【doc】微积分基本定理——微积分历史发展的里程碑

【doc】微积分基本定理——微积分历史发展的里程碑 微积分基本定理——微积分历史发展的里 程碑 第16卷第6期 2000年12月 懒毅李鼍 工科数Ng_.6 JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGYDec.2000 ]6一]1 微积分基本定理微积分历史发展的里程碑 堕 (华北石油职工大学,河北固安065506) -7Z 微积分是经典数学的重要内容,曾引起马克思,恩格斯,列宁的关心和兴趣.他们从哲学家的角度, 对微积分及其发展史进行深入地研究,并对微积分的本质进行了广泛的讨论.认为微分和积分是微积分 的主要研究对象,它们之间的矛盾是微积分的主要矛盾.明确指出:微积分这门科学,是研究微分和积分 这对矛盾的科学.为我们研究微积分及其历史提供了线索.本文以研究反映微分和积分内在联系的微积 分基本定理发展为主线,简叙微积分发展历史. 事物是普遍联系的,发现事物的一种联系,是一种创造.从哲学角度来说,事物相距越远,其发现难 度就越大,就越能说明事物之间的联系,其发现的意义也就越大.微积分基本定理就是这样一项发现和 创造. 微积分基本定理If(x)dx—F(6)一F(a)作为微积分的核心定理,一方面,它将求函数 定积分计 算化为求函数原函数的计算,从而简化了定积分的计算,为微积分的应用带来了活力.另一方面,它在理 论上揭示了微分和积分这对矛盾的内在联系和转化规律.因此,微积分基本定理的确定和完善,成为微 积分发展的标志,在微积分发展史上有着重要的意义. 微积分基本定理从发现到形成现在的形式,跨度将近二个世纪,大致分为萌芽,创立和完善三个阶 段,作出贡献的有巴罗,牛顿,莱布尼兹,柯西等人. 1巴罗的几何形式的微积分基本定理 微分和积分的概念,古而有之,在古希腊时代,伟大数学家就创立了求抛物线切线的方法.我国古代 数学家祖冲之利用无穷小分割的方法,计算出圆周率为3.1415926,创造了中国古代数学的辉煌一章. 所有这些,都为微积分创立做了必要的准备.特别从15—16世纪欧洲文艺复兴时代以来,一大批数学家 沿着古人的道路,在求切线,求面积和体积这两类微分和积分的基本问上进行了深入的研究,得到了 用无穷小方法求切线和面积的方法,为微积分的诞生做出了贡献,其中有培根,韦达,费马,笛卡尔,开普 勒,帕斯卡等人.由于时代的限制,这些研究都是针对个别问题的,并未形成统一的方法.特别是他们并 未看到"求切线和"求面积之间的互逆关系.利用这种关系可以将"求面积"这一繁琐的运算化为"求切 线的逆运算这一简便计算的事实,所以他们并未成为微积分学说的创立者. 在历史上,十七世纪英国数学家巴罗是第一个看到这一互逆关系的人.巴罗(1630,1677),曾任剑 桥大学第一任"卢卡斯教授",三一学院院长和剑桥大学副校长,牛顿的老师.他的代作有:《数学》 (1664~1666),《光学讲义》(1669),《几何讲义}(1670).在数学方面的主要贡献有: 给出求曲线切线的方 法,引入"微分三角形的概念,以明确形式给出了求切线和求面积之间的互逆关系. 所有这些,对于后 人,特别是对于牛顿和莱布尼兹确立微积分体系有着重要的启发,对于后人,巴罗 被认为是微积分创立 [收稿日期]1999—12—16 巴 戢 施 学 第6期陈宁:微积分基本定理——微积分历史发展的里程碑77 的先驱者. 他在《几何讲义》一的第10讲和第l1讲中,以几何形式给出了求面积和求切线 的互逆关系,这一 关系用现代数学语言可以表叙为: 建立坐标系XOY,使OY向下,现有增函数Y=,(z)在坐标 系中表示为曲线BGE(图1),D,0)为OX上任一点,曲线BGE 和OD及纵线BO,ED所国成的面积(即曲边梯形OBED的面积) 是z的函数,记作S),为了便于比较,以OY的反方向为OZ,建 立坐标系XOZ,作出函数z=s(z)的曲线OIF,F(x,S))是ED nL1C, 延长线与曲线的交点,在OX上取点丁,使得7一r二=,巴凸U 罗断言直线7是曲线OIF在点F的切线(原话是丁F仅在点F 与OIF相接触),并以较为初等方法加以证明. 读者很容易看出直线7是分析意义下面积函数S)的切 线.若同时适当地定义斜率,则上述结论就相当于 ():d,)d: F(). 圉 巴罗的这一结果被认为是微积分基本定理的最早形式,从而对微积分的创立起到了巨大的作用.由 于这一结果是甩几何语言叙述的,较难理解,应用也较为困难,再加上巴罗本人对于接近微积分基本定 理的重大发现似乎认识不足,因此这一发现在当时影响不大.再加上他的兴趣日益转向神学,1669年, 巴罗主动宣布牛顿的才华超过自己,并将"卢卡斯教授这一重要职位让给了年仅26岁的牛顿,从而为 牛顿在科学研究中显示自己的才华创造了机会.与此同时,揭示微分和积分内在联系,确立微积分基本 定理在微积分学中核心地位的重任历史地落在牛顿和莱布尼兹肩上. 2牛顿的反流数形式的微积分基本定理 牛顿(1642~1727)是英国最伟大的数学家,物理学家,天文学家,微积分学的奠基人.一般认为牛顿 是在前人的工作基础上进行分析和综合的基础上建立他的理论体系的,他将古希腊以来求解无穷小问 题的各种技巧统一为两类普遍的算法——微分和积分.以"流数"(导数)为该理论的核心概念,并通过逆 过程(反流数)来解决面积等积分问题,是牛顿构建微积分理论的主要特点. 牛顿研究微积分的代表怍有三本:《论流数》写于1666年}《无穷多项方程的分析》写于1669年,发 表于1711年I《流数法和无穷级数》写于1671年,发表于1736年. 牛顿被认为是完全继承了费马和瓦里斯的无穷小算法,实际上他的发展远大于继承.他从瓦里斯的 整数幂有限项级数得到启发,发现了无穷级数的二项式定理.使无穷小更富于活力,并使他可以从函数 关系中自变量的无穷小量变化和相应的函数变化量之闯的比例关系加以考虑,从而得到人类有史以来 最有力的数学工具——微分方法及其思想,牛顿称之为"流数法".进而,他发现反流数法,可以由切线求 出曲线,由流数求出函数,更加神奇地是利用反流数法,可以轻松求出曲线所围图形的面积,而不必借助 复杂的穷竭法求面积. 牛顿将求曲线切线和求面积之间的互逆关系从巴罗的纯几何形式推广到代数形式的互逆运算形 式,这是历史上第一次以明确形式给出了微积分基本定理. 以下是牛顿在《论流数》中首次给出的微积分基本定理; 设为曲线g=,)下图形abe的面积,作deffab,adj_ab,C:e上de,1,当垂直线c以单位速 度向右移动时,cb扫出面积abe一,其流数【J一口,be扫出adeb,其流数l警l=P一1.因此, 【J一【)吾=口一,(),于是面积可以通过面积的变化率(dx)一,(),经过反流数求得(如 78I科敷学第16卷 图2). 这里,牛顿虽未以命题形式叙述和证明微积分基本定理,但他确实 很清楚地看到这个事实,并应用它使许多动力学,运动学的问题到牛顿 手里变为简单问题,从而使牛顿在经典物理学做了开创性的工作.牛顿 在以后的着作中,如《流效法和无穷级数》中将微积分分为二个基本问 题:已知流量关系,求流数比;已知含流致的方程,求流量的关系,从而 确定这两个问题的互逆关系,进而建构起系统的微分法和反微分法. 3莱布尼兹的建立在符号基本上的微积分基本定理 . ' q=f(z l声=1 圈2 () 莱布尼兹(1646~1716),德国伟大的哲学家,数学家,微积分的奠基人之一. 他开始研究数学的时间比牛顿要晚,在十七世纪七十年代,他开始了解到笛卡尔,瓦里斯,巴罗在研 究做积分的初期工作,并萌发了与做积分有关的思想.做为一位哲学家,他是从发现和揭示做积分基本 原理入手发展他的学说的,独立的微分dx和dy作为他的体系基本概念,面积和体积被看成为若干个 微分之和. 巴罗的微分三角形对莱布尼兹有着重要启发,对微分三角形的研究,使他意识到:曲线切线依赖于 纵坐标的差值与横坐标差值之比,求面积依赖于横坐标的无穷小区间的纵坐标之和,再加上他对整数平 方和序列中"和"与差"关系的研究,使他意识到求切线和求积问题是一对互逆的问题,从而促使他去研 究"f"的运算(积分)和"d"的运算(微分)之间的关系.在他研究了积分和微分的运算之后,注意到这样 J 一 个事实: r "对于pdx=xdx,转换成和式就变为lpdx:lxdx,而从我们所建立的求切线方法中,明显地有 JJ 11 d告z=xdx,所反过来告z=lxdx.因此作为普通运算的幂和根式,和与差,"l"和…d是互逆的."''JJ 通过以上不充分的论证,莱布尼兹第一次表达出微分和积分之间的互逆关系. 1675~1676年问,他给出微积分基本定理 f I=,(6)一f(a),lf(x)dx=A,JuJ 其中A为曲线,所围图形的面积. 1693年,他给出了上述定理的一个证明.以上这些都发表在《教师》上. 将微分和积分统一起来,是微积分理论得以建立的一个重要标志.牛顿和莱布尼兹在前人研究的基 础上,各自独立地将微分和积分真正地沟通.通过微积分基本定理将两种运算统一起来,明确这对矛盾 是可以转化的,是一对互逆的运算,这是建立微积分的关键所在,只有确定了这一基本关系,才能构建系 统的微积分理论,并从对各种微分和求积公式中,归纳出共同的算法,从而为微积分应用提供了有力武 器.这就是牛顿,莱布尼兹做为微积分理论奠基人的主要功绩. 4柯西现代形式的微积分基本定理 牛顿和莱布尼兹的做积分体积中,总是将积分看成微分的逆运算,并且他们的积分概念也是含糊不 清的,有时指为定积分,有时又为不定积分,特别是将积分定义为微分的逆命题,从某种意义上影响了积 分学做为相对独立数学分枝的发展,造成了微积分发展的曲折,这种情况到微积分进行严格化尝试时才 有所变化. 柯西(1779,1857),十九世纪法国着名的数学家,他在分析基础,单复变函数,常微分方程方面作出 巨大贡献,他是微积分的真正理论基础——极限理论的缔造者,我们今天看到极限,连续性定义,把导数 第6期陈宁:擞积分基表定理——擞积分历史发展的里程碑79 看成差商的极限,把定积分看成和的极限,微积分基本定理现代形式和证明,事实上都是柯西给出的. 拇西在他的《无穷小计算概念}(1823)中对定积分作了最系统的开创性工作,首先 他恢复了把积分 作为和的特征. 他对连续函数,(z)给出了定积分作为和的特征,他指出;如果,)是定义在区间F2.,]上连续函 数,区间[.,]为的值.,…,州所分割.那么,()在F2..]上的积分是指特征和式 f(zo)(z1--3C.)+f(z1)(z2一z1)+…+f(z1)(--2—1). 当l21+一z.}无限地减小时的极限.拇西证明了"这个极限仅仅依赖于函数,()的形式以及变量z的两 j{;}值z.和x,因此他称这个极限为定积分,记作lf(x)dx,用以代替高斯对反微分法经常使用的记J 号)drll_JL=nj 接着柯西定义,F()=If(x)dx,利用推理证明了F(z)在[z.,x]上连续,并且设 J — F(x— +h 了 )--一 F(x) 一了1r+^,)dr.『'『'J rr1r 利用积分中值定理证明了lIf(x)dxf一,(z),llp,(z)在区间F2.,]上的定积分的导数就是,(z)的 本身.这就是微积分基本定理的现代形式,所给的证明也是微积分基本定理第一个严格证明, 拇西接着证明了:给定函数,)的全体原函数彼此只差一个常数之后,定义了不定积分 lf(2)d2=lf(2)dr+C. JJ , 在这一着作中,拇西指出,若,(z)连续,则l,(x)dr一,(6)一,).从而完成了揭示微积分基本定 理的全部任务. 微积分基本定理的发展史,是几代数学家近两个世纪的创造发明史,牛顿,莱布尼兹在其中起了巨 大作用.这说明"数学中最重要的发明'常'是少数伟大思想家的作品".但从本质上来说,它仍是集体创 造的产物,没有费马,沃利斯,巴罗一大批微积分刨造先驱者的创造和积累.就不会有牛顿,莱布尼兹的 最重要的创造.若没有拇西为代表的数学家的创造性劳动,也不可能形成现代形式的馓积分基本定理. 只有研究这一过程,微积分基本理论的特殊效力和发生发展模式才能被后人理解,并给人们以启迪. [参考文献] .世界着名科学塞传记[M].北京;科学出版社,1994. 口]吴文俊 [2][美]爱幕华-锻积分发展史[J].北京t北京出敝杜,1989- E3]衰小明.数学思想史导论[M],南宁;广西教育出版社,1991.