正弦函数图象的对称轴与对称中心

正弦函数图象的对称轴与对称中心 y,Asin(,x，,)函数图象的对称轴与对称中心 新疆民丰县一中 亚库普江?奥斯曼 摘要: 新课标高中数学教材上函数的性质就着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏的会出现函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴、反此例函数的对称性、三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以我的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是轴象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数 的对称性知识提出自己的观点。 y,Asin(,x，,) 关键词:对称轴，对称中心，正弦型函数 函数轴对称:如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 中心对称:如果一个函数的图像沿一个点折旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的 对称中心。 正弦函数的图像既是轴对称又是中心对称，y,sinx 它的图象关于过最值点且垂直于 轴的直线分别成轴x y,sinx对称图形; 的图象的对称轴是经过其图象的 y“峰顶点”或“谷底点”，且平行于轴的无数条直线;它的图象关于 轴的交点分别成中心对称图形。 x , y,k，,y,sinx？正弦函数的对称轴方程为 ，2 k,,0k,Z对称中心点为(),其中 。 y,Asin(,x，,)y,sinx正弦型函数是由正弦函数演变而成。 y,sinx一般只要知道正弦函数图象的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出正弦型函数 y,Asin(,x，,)的对称轴与对称中心。 y,f(x),Asin(,x，,)x,a若是的对称轴，则 (a,0)f(a),,Af(a),0;若是它的对称中心，则。 y,Asin(,x，,)函数对称轴方程的求法:令 , x，,k，(k,Z),,,sin(,x，,),,1，得，则2 ,,,2k，,2x,y,Asin(,x，,)k,Z()，所以函数的2, ,,,2k，,2x,k,Z图象的对称轴方程为，其中 。 2, 5,y,sin(2x，)例1:函数图象的一条对称轴方程是:2 ( ) 5,,,,(A)-- (B) (C) (D) x,x,x,x,2448 5,5,,sin(2x，),,12解:由性质知，令得，x，,k，,(k,Z)222 k,k,1-即，取时，，故选(A)。 x,,-,x,(k,Z)22 2x2xy,cos，sin例2:函数的图象相邻两条对称轴之55 间的距离是( )。 2x2x2x,xxy,cos，sin,2sin(，)解:，设， 分别是125554 其相邻两条对称轴与图象交点的横坐标，则有 2,,1x，, ? 1542 23,,2x，, ? 2542 221(x,x),,由?-?得 215 5,x,x,？ 212 ,5可知，相邻两条对称轴之间的距离是 。 2 y,Asin(,x，,)函数的对称中心求法:令sin(,x，,),0,x，,,k,(k,Z)，得，则 ,,k,2 x,(k,Z)y,Asin(,x，,)，所以函数的图象, ,,k, (，0)(k,Z)关于点成中心对称。 , ,y,2sin(2x，)P(x,0)例3:设函数的图象关于点成中13 ,x,[,,0]心对称，若，则 ________. x,112 ,,解:由性质知， 令得，即2sin(2x，),02x，,k,(k,Z)33 ,k,y,2sin(2x，)，所以函数图象的对称中心x,,,(k,Z)263 ,k是(,,0)。 ,(k,Z)26 ,,,kx,-,[,,0]k,0x,,,1在中，取，得 。 6226 , -x,1？ 6 由于对称轴都是通过函数图像的最高点或者最低点的直线，因此只要把对称轴的方程代入到函数解析式，函数就会取得最大值或最小值。易错点就在于很 y,sinx2k,多同学误认为由于正弦函数的周期是，就 , 2kx，,，,,,会错误的令成。 2 y,Acos(,x，,)通过类比可以得到余弦型函数的 ,,k, x,对称轴方程是，对称中心点是, ,,,22k，, (,0)k,Z，其中。 ,2