凸函数的性质

凸函数的性质 【摘自[前苏]克拉斯诺西尔斯基等著《凸函数与奥尔里奇空间》(中译本)】 通常称函数在区间内是“下(上)凸函数”，若对于内任意两点和xf(x)(a,b)(a,b)1 与任意，都满足“琴生(Jesen)不等式” x(x,x)t,(0,1)122 ftxtxtfxtfx[(1)]()(1)()，,,，, (※) 1212,() 或 ftxtxtfxtfx()()()，,， (※※) 11221122,，， [其中和为正数且] ttt，t,11212 1它的特别情形(取)是 t,2 fxfx，xx，，，，，,,1212f, (※※※) ，，x,x12,,,，，22,, 在?2-7中曾把它作为下(上)凸函数的定义.。我们将证明，对于连续函数来说，不等式(※※※)与琴生不等式(※)是等价的。正因为这样，我们在教科中就用简单的不等式(※※※)定义了下(上)凸函数(因为我们研究的函数都是连续函数)。下凸函数简称为凸函数，上凸函数简称为凹函数。请读者注意，这些称呼同国内某些教科书中的称呼是不一致的。但是，我们的上述称呼与(((((((((((((((((((((((((( 新近出版的许多教科书或发的论文中的称呼是一致的。 因为函数的“上凸”与“下凸”是对偶的，所以，下面只讨论下凸函数的性质。相信读者一定能够把下面得出的结论，类比到上凸函数上。 (一)琴生不等式的几何意义 我们先解释一下琴生不等式的几何意义。如图一， B A C x xxx2 1 3 图一 x,xx,x(*)2331x,x,xx,x，x设，则(根据解析几何中的定比分点公式)。132312x,xx,x2121 根据琴生不等式(※※)， x,xx,xx,xx,x23312331f(x)t,,t,,f(x)，f(x) [注意] 31212x,xx,xx,xx,x21212121 ()* 区间上的点. [,]abxtatbt,，,,,(1)(01) 2 凸函数的性质 从而，得不等式 f(x),f(x)f(x),f(x)f(x),f(x)312123(基本不等式) ,,x,xx,xx,x312123它说明(见图一)，弦的斜率小于弦的斜率，而弦的斜率又小于弦的斜率。 ABABACCB (二)凸函数的性质 为简单起见，下面只讨论与我们的问有关的凸函数的性质。 性质1 若在区间内是下凸函数，则 fx()(a,b) (*),,? 在每一点都有左导数和右导数【因此，凸函数是连续函数】， 而f(x)f(x)x,(a,b),， ,,且; ，，f(x),fx,， ,,? 左导数和右导数都是单调增大的函数。 f(x)f(x),， 证? 设，并且满足不等式(图二) 0,h,h12 a,x,h,x,h,x,x，h,x，h,b2112 x-h x-h x x+h x+h 2112x ( ,,, ,, ) a b 图二 根据基本不等式，则有 f(x),f(x,h)f(x),f(x,h)f(x，h),f(x)f(x，h),f(x)2112 ,,,hhhh? 2112? ? 考虑函数 f(x),f(x,h),(h),0,h,x,a () h h,0根据上述不等式中最左边的不等式?，当时，函数是单增的且有上界，所以有极限 ,(h) f(x),f(x,h),limf(x),= lim,(h),h,0h,0h 类似地，根据最右边的?，函数 f(x，h),f(x),(h),0,h,b,x () h h,0当时是单减的且有下界，所以有极限 f(x，h),f(x),lim,(h),lim,f(x) ，h,0h,0h ,,h,0f(x),f(x)根据中间一个不等式?，,，再让，得. ,(h),(h),， ,f(x)x,x证? 为证左、右导数都是单调增大的，譬如证是单调增大的。设，并取正数，12h足够小，使 x ? ? ? ? x x+h x-h x x,x，h,x,h,x(图三) 11221122 图三 根据基本不等式， ()*,,有左导数说明函数在点左连续，有右导数说明函数在点右连续。 fx()fx()fx()fx()xx,， 2 3 凸函数的性质 f(xh)f(x)f(x)f(xh)，,,,1122, hh ,,h,0h注意到当时，左端(关于)是单减的，右端是单增的，所以. 再根据f(x),f(x)，1,2 ,,,,上面已证的结论[]，就得到. f(x),f(x)f(x),f(x),2，2，1，2 在区间内可微分，根据教科书中的定理2-3，则 假若函数f(x)(a,b) ,导数是增大的函数是下凸的。 f(x),f(x) ,现在，我们又证明了“函数是下凸的导数是增大的”[注意，f(x),f(x),,,]。因此，对于可微函数来说， fxfxfx()()(),,,， 它是下凸的它的导函数是增大的。 ,((((((((((((((根据对偶性，它是上凸的它的导函数是减小的。 ,(((((((((((((( 性质2 若是区间内的连续函数，则不等式 f(x)(a,b) fxfx，xx，，，，，,,1212f, ，， (※※※) x,x12,,,，，22,, 与琴生不等式 ，，，，，，,,，，,tfx，1,tfx (※) ftx，1,tx[x,x,0,t,1]121212，，, 是等价的。 证 显然，在琴生不等式中取，就是不等式(※※※)。剩下来就是要证明，从不等t,12 式(※※※)也可以推出琴生不等式(※)。为简单起见，我们只证明其中的情形“,”。事实上，(反 ，，t,0,1，，证法)假若琴生不等式(※)不成立，即至少有一个和有x与xx,x，使 1212 f[tx，(1,t)x],tf(x)，(1,t)f(x) 1212作(连续)函数 ,(t),f[tx，(1,t)x],[tf(x)，(1,t)f(x)] (0,t,1,x,x)121212 MM,0M,0并记它的最大值为，则(根据反证法的假设)。首先假定，并把函数在区,(t) Mt0,t,1,,0,1间上取到最大值的最大值点的最小者记为，则 (因为)。,(0),,(1),000 ,[t,,,t，,],[0,1]取正数足够小，使，于是对于点 00 ,,，，，，，，，，x,t,,x，1,t，,xx,t，,x，1,t,,x 和 1010220102则根据不等式(※※※)，即 ,,,,，，，，x，xfx，fx,,1212f, ,,22,, ,,可得[注意=] (x，x)2tx，(1,t)x120102 [()(1)][()(1)]ft,,x，,t，,x，ft，,x，,t,,x01020102[(1)]ftx，,tx, 01022 3 4 凸函数的性质 两端再同时减去[tf(x)，(1,t)f(x)]，便得到 0102 ()()tt,，，,,,,00MtM,,,() ,02 M,M这是不可能的 ()。 M,0t,(0,1),(t),0 其次，若，根据反证法的假设，则至少有一点使. 重复上面的作法，则得 ,(t,,)，,(t，,)0,(t),,M,0 ,2 这也是不可能的。因此，对于一切和任意与，都有，，，，，0,0xxx,xt,(0,1),(t),01212 即函数满足琴生不等式 f(x) f[tx，(1,t)x],tf(x)，(1,t)f(x)[0,t,1,x,x]121212 正因为对于连续函数来说，不等式(※※※)与琴生不等式(※)是等价的，所以我们在教科书中就把简单的不等式(※※※)作为下(上)凸函数的定义.。 4