题 是双曲线 上的一点, 为双曲线的焦点,求 的内心的轨迹。
22xyPFF,,PFF,,1题 是双曲线 上的一点, 为双曲线的焦点,求 的内心121222ab
的轨迹。
,PFFIxy(,)FFDx(,0)解 设 的内切圆圆心为 ,内切圆与 的切点为 。 1200120
P根据内切圆的性质(证明见另一帖子),当 在双曲线的右支上时,有
2()()2xcxcxFDFDPFPFa,,,,,,,,,xa, ,即有 。 00021210
,PFF可见,这时 内心的轨迹在直线 上。 xa,12
但是,内心的轨迹并不一定是整条 直线。 xa,
PPFPF当 点沿双曲线右支的上部趋向无穷远时, 与 的极限位置,是两条从 12
b,PFFFF, 出发、与双曲线渐近线 平行的射线。 的内切圆变成一个与 yx,1122a
I 轴和两条平行的射线相切的圆。内切圆心 到两条射线的距离相等,这时可以看x
bI出,它正好在双曲线的渐近线 上。因为内心 同时又在直线 上,所xa,yx,a
b以内心的极限位置是渐近线 与直线 的交点,即 点。 (,)abxa,yx,a
P由双曲线对称性可以看出,当 点沿双曲线右支的下部趋向无穷远时,内心的极
P限位置是 (,)ab, 。当 在双曲线的左支上时,内心的轨迹在直线 上。当 xa,,PP 点沿双曲线左支的上部趋向无穷远时,内心的极限位置是 (,),ab 。当 点沿双曲线左支的下部趋向无穷远时,内心的极限位置是 (,),,ab 。
xa,xa,,,,,PFF总之, 的内心的轨迹是 和 这样两段线段。 ,,12,,,byb,,,byb,,