题 是双曲线 上的一点, 为双曲线的焦点,求 的内心的轨迹。

是双曲线 上的一点, 为双曲线的焦点,求 的内心的轨迹。 22xyPFF,,PFF,,1题 是双曲线 上的一点， 为双曲线的焦点，求 的内心121222ab 的轨迹。 ,PFFIxy(,)FFDx(,0)解 设 的内切圆圆心为 ，内切圆与 的切点为 。 1200120 P根据内切圆的性质(证明见另一帖子)，当 在双曲线的右支上时，有 2()()2xcxcxFDFDPFPFa,，,,,,,,,xa, ，即有 。 00021210 ,PFF可见，这时 内心的轨迹在直线 上。 xa,12 但是，内心的轨迹并不一定是整条 直线。 xa, PPFPF当 点沿双曲线右支的上部趋向无穷远时， 与 的极限位置，是两条从 12 b,PFFFF， 出发、与双曲线渐近线 平行的射线。 的内切圆变成一个与 yx,1122a I 轴和两条平行的射线相切的圆。内切圆心 到两条射线的距离相等，这时可以看x bI出，它正好在双曲线的渐近线 上。因为内心 同时又在直线 上，所xa,yx,a b以内心的极限位置是渐近线 与直线 的交点，即 点。 (,)abxa,yx,a P由双曲线对称性可以看出，当 点沿双曲线右支的下部趋向无穷远时，内心的极 P限位置是 (,)ab, 。当 在双曲线的左支上时，内心的轨迹在直线 上。当 xa,,PP 点沿双曲线左支的上部趋向无穷远时，内心的极限位置是 (,),ab 。当 点沿双曲线左支的下部趋向无穷远时，内心的极限位置是 (,),,ab 。 xa,xa,,,,,PFF总之， 的内心的轨迹是 和 这样两段线段。 ,,12,,,byb,,,byb,,