函数奇偶性

函数奇偶性 数学学案 函数的奇偶性、周期性及应用 一、【知识梳理】1.函数的奇偶性 奇偶性 定 义 图象特点 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__________，偶函数 关于_____对称 那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__________，奇函数 关于_____对称 那么函数f(x)是奇函数 2.奇、偶函数的有关性质, 若奇函数f(x)在x,0处有定义,则有_______________ 二、周期性 1(周期函数 对于函数y,f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_____________，那么就称函数y,f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期( 2(最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______________，那么这个___________就叫做f(x)的最小正周期( 3(3个必记结论: f(x，a),,f(x)f(x，2a),f[(x，a)，a],,f(x，a),f(x)(1)若满足，则，所 2a以函数的一个周期是。 1f(x)f(x，a),(2)若满足，则函数的一个周期是___________________ f(x) 1f(x)f(x，a),,(3)若函数满足，同理推得函数的一个周期是___________. f(x) 【牛刀小试】 1((2012?广东高考)下列函数为偶函数的是( ) 3 x2A(y,sin x B(y,xC(y,e D(y,ln x，1 22(已知f(x),ax，bx是定义在[a,1,2a]上的偶函数，那么a，b 的值是( ) 1111A(, B. C. D(, 3322 3((教材习改编)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x，4),f(x)，则f(8)的值为( ) A(,1 B( C(1 D(2 【典例】 例1 (2012?浙江高考)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x?[0 3,,时，f(x),x，1，则f,________. 2,, 3f(x),,f(x，)f(x)2f(1),3例2 已知定义在R上的函数满足，且，则 f(2014)=____________ 题后反思: 变式:已知f(x)是R上的奇函数，f(1),2，且对任意x?R都有f(x，6),f(x)，f(3)成立，则f(3),________;f(2013),________. 1例3 已知偶函数f(x)在区间[0，，?)上单调递增，则满足f(2x,1)f(a)，则实数a的取值范围是( ) A. (,?，,1)?(2，，?) B. (,1,2) C. (,2,1) D. (,?，,2)?(1，，?) 变式2:已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，，?)上单调递增(若实数a满足f(log2a)，f(log a)?2f(1)，则a的取值范围是( ) 1 2 11,，，，0，，2A. [1,2] B. C. D. (0,2] 22,，，， 1(下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( ) 1,,3x,,A(y,,x B(y,sin x C(y,x D(y, 2,, 2((2012?广东高考)下列函数为偶函数的是( ) 3x2A(y,sin x B(y,x C(y,e D(y,ln x，1 3((2012?考感统考)设f(x)是周期为2的奇函数，当0?x?1时，f(x),2x(1 5,,,,,,x)，则f,( ) 2,, 1111A(, B(, C. D. 2442 4((2012?北京海淀区期末)已知函数f(x),x|x|,2x，则下列结论正确的是( ) A(f(x)是偶函数，递增区间是(0，，?) B(f(x)是偶函数，递减区间是(,?，1) C(f(x)是奇函数，递减区间是(,1,1) D(f(x)是奇函数，递增区间是(,?，0) 5((教材习题改编)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x，4),f(x)，则f(8)的值为( ) A(,1 B(0 C(1 D(2 26(若函数f(x),x,|x，a|为偶函数，则实数a,________. 37((2011?广东高考)设函数f(x),xcos x，1.若f(a),11，则f(,a), _______ 1,,lg,,8([2013?辽宁高考]已知函数f(x),ln(1，9x2,3x)，1，则f(lg2)，f,2,, ( ) A. ,1 B. 0 C. 1 D. 2 9([2014?宣城市模拟]已知f(x),asinx，bx，c(a，b，c?R)，若f(0),,2，ππf(),1，则f(,),________. 22