此他已经知道答案了。但他在抄题时看错了一个系数，把书上的14.96写成14.95。在讲课时，他发现了这个错误，但是心想反正只相差这么一点点，应该没什么影响。 然而，当学生交出答案时，他发现每个人的答案都一样，但与书上的标准答案却有很大的差距。这时他才开始针对两种情况，亲自求出解答。他会发现什么,书上的答案错了吗,学生的答案错了吗, 分析与解答 这就是数学上所谓的“病态方程”(ill-conditioned equation)。如果照老师所出的题目，答案是: x,1 776 y,4186 但若依照参考书上的原题，答案应是: x,-770 y,1816 把两个方程式看成是两条直线，则两者的斜率非常接近:-2.358 5和-2.358 1，只差0.000 4。因此其中一条直线斜率的微小变化，会对两者的交点产生重大影响。 79.一场慈善的马拉松比赛 有位长跑选手要为一家慈善机构募款，过去的方式是她每跑完一英里，就请赞助人捐出一个固定数字的钱款，譬如捐3角。这次她想到一个聪明的办法，可以大大提高募款的金额。她告诉所有的赞助人，长跑时越到后来越难跑，因此赞助方式应改为第一英里1角，第二英里2角，第三英里4角，以此类推，每多跑完一英里，赞助金额就加倍。 这个论点似乎很合理，但是当她跑完马拉松后打电话给赞助人时，每个人听到赞助金额后都大吃一惊。为什么,(马拉松全长26英里。1英里=1.609千米) 分析与解答 每一位赞助人捐款的金额为: (1，2，4，8，16，…，225)角 大约等于6 710 886元，或是平均每一英里258 111元。但愿这些赞助人都是百万富翁。 80.数学博士的法眼 数字博士总是能一眼看出数字之间的关系。举例来说，她注意到她的门牌号码和两位朋友的门牌号码正好是3个连续的质数，而且乘积就是她的电话号码。 数字博士住在两位朋友的中间，她的电话号码有5位数，第一个数字是6。 请找出数字博士的门牌号码及电话号码。 答案与分析 37×41×43,65231 因此数字博士的门牌号码是41，电话号码是652 31 81.有趣的回文日期 1982年9月28日，一位广播评论员在节目中提到，如果把当天的日期缩写成28.9.82，就成了有趣的数字回文。遇事喜欢追根究底的苏珊听过节目之后，也想去研究这一类回文日期的分布情形。她很快就得出结论，某些年份会比其他年份有更多的回文日期，她还找出本世纪中最接近的两个回文日期。你知道苏珊的研究结果是什么吗, 分析与解答 在1982年，除了10月和12月之外，每个月的28日都会形成回文日期，例如28.6.82。此外，1982年2月8日(2.8.82)也是回文日期，因此1982年共有11个回文日期。之后的年份回文日期都很少，而1983年只有3.8.83一个回文日期，直到9.8.89为止，每年都只有在8月的一天会形成回文日期。 把同一月份或相邻月份的二位数日期与一位数日期并排在一起，比较容易找出相近的两个回文日期。 例如，1.2.21与之后的12.2.21，以及22.1.22与之后的2.2.22，两者的间隔都是11天。因此更接近的日期应该是: 29.8.92 与 2.9.92 其间隔只有4天。 82.世界七大数学难题之——BSD猜想 千年难题”之七:贝赫(Birch)和斯维讷通,戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想 数学家总是被诸如x2+y2=z2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通,戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。 83.世界七大数学难题之——杨,米尔斯理论 千年难题”之五:杨,米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口 量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨,米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。 84.世界七大数学难题之——纳卫尔,斯托可方程 “千年难题”之六:纳维叶,斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性 起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶,斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶,斯托克斯方程中的奥秘。 85.世界七大数学难题之——黎曼假设 千年难题”之四:黎曼(Riemann)假设 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2、3、5、7……等等。这样的数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。 86.世界七大数学难题之——庞加莱猜想 千年难题”之三:庞加莱(Poincare)猜想 如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而 轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。 在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里?佩雷尔曼在arXiv.org发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。 在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯?克莱纳和约翰?洛特;哥伦比亚大学的约翰?摩根和麻省理工学院的田刚;以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。 2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。 87.世界七大数学难题之——霍奇猜想 “千年难题”之二:霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广;最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。