处处不可导连续函数的构造法

处处不可导连续的构造法 第 卷第期 高等数学研究 .,. 年月.。 处处不可导连续函数的构造法 刘雁鸣 武汉工程大学理学院,湖北武汉 摘要 为了方便向大学生介绍处处不可导的连续函数的构造,对 的级数构造法和 直 接定义函数的构造法分别进行推广并给出。 关键词 处处不可导;连续函数;构造方法 中图分类号 . 文献标识码 一 ?? 文章编号 微积分诞生之后,导数成为研究函数性态的最 其中妒示工与最邻近的整 数之间的距离.由于 方便的工具.数学家们发现初等函数在其定义区间 函数的表示式比较复杂,可以考虑利用函数 上都是连续的,但函数在连续点处却不一定可导.由 ,???, ‘ 此数学家们猜想连续函数在其定义域上,除去至多 洳一 可数个点外都是可导的.直到世纪初,数学家们 一, ?丁?. 仍在致力于证明这一猜想.德国数学家 来代替,其中为某个任意正整数.将妒作 在年利用函数项级数第一个构造出了处处不 周期延拓,成为定义在一。。,上的周期为的 可导的连续函数纠 连续函数,仍记作曲.容易证明,对于任意整数是, 工一?乜””?, 当,?,忌昙或者是百,屉时,成立 才为上述猜想给出了否定的回答.对函 ? . 驴一妒? 数处处连续但却处处不可导的性质的证明较为复 要想一般性地构造一个处处连续但处处不可导 杂。,不适合作为例子为本科生讲授.年,荷 的函数,只需令 兰数学家 给出了另外一个例子,虽 然这个例子仍然采用了的思想方法,但 一?坐?, 它的证明却比较简单。.美国数学家在 其中为大于的正整数.这样构造的函数即 年也给出了直接构造处处不可导的连续函数的例 在一。。,上处处连续但却处处不可导. 子.目前国内介绍这两种方法的教材几乎没有,本 科生在学习有关内容时无从参考. 事实上由于?学以圣刍为优级数,故 本文在仔细研究前人工作的基础上,推广了 由判别法,它在一?,?上一致收的构造处处不可导的连续函数的 敛,所以函数工在一。。,。。上连续. 方法,并给出了证明,另外还推广了的直接定 现考虑函数在任意一点的可导性.由于 义函数构造处处不可导的连续函数的方法及证明. 的周期性,不妨设丁,并将表示成“ 这两种构造法可以作为例子给本科生讲授。 进制无限小数一..。:?。?,其中。一, 级数法 ,?在集合,,?,口一中取值.若为有限小 数时,则在后面添上无穷多个零. 给出的例子是 根据进制无限小数一.,。?。?来给定 数列。:如果为奇数,则 ,一圣掣, 一上, 以。一生或。一一, ‘ 收稿日期:? ;修改日期:? 矗。一,‰ 基金项目:围家自然科学基金资助项目 三, 口。取其他值; 作者简介:刘雁鸣,女.内蒙赤峰人,硕士,讲师,主要从事概 率论与数理统计研究。:. 如果为偶数,则 万方数据高等数学研究 一,, 一?或一 口珑 一蚤?”吣州,, 一 。取其他值; , 一客万.一蓦署鼍尹。妻,厂 显然有 是的两种进制小数表示,此时规定只取第一种 ??. 。 形式,则对于给定的,函数是唯一确定的. 由于当行?时,有 其次,可以证明在,上连续.设是区 驴”。一?”口”。一 间,上的任意实数,对任意 ,取正整数,充 ?””一?以”; 分大,使得方?令 而当卯一,,,?,优一时,在”的表示中。的 位置是第一以位小数,即 芦一?暑?字, 日”??抖??, 则当时,的进制小数表示为 ”。一日?。?盘。??, ?.?。?. 根据。的取法可以知道”。与%同时属 再令进制小数 于是,是可或是可,是,因此 一.????. 由于:仅依赖于 的小数点后位小数数字,故有 驴”。一驴”一?“。. :一。??卵, 。一一 ?????一一 于是 妻巡堕丛监型型一曼 一?嘉? 。 怠 怠一~ 这样就证明了函数在点处右连续.同理可证 函数在点处左连续,进而得在,上 因级数蚤? 发散,故极限哩坠半 连续. 不存在.也就是说,工在任意一点均不可导. 最后证明在,上处处不可导.设是 更一般地,利用函数函可以构造出函数 区间,上的任意实数,构作数列’使 得?“?,,其口进制小数表示为 ,一蚤紫, “’一.?。?, 其中盘和为大于的正整数.用同样的方法可以证 其中若。,一。,则取。?。;若科一一。, 明,为一,?上处处连续但处处不可导 则取?。;若科一井,则取,什?计; 的函数. 若。?一科,则取一。;当行时, 直接定义函数法 :在集合,,,?,口~中任意取值.不难看出 ‘”’”??. 设为大于的正整数,是区间,上的任 又设 意实数.将表示为进制小数 四.必啦’一蚤劳, 一.??一荟?, 根据的定义,当??九时有 其中在集合,,,?,一中取值.若丁为有 :一,?一,,,一,, 限小数,则在后面添上无穷多个零.又设?一, 于是 利用进制小数定义函数 ’一?驴, 一.”叫?一?等, 其中。一,而当时,。一或者,具体为 \ ,’ 掣掣?旦一一 夕 ’一 ”. ’ 一』, 由于一日一,所以极限壑?二坠型不存 弘一 一。, 。?卜卜 ”一。。 ”“一 首先,函数的定义是合理的.尽管某些以 在.这就证明了函数在,上处处不可导. 进制小数可能有两种表示法,比如 万方数据 ?。 。一昙或。一一