论文_关于函数一致连续性的讨论

论文_关于函数一致连续性的讨论 长沙学院信息与计算科学系 本科生科研训练 关于函数一致连续性的讨论 系 (部): 信息与计算科学 专 业: 数学与应用数学 学 号: 2009031120 学生姓名: 申霁 成 绩: 2012 年, 月 1 关于函数一致连续性的讨论 申霁 长沙学院 信息与计算科学系, 湖南 长沙, 410022 摘要:函数的一致连续性在数学分析中是一个比较精细的概念，占的地位比较重要(本文介绍了三种判别函数一致连续性的方法，第一种利用连续函数的性质判别不同类型区间上函数的一致连续性，第二种利用瑕积分判断函数的一致连续性，第三种利用比值判别法判断函数一致连续性( 关键词:连续函数性质 区间 一致连续性 瑕积分 比值判别法 ,引言 函数的一致连续性是数学分析中应用非常普遍、重要和抽象的概念，反映的是函数在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数的变化趋势及性fx()fx()质，是微积分学的基础( 文献[1]的作者介绍了数学分析中的一些定理性质及应用(文献[2]的作者讨论了如何判断函数是否一致连续，并且给出了一致连续的性质和证明(文献[3]的作者讨论了函数在非闭区间包括有限开区间及无限区间上，满足一致连续性的充分条件，并且用连续模刻画任意区间上的函数的一致连续性(文献[4]的作者结合瑕积分敛散性的判别法，给出了有穷限非闭区间上函数的一致连续性的几种新判别方法(文献[5]的作者提出了函数一致连续性的比较判别法和比值判别法定理( 本文介绍了三种判别函数一致连续性的方法，第一种利用连续函数的性质判别不同类型区间上函数的一致连续性，第二种利用瑕积分判断函数的一致连续性，第三种利用比值判别法判断函数一致连续性( 【1】,,0I定义 1 设为定义在区间上的函数，若对任给的，存在f x，x,I|x,x|,,,,,(,),0，使得对任何,只要，就有 1212 |f(x),f(x)|,,， 12 I则称函数f在区间上一致连续( 1 , 不同类型区间上函数的一致连续性 【2】我们利用连续函数的性质判定闭区间上函数的一致连续性，非闭区间包括 【3】有限开区间及无限区间上函数的一致连续性( [2]定理1(Contor定理) 若函数在上连续，则在上一ab,ab,fx()fx(),,,, 致连续( ,,,0证明 ，因为在点连续，所以， ，,xx，,,,(,,x),0,[a,b]f(x)000 ,,使得 ，若，，则 |x,x||x,x|,,x,x,[a,b],10201222 ,， |f(x),f(x)|,102 ,， |f(x),f(x)|,202 就有 ,,,,||， x,x，|x,x||x,x|,，,20101222 ,,,， |f(x),f(x)|，|f(x),f(x)|,|f(x),f(x)|,，,10202122 ,O(x,)也就是说，在任何邻域内，都有 x,x,x[a,b]00124 ( |f(x),f(x)|,,21 ,,O(x,)O(x,)现在考虑，当取遍上一切点时，构成一个开区间集x[a,b]00044EE，它覆盖着，由有限覆盖定理，就由从中所取的有限个开区间 [a,b][a,b] ,,,,,k3k12,O(x,)min(,,？), 所覆盖，取，且,x,x,[a,b](k,1,2,3？,m)k1244444 ,,,iik00O(x,)x,(x,)|x,x|,，必属于中的一个，设即， |x,x|x,,k1i1i12100444又 ,i0|x,x||x,x|,|x,x|，， ,，,2i1i12004 ,i0x,x,O(x,)明，所以有 12i04 |f(x),f(x)|,,， 21 f(x)[a,b]即在上一致连续( 2 [3] limf(x)limf(x)定理2 函数在内连续，且与都存在，则在(a,b)f(x)，,x,ax,b 上一致连续( (a,b) 证明 因为函数在内连续， (a,b) 所以有 limf(x)limf(x),,，， f(a)f(b)，,x,ax,b则在上连续，由定理1可知，在上一致连续从而在f(x)[a,b]f(x)[a,b]f(x)(a,b) 上一致连续( [3]limf(x)定理3 若在上连续，且 ,则在f(x)[a,，,),A(A,,)f(x)x,，, 上一致连续( [a,，,) limf(x),0X,a证明 因为,A,，由Cauchy收敛准则有，，,，x,，, ，有 ,x,x,X12 ， |f(x),f(x)|,,21又已知在上连续， 所以在上一致连续，即上述f(x)[a,X，1]f(x)[a,X，1] ,,0,0，，，有 ,,x,x,[a,X，1]:|x,x|,,，1212 ， |f(x),f(x)|,,21 ,于是，有 ,x,x,[a,，,):|x,x|,1212 ， |f(x),f(x)|,,21即在上一致连续( f(x)[a,，,) [3]limf(x)定理 4 若在上连续，且,则在f(x)(,,,b],B(B,,)f(x)x,,, 上一致连续( (,,,b] [3]limf(x)limf(x)定理5 在上连续，且，，f(x)(，,,,,),B(B,,)x,，,x,,,则在上一致连续( f(x)(，,,,,) 【2】,例 1 证在上是一致连续的( f(x)sin(x)(，,,,,) 证明 设x，x, (，,,,,),12 ||x,xx,xx,x121212|sincos||sinx,sinx|,2,|x,x|2, ,1212222 ,,,0，,,,|x,x|,,故对，，当时，有 12 ,|sinx,sinx||x,x|,,,, ,1212 ,f(x)sin(x)(，,,,,)所以在上是一致连续的. 3 , 利用瑕积分的敛散性判断函数的一致连续性 结合瑕积分敛散性的判别法，给出了有穷限非闭区间上函数的一致连续性的 【4】几种新判别方法( b[4],定理 6 ，为的瑕点，且收敛，则f(x)dxa,(x),f(x),x,(a,b]f(x),a 在上一致连续( ,(x)(a,b] b证明 ，在上任意闭区间因为,(,),f(x)dx在(a，b]上连续所以,(x)(a,b],, b上连续，从而在上一致连续，因为收敛，所以f(x)dx[,,b],(x)[,,b],, 只要，总有 ,,,0,，,,0,,,,,(a,a，,)1121 bb， ,|,(,),,(,)|,,|f(x)dx,f(x)dx|12,,,,21 ,只要，总有 所以,,,0,，0,,,,|,-,|,,112 ， |,(,),,(,)|,,12 所以在上一致连续，取，可得 在上一致(a,a，,)a,,,a，,,(x),(x)(a,b]11连续( b[4],f(x)dx定理7 ，,为的瑕点，且收敛，a,(x),f(x)g(x)x,(a,b]f(x),a 在上单调有界，则在上一致连续( g(x)(a,b],(x)(a,b] A[4],F(A),f(x)dx定理8 ，,为的瑕点，且a,(x),f(x)g(x)x,(a,b]f(x),a ，x,a在上有界， 在上单调且当时趋向0，则在上一(a,b]g(x)(a,b],(x)(a,b]致连续( , 利用比值判别法判断函数一致连续性 ,,,利用比值判别法判断函数的一致连续性( 【5】定理 9 函数，，，，满足: f(x)g(x)C(I)I,[a,，,)f(x)g(x), ,,limf(x)limg(x)(i) ; ,x,，,x,，, 'I(ii) f(x)，g(x)在上可导，且0; g(x), 'f(x)f(x),AAlimlimf(x)g(x)(iii)存在，若 (为非0定值)，则，有相'x,，,x,，,g(x)g(x) 4 同的一致连续性( 【5】2例判断函数 2的一致连续性( f(x),xlnx，x 2xlnx，x,lim证明 选取函数作为比较函数，有，函数,1xg(x)x,，,x 2,在区间上一致连续，由定理5知，函数函数的xg(x)(0,，,)f(x),xlnx，x一致连续性( 参考文献 [1] 华东师范大学数学系编 数学分析[M] 上册(第三版) 高等教育出版社 78-79 [2] 高吉(浅析函数的一致连续性，包头职业技术学院学报[J](2011,12(3):40-41 [3] 张婧(关于函数在非闭区间上的一致连续性的几点注释，长春师范学院学报[J](2011，30(3):10-11 [4] 刑秀芝，吴景珠，王励冰(谈函数一致连续性的判别方法，周口师范学院学 ,(2009,27(2):37-38 报,J [5]杨小远，马建华，张立文，王玮彬，刘梦(关于函数一致连续性的判别方法研究[J](2010，28(6):635-636 5