用加权余量法分析固支圆板和环板在Mises屈服条件下的极限荷载

用加权余量法分析固支圆板和环板在Mises屈服条件下的极限荷载 () 文章编号: 100724708 20020320369204 用加权余量法分析固支圆板和环板在 屈服条件下的极限荷载 M ise s 刘福林 ()辽宁大学 数学系力学教研室, 沈阳 110036 摘 要: 应用加权余量法求出了承受线性荷载的固支囿板和承受均布荷载的内边界支承环板在屈服条件 M ise s 下的极限荷载的近似值, 并不最大弯矩极限条件结果进行了比较, 说明本文计算结果较合理。 关键词: 加权余量法; 屈服条件; 固支囿板; 内边界支承环板; 极限荷载M ise s 中图分类号: 34411 文献标识码: O A 式中M p 为塑性极限弯矩。 1 引言 板进入塑性屈服时, 板弯矩的边界条件为 对于固支囿板和环板, 通常选用最大弯矩极限 () () M o= M o= M r Ηp 1 ()3 条 件, 这 和 实 际 情 况 有 较 大 差 别。 如 果 选 用() () 0, M Ηa =M r a = - M p屈服条件, 因其是非线性的, 所以计算徆困 M ise s 下面选择不同的试函数, 采用加权余量法中 难, 故屈服条件徆少应用于环板的塑性极限M ise s 2 的子域法对此非线性问进行分析。 分析问题。尤其是对于承受线性荷载的固支囿板和 设试函数为 承受均布荷载的内边界支承环板的塑性极限分析 问题, 尚未见到屈服条件的应用例子。 本文M ise s M p 2 () (M = k r a - r+ a -)r 1 2 r a 应用加权余量法分析了上述问题在屈服条 M ise s ()4 M 件下极限荷载的近似值, 计算结果较合理。 p 2 () ()M = k ra - r+ a - Η 2 ra 2 固支圆板在线性荷载作用下的 () ()式 中 k 1、k 2 为待定系数, 4式已满足边界条件 3 极限荷载 式。 当外边界固支囿板承受如图 1 所示的线性分 () ()() 将试函数 4式分别代入 1、2式, 徉余量: 布荷载时, 其平衡方程为 q 0 d 2 3 ) )( (r = 2 R 1 = rM r - M Η + 3a r - q d 02 3 d r a 6 ) )()( (a r- 2 r 1 3rM r - M Η = -3 2 2 d r 6a () () k 3- k a r-4 rra -r- 1 2 式中M r、M Η 为板的径向、横向弯矩, a 为囿板半径。 M p q0 2 3 ()3 r +3a r- 2 r()5 6a a 2 2 2 R = M - M M + M - M = 2 rΗ r Η p 2 2 5 6 2 4 ) () (a r+ r+ 2k + k - k k a r- 1 2 1 2 M p 3 2 2 4 () () a r+ 3- k a r- 2 r+ 2k1 2 a M p 3 4 2 2 ) () (2a r+ r+ 1 2k - k a r-2 a 2 M 2 p2 2 1)()(6 a - 3a r + 3 r - M 2 pM ise s 屈服条件为 a 2 2 2 ()M M + M - M = M 2 rΗ 2 r Η p消除余量: 收稿日期: 2001201207; 修改稿收到日期: 20012092181 a ( ) 3 2 作者简介: 刘福林 19452, 男, 教授 1 ()7 R d r = 0: k a + 18M - qa =0 1 2 p 0 ?0 1 a 环板的平衡方程为1 2 2 6 () R d r = k + 0: k - k k a -2 1 2 1 2 ?105 0 q d 02 2 ( ) )( a rM r - M Η = rQ r = a 0R 0 - r-0 11 23 d r 2 ()M = 0 4k 1 - 5k 2 M p a -p 60 2 将 R 0 代入上式, 并将平衡方程化为无量纲形式: ()8 d 2 ( )()( ) p r - 1 15 3rm - m = -r Η ()() 由 7、8式消去 k 2: d r 2 2 6 4 3 5 () 4k a + 4qa - k 44M a - 4q a +1 p 0 1 0 式中的 r 已为无量纲量, 且 2 2 109M qa +()456M = 0 p 0 9 p 2 ) (= M M , m = M M , p = qa 6M ///m r r p p Η Ηp0 () 因在 9式中有两个待求量 k 1 不 q0 , 故还不能 ()16 = a 0 a , Β ? r ? 1 Β / 直接求出极限荷载 q。为此, 本文考虑极值条件, 在0M ise s 屈服条件为 () 9式中对 k 取极值, 进而求出 k , 然后再将 k 代 1 1 1 2 2 ()17 m = 1 m - m m + rΗ Η r () 回 9式, 徉到极限荷载 q满足的方程为0 2 2 2 2 ) ) ((()3 qa - 87 M qa +0 335M = 10 0 p 0 边界条件为p M 由此求出极限荷载 q为 ( ) () 0 m Β=1 = 0 m rr ()18 M 2 2 () () m ΗΒ= m Η1= - 1()q? 24. 42891401M a ?24. 4M a 11 //p p 0 () 根据边界条件 18式, 可设试函数为 再设试函数为 ) ( )( Βr - 1 m r = k 1 r -M p2 ()) ()19 (r+ a - 2 r M = k ra -r 1 a ( ) ( ) m = k - Β- 1- 1 Η 2 r r ()12 M p() ()() 将试函数 19式分别代入 15、17式, 徉余量: () ()r+ a - M Η = k 2 r a -ra d 2 ) R = ( ) ( 1= 3 rm - r m Η + 3p r -() 此式也满足边界条件 3式。按上述步骤, 可求出 d r 2 ) (k 3 r- Βr + Β- 2 1 + 极限荷载 q满足的方程为1 0 2 () k [ r-1 + Βr + Β+ 2 173 5 2 497 2 2 2 ) (() qa -()M p q0 a +0 13 M = 0 p 2 ()768 960 960 ( 20 ) 3p r - 1+ 1 M2 2为由此式求出极限荷载 q m - m m R = + m - 1 =0 4 r Η r Η 2 22 2 M 2 2 ) () ( + 1k + ) ( Βr - 1 2 k - k k r -1 2 ()q? 24. 42421762M p a ? 24. 4M p a 14 //0 () ( ) ( ()) 21 k 1 -2k 2 r - Βr - 1 3 内边界简支环板在均布荷载 :消除余量 作用下的极限荷载1 2 () () () Β- 6p 2 + Β1- Β+ 6 = 0 R 3 d r = 0: k 2 1 -设承受均布荷载 q的内边界支承的简支环板?0 Β ()22 如图 2, 图中 a 0、a 分别为环板的内、外半径, R 0 为支 2 2 1 ( ) )(承处环形支反力, 且 R = a - a q2a 。 /0 0 0 0 2 2 2 () (( ) 1 d r = 0: k + k - k k - ) 5 k - 2k = 0 R Β - 1 2 1 2 41 2 ?Β ()23 ()() 由 22、23式中消去 k 2 , 徉 2 2 () ) () (k 1 - Β- k 6 2 + Β1 - Βp + 1 + 1 1 24 2 2 2 + Β) (Βp - ()p - = 0 36 2 + 12 24 21 - Β () 1 - Β () 在 24式中对 k 1 取极值, 求出 k 1 , 再将 k 1 代回 () 24式, 可求出无量纲极限荷载 p 所满足的方程为 371 第 3 期 刘福林:用加权余量法分析固支囿板和环板在M ise s 屈服条件下的极限荷载 2 2 2 1() () () () () 108 2 + Β1 - Βp - 36 2 + Β1- Βp - 97 = 0 满足的方程为 25式; 最大弯矩极限条件解为 ()25 - 6 2 ( ) q = 6p = qa M =/0 p 29 ( ) ( ) 2 + Β 1 - Β 4 内边界固支环板在均布荷载 () () 25式和 29式可计算出两种屈服条件下无量 由 作用下的极限荷载2 纲极限荷载 6p = qa /M 随 Β 变化的近似值, 如 0 p 设承受均布荷载 q的内边界支承的固支环板0 1。 2 如图 3, 图中 R 0、M 0 分别为支承处环形支反力和反 ()表 1简支环板的极限荷载 qa M / 0 p 2 2 () ( )2 a - a 力矩, 且 R 0 = q0 /2a 0 。 0 ( ) T ab. 1 L im it lo ad qa M /0 p 无量纲形式的平衡方程和 M ise s 屈服条件仍 o f sim p ly suppo r ted annu la r p la te ()() 为 15、17式, 只是边界条件不同。 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 Β 环板屈服时的边界条件为 最大弯矩 3. 18 3. 42 3. 72 4. 14 4. 80 5. 76 7. 38 10. 74 20. 70 极限条件解 () () M M = - 1, 0 / 0 p m r Β=m r 1=本文M ise s 3. 60 3. 84 4. 20 4. 68 5. 40 6. 54 8. 34 12. 12 23. 34 ()26 屈服条件解 () () m 1= -1 m Β=Η Η 设试函数为 由表 1 也可画出两种屈服条件下的极限荷载影响 ( ) 曲 线 略。由表 1 看出: 本文M ise s 屈服条件解也 1 ( ) ( ) ( )m = k - Β- 1+ r - 1 r 1 r r 2 稍高于最大弯矩极限条件解, 且极限荷载 q0 a /M p 1 - Β ()随 Β 变化的变化规徇徆理想, 因此本文的计算结果 ( ) ( 27 ) 1 m = k r - Βr - 1-Η 2 也是合理的。 () () 此 试函数已满足边界条件 26式。将 27式分别 对于承受均布荷载的内边界支承的固支环() () 代入平衡方程 15式和M ise s 屈服条件 17式, 板, 本文求出的 M ise s 屈服条件解满足的方程为徉相应余量, 消除余量, 并应用极值条件, 可求出该 1() 28式, 最大弯矩极限条件解为问题中无量纲极限荷载 p 所满足的方程为 - 6 2 4 2 2 2 ()((30 ) () ) () () q = 6p = qa M =/27 2 + Β1 - Βp - 9 2 + Β1+ 5Β1- Βp - 0 p 2() () 2 + Β1 - Β 2 () 23 - 55Β + 5Β= 0 ()28 () () 由 28式和 30式可计算出两种屈服条件下无量 2 纲极限荷载 6p = qa /M 随 Β 变化的近似值, 如 0 p 表 2。 2 表 2() 固支环板的极限荷载 qa M /0 p 2 ()T ab. 2 L im it lo ad qa /M 0 p o f c lam p ed suppo r ted annu la r p la te 0. 9 Β 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 最大弯矩 3. 53 4. 26 5. 32 6. 94 9. 60 14. 42 24. 69 53. 57 206. 90 极限条件解 本文M ise s 3. 86 4. 62 5. 71 7. 38 10. 10 15. 02 25. 46 54. 64 209. 06 屈服条件解 5 计算结果分析与结束语 2 也看出本文M ise s 屈服条件解是合理的。 由表 对于承受线性分布荷载的固支囿板, 本文选 择 了 两 种 不 同 的 试 函 数, 分 别 求 出 极 限 荷 载 的 () 参考文献 :Ref eren ce s ()() M ise s 屈服条件解为 11、14式, 两者相互吻合很秉业, 刘信声 1 结构塑性极限分析 [. 北京: 中国 1 M M 2a 。对于此问题, 如 /徆好, 均近似为 q? 24. 4M p 0 ( 建筑工业出版社, 1985. , .X u B ingyeL iu X in sh eng果用简化的最大弯矩极限条件求解, 可容易求出其 [. : P las t ic L im it A na ly s is of S t ru c tu re M B e ijing M 大大 224M a 。由 q 不 q 比较看出: 本文/解为 q= p 0 0 0 ( ) ), 1985. C h ine se B u ild ing Indu st ry P re ssin C h ine se M ise s 屈服条件解稍高于最大弯矩极限条件解, 这 很次达 1 固体力学加权残值法 [] 1 上海: 同济大学 2 M 是合理的。 对于承受均布荷载的内边界支承的( 出 版社, 1987. . 2X u C idaM e th od of W e ig h ted R es i简支环 [. : d u a ls in S ol id M ech an ics M Sh angh a iT o ng ji 1987. ( ) )U n ive r sity P re ss, 板, 本文用加权余量法求出的无量纲极限荷载 p 所in C h ine se Ca lcula t ion of l im it loa d s f or c ircula r an d ann ula r p la te s by m e thod of we igh ted re s idua ls L iu F u lin (), , , 110036, D ep a r tm en t o f M a th em a t ic sL iao n ing U n ive r sitySh enyangC h ina A bstra c t: O n b a sis o f th e M ise s y ie ld co n d it io n an d th e m e tho d o f w e igh ted re sidu a ls, th e lim it lo ad app ro x im a t io n so lu t io n s o f c lam p ed suppo r ted c ircu la r p la te u n de r lin ea r d ist r ib u ted lo ad an d an n u la r . p la te w ith in n e r bo u n da ry suppo r t in g u n de r u n ifo rm lo ad a re g iven in th is p ap e rCom p a r in g th e p re sen t re su lt s w ith tho se o b ta in ed f rom th e m ax im um m om en t lim it co n d it io n show s th a t th e p re sen t so lu t io n s .b y u sin g p ropo sed m e tho d is rea so n ab le : ; ; ; Key word sm e tho d o f w e igh ted re sidu a lsM ise s y ie ld co n d it io nc ircu la r an d an n u la r p la te slim it lo ad ()上接第 352 页 An op t im um de s ign m e thod f or com po s ite lam ina te s con s ider in g coup l in g ef f ec t be tween ben d in g an d ten s ion , , , D u an Sh ih u iSu n X ian x u eH u an g Q iC h en W enp u (), 710065, A irc raf t S t reng th R e sea rch In st itu te o f C h inaX i’an C h ina A bstra c t: A op t im um de sign m e tho d fo r com po site lam in a te s co n side r in g th e b en d in g an d ten sio n . . , co up lin g effec t is p ropo sed in th is p ap e rT h e m e tho d h a s th e fo llow in g tw o leve lsO n th e f ir st leve l (). th e lam in a te th ick n e ss is op t im ized b y fu lly st ra in ed de sign c r ite r io n F SD T h en th e th ick n e ss ra t io o f . th e p ly g ro up s is ad ju sted b y th e co n t r ib u t io n s o f th e ir st ra in en e rgy a s th e seco n d leve lT h e p ly g ro up s , a re d iv ided in to co n stan t an d va r iab le p a r t san d o n ly th e va r iab le p a r t co u ld b e ad ju sted acco rd in g to th e . , de sign e r’ s requ irem en t sT o dec rea se th e n um e r ica l o sc illa t io n in F SD ite ra t io n th e re lax a t io n . , p a ram e te r is u sedB a sed o n th e p re sen t m e tho da n ew op t im iza t io n p ro cedu re h a s b een deve lop ed u n de r () , COM PA SS so f tw a re COM Po site st ru c tu ra l A n a ly sis an d Syn th e sis Sy stem an d som e en g in ee r in g .ex am p le s dem o n st ra te th e re liab ility an d eff ic ien cy o f th e m e tho d : ; ; Key word scom po site m a te r ia lst ru c tu ra l op t im um de signen g in ee r in g app lica t io n s