代数学基础 结构，表示，同调

代数学基础 结构，示，同调 代数学基础 结构，表示，同调 一种经典的代数结构(半群，李代数，群等)的研究通常可以划归到结合代数(或环)或量子群的研究，域上的代数相比一般交换环代数上的有着较好的加法群结构，重要的信息集中于其乘法结构。域(交换环)上的代数是一个域(交换环)上独异线性阿贝尔范畴，也是一个线性张量范畴，线性张量范畴是一般代数的范畴化。 代数A上的模M就是一个表示空间，也是基环k上的模。代数的基环为交换环,必为量子环，基环的模范畴k-Mod是张量范畴，代数A上的模M也是一个从A到k-Mod k线性张量函子，代数A的模范畴A-Mod为一个k线性阿贝尔范畴，不必为张量范畴。 代数A的同调或上同调为其模范畴上的一种具有特殊地位的上层建筑，由于代数A关于伴随表示成为A-Mod或A-Mod-A中的一个单位元性的对象，A的分解对应于A-Mod的块的分解， 这可以看作一种特殊的互反律。模范畴在某种意义上可以看作是代数A的范畴化，在森田等价的意义下确定代数。要想完全确定代数A需要分析出模范畴更精细的结构(格洛腾迪克-田中对偶)，投射模范畴可以看作代数A的K-群(环)的范畴化。模范畴的研究主要在于其上的各种特殊函子的研究，这类函子通常是可表的，它们是模的范畴化，范畴化集中体现了格洛腾迪克的关系哲学，导出函子集中反映了这些函子的一些基本行为特征，导出函子的理论就是同调理论，为了比较不同的代数的模范畴，除了森田理论之外，就是导出范畴理论，模范畴的研究就是可表函子的研究，可表函子的研究就是(导出函子)同调理论，来自于拓扑的启示，同调理论可以看作是同伦理论的推论。所以有必要考虑代数的同伦理论，这里有一个很精确的对应(贯穿于现代数学的一个基本哲学)。导出范畴理论是代数的同伦理论，它的推论就是同调理论，导出范畴是一个比模范畴大的多的范畴，但是可以通过分析导出范畴上的一些精细结构来重构模范畴，这是一个非常美妙的事情，导出范畴当然包含了模范畴上的所有的同调信息，通过导出范畴来研究同调要方便和经济的多，其实应该是一个自然的框架，甚至可以说是同调理论的范畴化。阿贝尔范畴中的蛇形引理，在同调理论 中是基本的，在导出范畴(同伦理论)中相应的结构为三角结构(pupper-dold sequence)所代替，三角结构直接预言同调理论的基本框架。 导出范畴是同伦理论的范畴化表述，其动机完全来自同伦论，dold-kan对应精确证明了这种动机是完全可以实现的。 拓扑方面的一个比较时髦的范畴化形式，所谓的闭模型理论，拓扑上的自然的范畴是三角范畴，这和阿贝尔范畴是无关的。三角范畴和正合范畴的关系? 回到代数，结构理论是代数的最基本的理论，鉴于代数的复杂性，不可能有比较完美的刻画理论，一般的做法就是根论，抽象根论是结构理论的哲学。这里结构理论也可以是模的结构理论。 抽象根论的基本方法就是对所有代数构成的范畴给出一种恰当的两重划分，一个子范畴由所谓的根对象构成，另一个子范畴由所谓的半单对象构成，两个子范畴是互补的，任意对象都可由其根和其半单部分合成(扩张)而得到，不同的划分对应不同的根理论。其实根对象被磨认为一个对象的较坏的部分，在某些问题中表现比较恶劣，所以是要被剔除出去的部分，半单对象代表问题中表现比较好的部分，相对容易控制。但是难度是守恒的，所以一般的结构还是很难搞清楚的。 所有的根理论关于粗细关系构成一个偏序集。针对不同的情况可以选择根理论，就面向问题而言根理论没有好坏只有是否合适于问题的研究。 回到经典的情况，我们有最自然的半单部分，这是结构理论最想探讨的。比如单群，单环，单李代数，以这些元素为组块，通常我们允许这些基本组块的组合方式就是直积，利用直积我们可以构作出更大的对象，所谓的半单对象。但是，这里有个问题就是对组合方式的限定是否合理或者是否充分(从分类的角度)?在有些情况下(有可能是所有的情况)，比如环，代数的情况，这确实是合理的，因为在某种意义上它们是自然的，即这些单纯对象本身就是非常坚硬的不容任何侵犯，它们之间的组合方式只能是直积，而不允许相互融合。既然我们是去组合一些对象，那么组合的方式就是非常重要的信息，这种信息可以通过一种同调的机制"完全"的提取出来，应该记住的一点就是由组合我们就可以产生同调信息。这些单纯对象的不相容性就是通过同调反映出来。当然已经说 过这些单纯对象通常是一些顽固分子，即它们之间不但不愿意合作，而且作为个体也是非常孤僻的，即它们几乎不能够被形变。 有意思的是一个对象的所有可能的无限小形变，我们同样有一套机制把它提取出来，并且变成某种同调信息。所以这些个体的孤僻行为就反映为某些同调信息平凡。 所以应该看到同调在代数中的意义是非常重大的。