如图：ad是圆o的直径,bc切圆o于点d,ab、ac与圆o相交

如图：ad是圆o的直径,bc切圆o于点d,ab、ac与圆o相交 如图:AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB、AC与圆O相交于点E、F. ? 求证:AE×AB=AF×AC; ? 如果将图?中的直线BC 向上平移与圆O相交得图?，或向下平移得图?，此时， AE×AB=AF×AC是否仍然成立,若成立，请证明;若不成立，说明理由。 A A A O F O O F E E F E D’ ‘’D B C ‘’ B D C D B C D’ ‘’ ‘’ 图 ? 图 ? 图 ? 要证(1)AE×AB=AF×AC,首先想到证两个三角形相似对应边成比例，这时要判断是?ABC与?AFE相似，还是?ABF与?AGE，这样就可作出正确的辅助线，从而证明AE×AB=AF×AC;(2)(3)则可依(1)的方法证明之。如图: AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB、AC与圆O相交于点E、F. (1)、求证:AE×AB=AF×AC; 连接EF、ED 因为BC与圆O相切于点D 所以，AD?BC 所以，?ADE+?BDE=90?……………………………………(1) 而已知AD为圆直径 所以，?AED=90? 则，?B+?BDE=90?…………………………………………(2) 由(1)(2)就得到:?B=?ADE 而，?ADE=?AFE(同弧所对的圆周角相等) 所以，?B=?AFE 而，?FAE=?BAC(即同一个角) 所以，?ABC??AFE 所以，AE/AC=AF/AB 即，AE×AB=AF×AC ? 如果将图?中的直线BC 向上平移与圆O相交得图?，或向下平移得图?， 此时，AE×AB=AF×AC是否仍然成立,若成立，请证明;若不成立，说明理由。 ?当将直线BC向上平移时，结论仍然成立 证明: 连接EF，ED，设ED与BC相交于点G 因为BC是向上平移 所以，AD?BC 所以，?D'DG+?DGD'=90? 又因为AD是直径 所以，?AED=90? 所以，在Rt?BEG中有:?B+?BGE=90? 所以，?D'DG+?DGD'=?B+?BGE 而，?DGD'=?BGE(对顶角相等) 所以，?D'DG=?B 而，?D'DG=?AFE(同弧所对的圆周角相等) 所以，?B=?AFE 又，?BAC=?FAE(其实是同一个角) 所以，?ABC??AFE 所以，AE/AC=AF/AB 则，AE×AB=AF×AC ?当将直线BC向下平移时，结论仍然成立 证明: 设AD与圆O相交于点H，连接EF、EH 因为BC是向下平移 所以，AD?BC 所以，?B+?BAD=90?………………………………………(3) 而AH为直径 所以，?AEH=90? 所以，?AHE+?EAH=90?……………………………………(4) 而?BAD=?EAH(其实是同一个角) 由(3)(4)得到:?B=?AHE 而，?AHE=?AFE(同弧所对的圆周角相等) 所以，?B=?AFE 又，?BAC=?FAE(其实是同一个角) 所以，?ABC??AFE 所以，AE/AC=AF/AB 则，AE×AB=AF×AC