关于半正定矩阵的广义Schur补的扰动分析

关于半正定矩阵的广义Schur补的扰动分析 2006年11月 N0v.2oo6 华南师范大学(自然科学版) JOURNALOFSOUTHCHINANORMALUNIVERSITY (NATURALSCIENCEEDITION) 2006年第4期 No.4,2006 文章编号:1000—5463(2006)04—0021—05 关于半正定矩阵的广义Schur补的扰动分析 莫荣华,董李娜 (华南师范大学科学学院,广东广州510631) 摘要:研究了半正定矩阵的广义Schur补的任意扰动,给出了广义Sehur补在谱范数下的绝对扰动 界,改进并推广了以往的结果. 关键词:广义Schur补;谱范数;绝对界;扰动 中图分类号:0241.6文献标识码:A oNTHEPERTURBATIoNoFGENERALIZEDSCHUR CoMPLEMNTFORPoSrrI,,】SEM?’EFrrEMATR? MORong—hua,DONGLi—na (SchoolofMathematics.SouthChinaNormalUniversity,Guangzhou510631.China) Abstract:AnarbitraryperturbationofgeneralizedSchurcomplementforpositivesemidefi— nitematrixisstudied.Thenaperturbationboundofthematrixunderthespectrumno1Tllis presented,whichimprovesandgeneralizesthecorrespondingresultsinthereferences. Keywords:generalizedSchurcomplement;spectralnorm;absolutebound;perturbation 自从1917年SCHUR…首次定义了Schur补后,Schur补的研究有了 重要的发展],特别 是在数值分析和应用数学中有相当重要的作用.最近,许多学者研究 了广义Schur补. /AB--1, 设分块矩阵P(,c1),则A在P中的广义Schur补为s=c一ABz,其中,A’ 示 Moore—Penrose逆.若A是可逆的方阵,则A’=A,,此时称 S=C—BlA—B2为A在P中的 Schur补. 由于广义Schur补在数学各领域中,特别是在数值分析和数理统计学 中有重要应用.许多 学者在这方面做了大量工作,例如,见文献E4]9].最近,文献[2],[1O]和[11]研究了广 义Schur补的各种性质,并给出了基于广义Schur补的求解线性方程组的Gauss分解方法.用 ? II表示矩阵?的谱范数,STEWART[】研究了Schur补的扰动,给出了如下扰动界: 定理A设P=(三)半正定,A正定,且P扰动为 收稿日期:2005—12—21 基金项目:广东省自然科学基金资助项目(31496);广东省高校自然科学基金资助课题 作者简介:莫荣华(1981一).男,广东清远人,华南师范大学数学科学学院2006级博士研究生,Email:mrh1999@tom.corn. 22华南师范大学(自然科学版)2006平 户=(A:BT+. FT)BFCG/;(苎B1/,\+.C 这里E是对称的.令扰动满足llll?llAIFll<-~lIBIl,lIGIl?占lIcl I),因为是半正定的,所以存在某个矩阵,使得=AT, 第4期莫荣华等:关于半正定矩阵的广义Schur补的扰动分析23 = (一)()(一.A*B)=(c一), 即与f01合同,它们有相同的惯性.所以c—tt半正定.即与(口 c—BA*BT)合同,它们有相同的惯性?所以c—BA半正定? 引理2?2设P=()半正定,~tdllII?IIAIlllcII. 证明令X和Y是满足llll=j,Bx的单位向量.则 (‘)(三)()=,(xTAxx~Bc5,I 是半正定的,它有非负的行列式.所以, llBll:(yTBx)?(TA)(vcy)?ll4Cl1. 引理3?设A?C,=A+.则=()’.E’.从而Illl?lll1. 2主要结果和证明 以下给出本文的主要结果. 定理1设P:(三)?R半正定,且它的扰动矩阵为 户=(三::BcT++GF);(主), 这里A是半正定的,且与A保持相同的惯性,E是对称的.令扰动满足 lllJ?lJAlJ,lJFll?8lJll,llGlJ?~llclJ, 其中>0.设,c=,c(A)=lIA…All为条件数.假定 ,c(A)<1, 且<1,这里 口 口 (4) (5) 卢=丛手 则 ?+.? 证明C的小扰动G体现在式(6)右边的第一项E,为了方便起见,不妨 设G=D. 首先,我们得到在谱范数下矩阵的半正定平方根的广义逆(})的上界. 用A表示A 的最小正特征值,则由文献[13]知的最小正特征值满足 ?A—IlEll=A(1一eAlIAl1)=A(1—8,c), 则 24华南师范大学(自然科学版)2006年 ll(棚音? K ? K~/l一占一 设6是一的最小上界,则由 = ‚)?})tIIII(‚)’?})tIIII(})’ 和 IIBT~’II=lib(})ll?Il(‚)’(})’lI?i_ll(A})’Illl(})’BII, 得 IIFT~’露ll?IIFIIII’~’露ll?IIBIIII~’露ll?IIBIIII(A‚)’…I(‚)’露ll, ll’FIIFIIIIB~’ll?IIBIIIIBT~’IIBIIII<A@)(‚) 1]BTA*EBIl?lI~A’lI1IEIll1BIl?~llAIl1IA*BIIl1BIl? llAllIl)’IIII(A~)’BIIII(AT’)IIII(~)’BII=BKlI【A)’BIIII(~)BII, IIBTA’ll?IIBTA’IIIIBII~IIBIIIIA’BIIIIAIIIIEII?占Kll(AT1)tllII(A?)tBII, I1B’BI1?I1BP.’BI1=ltBtIl1’BIII1P(A.一)()’l1? IIIIEIIIIBIIII(A~-)…(‚)’BII~< ll(‚)’IIIIAIIlibIIII(A~)’(})’ll? IIBIIII(A})’III1(,~})’BII? 所以, sU--<[[BIIII(A})tII‚)’秀II(南+)+ — lIBIIII(A~)’IIII(~)’西ll+占KIIBIIII(A~-)’IIII(A~)’BII+ II(A~-)’(})’BII- 下证:ll(A士)’BII?Ilcll+6, II(‚)’BII?llcll+6, II(?)t西ll?Ilcll+&对于第一个 不等式,因为I1cI1+6?IIcII?IIBTAtBll:I1(AT1)Bllz. 所以,I1(A‚)tBllz?I1cI1+6.对于第 二个不等式,取F=0,一sll?6.因为S半正定,所以,+半正定.于是,llcIl+6= ttc+甜I1?ttBT;~’Btt:I1(‚)’Bll, 即:I1(‚),I1:?IIcll+6.同理可证I1({),秀I1? llcll+&所以, IJ:~-Sll?BKIIIII1(Ai1)’I1(11cII+6)‚+ll(A‚)’I1(IIcII+6)‚+ 占KIIBIIII(A?)II(Ilcll+6)}+(Ilcll+6)= 第4期莫荣华等:关于半正定矩阵的广叉Schur补的扰动分析 2+2ex一2sK一2K+3K3 (1一K) 则由式(7)和引理2,得 令口= 6? BIIII(A~-)Il(Ilcll+6)?+(Ilcll+. (7) 2eK}+2eK寻一2K?+K一 K 2—2~2K}+3K? t11 2Kr+2KT一2+K—eK (1 5 —— 2eKT 一 K) +占2? (1一K) (1Icll+6). llcII.于是,? 口 注1定理1与定理A相比,本文的定理1适用范围更广,它不要求A和是否可逆.所 得到的界与文献[12]的界形式相同,但是口不同. 注2当=A,,=A时,式(3)的最后两项为o.此时,所推得的结果与文献[12]相同. 致谢:作者衷心感谢黎稳教授的悉心指导和帮助! 参考文献: [1]SCHURI.PotenzreihenimInnerndesEinheitskreises[J].JReineAngew Math,1917(147):231—247. [2]REDIVO—ZAGLIAM.Pseudo—Sehurcomplementsandtheirproperti es[J].ApplNumerMath,2004(50): 5ll一519. [3]王松桂,杨振海.广义逆矩阵及其应用[M].2版.北京:北京工业大学出版社,1996. [4]A.NIX)T.GeneralizedSchurcomplement[J].LinearAlgebraandItsApplicatiom,1979(27):l73—186. [5]BREZINSKIc.OthermanisfestationsoftheSehurcomplement[J].LinearAlgebraandItsApplications,1988 (111):231—247. [6]CARLSOND,HAYNSWORTHE.MARKHAMT.AgeneralizationoftheSchurcomplementbymeansofthe Moore—Penroseinverse[J].SIAMJApplMath,1974(26):169—175. [7]GASCAM,MUHIBACHG.GeneralizedSchurcomplementandatestforastricttotalpositivity[J].ApplNu. merMath,1987(3):215—232. [8]OUELI_,KFIEDV.Schurcomplementandstatistic[J].JSoeIndustApplMath,1965(13):1033—1035. [9]COTFLERW.ManisfeatationoftheSchurcomplement[J].LinearAlgebraandItsApplications,1974(8): l89—2】1. [10]LICK.ExtremalcharacterizationsoftheSchurcomplementandresultinginequalities[J]_SIAMReview, 2000(42):233—246. [11]ZHANGF.TheSchurcomplementanditsapplication[M].Berlin:Springer,2005. [12]STEWARTGW.OntheperturbationofSchurcomplementinpositivese midefinitematrix[R].Technical Report,TR一95—38,Maryland:UniversityofMaryland.1995. [13]孙继广.矩阵扰动分析[M].2版.北京:科学出版社,2001. 【责任编辑庄晓琼】