数学分析读书报告-几类积分的定义,性质,计算与运用.doc

数学分析读报告-几类积分的定义,性质,计算与运用.doc 云 南 大 学 数学分析习作课,2,论文 题 目: 几类积分的定义，性质，计算与运用 学 院: 专 业: 数理基础科学 姓名、学号: 任课教师: 时 间: 2010-6-19 摘 要 本文介绍了积分的问题，介绍了几类积分的概念，性质以及计算和应用等。在论述应用时，首先给出了计算积分的一些方法、概念及。接下来阐述了积分在几何上和物理上的应用及其典型公式。把重点放在了积分的计算上，给出了积分的多种计算方法，并且分别给出了计算公式，然后用大量典型例题进一步介绍了积分的计算。每个例题都有其独特之处,具有很强的代性。然后用大量例题进一步列举出积分在几何上和物理上的具体应用。 关键词: 不定积分，定积分，二重积分，三重积分，第一、二类曲线积分，第一、二类曲面积分 定义、定理、性质、计算及公式 参考文献: 数学分析(第二版)上、下册 高等教育出版社 复旦大学数学系 编 一、不定积分 ,，，，，，，，，Fx,fxFxfx1、定义:在某一区间上，，则在这个区间上，函数叫做函数 的原函数 2、基本公式: ,,,,，，，，，，，， fxdx,fx或fxdx,fx，C,, 3、基本结论 tgxdx,lnsecx，C,ctgxdx,lnsinx，C ,, secxdx,lnsecx，tgx，C,cscxdx,lncscx，ctgx，C ,, 2a1,,22 a,xdx,t，sin2t，C,,,22,, dxdx2222， ，，,lnx，x，a，C,lnx，x,a，C,,2222x，ax,a 二、定积分 1、定积分的定义 ，，,,，，fxa,ba,bn,1设是定义在上的函数，在中任意插入若干个分点(这里插入个) a,x,x,？,x,x,b 01n,1n ,,,,,x,xa,b,来划分区间，这一分法记为。在每一个部分区间中任取一点，作和i,1ii 式 n ，， ,,f,,x,ii,1i ,x,x,x，，,x，，i,1,2,？,n,,其中，设为中的最大数，即 iii,1i ，，,,,,,max,x i,1,2,？,in ，，,,0,,a,b,,当时，如果和式的极限存在，且此极限值不依赖于的选择，也不赖于对i ，，fx,,a,b的分法，就称此极限为在上的定积分。 ",,,"这一定义可以用的说法表述如下: I,,,x,x,,0,,0,设有定数，对任意的，存在，对任意的分法，不管在中如何ii,1i ，，,,,,,max,x,,选择，只要，便有 ii,1,2,？,n n f，，,,x,I,,,ii,1i I，，,,fxa,b则称是在区间上的定积分，记为 b ，，I,fxdx,a 1 ，，bfx数和分别称为的下限和上限。和式称为的积分函数，因此在历史上是黎曼a, 首先以一般形式给出这一定义，所以也称为黎曼和数。在上述意义下的定积分，也叫黎曼积分。 ，，,,，，,,fxa,bfxa,b如果在的定积分存在，我们就说在可积(黎曼积分) ，，,,，，,,fxa,bfxa,b推论 若在上可积，则在上必有界。 定积分的几何意义: by,，，，，fxfx,0若是以连续曲线段，且，则由定积分定义可知，就表示曲，，fxdx,a y,，，x,a,x,b,y,0fx线及直线所围成的曲边梯形的面积。 baa我们:及 ，，，，，，fxdx,fxdxfxdx,0,,,,aab 2、定积分的存在条件 定理1 如果在原有的分点中加入新的分点，则上和不增，下和不减。即:若加入新 ,,,,SS,SSS,S分点后对应的上和及下和分别记为及，则，。 ，，,,,,mb,aSS定理2 对于一切分法，上和的集合有下界，下和的集合有上界 M，，，，,,Mb,afxa,b。这里分别用及记在的上确界及下确界。 m SS定理3 任意一个下和总不超过任意一个上和。即使对应不同分法的上和及下和。 ，，,fxS,L,S,l定理4(达布定理) 对任意有界函数，必有，其中规定limlim,,0,,0 ,,,为:对任意的分法，,max,x。 ii ，，,,fxa,b定理5(定积分存在的第一充分必要条件) 函数在上可积的充分必要条件 L,l是: 即 S,S limlim,,0,,0 ，，,,fxa,b定理6(定积分存在的第二充分必要条件) 函数在上可积的充分必要条件 ,,0,,0,,0是:对任意给定的两个正数及，可以找到，使当任意分法满足，，,,,,,,x,,,x,,,max,x,,时，对应幅度的那些区间的长度之和。 ,,,,iiiii,1,2,？,n,i 3、可积函数类 2 ,,,,a,ba,b(1)、上的连续函数在上必可积 (2)、只有有限个第一类不连续点的函数是可积的，即连续函数是可积的。 ,,a,b推论:在的两个函数，如果只在有限个点处具有不同的函数值，而其中的一个函数可积，那么另一个函数也可积，且积分之值相同。因而，对于一个可积函数变动它的有限个点的值，可积性不变，积分之值也不变。 (3)、单调有界函数必定可积。 4、定积分的性质 ，，,,，，,,fxa,bkkfxa,b性质1 若在上可积，为一实数，则在上也可积，且有 aa ，，，，kfxdx,kfxdx,,aa ，，，，,,，，，，,,fxgxa,bfxgxa,b性质2 若，在上可积，则在上也可积，且有 , bbb ,,，，，，，，，，fx,gxdx,fxdxgxdx,,,,aaa ，，，，,,，，，，,,fxgxa,bfxgxa,b性质3 若，在上可积，则在上也可积。 ，，,,,,fxa,b，，a,bfx性质4 若在上可积，则在上也可积。 a,c,b，，,,,,，，,,fxa,c,c,bfxa,b性质5 若，在上可积，则在上也可积，并成立 bcb ，，，，，，fxdxfxdxfxdx,，,,,aac b，，，，,0,0fx这里a,b性质6 若可积函数，则 ，，fxdx,a bb，，,,fxa,b性质7 若在上可积，则，，，， fxdx,fxdx,,aa ，，,,，，,,,,fxa,bgxa,ba,b性质8(积分第一中值定理) 若在上连续，在上不变号，且在 ,,,a,b上可积，则在中存在一点，使 bb，，f, ，，，，g，，xdxfxgxdx,,,aa x，，，，fx,,a,bFx,,a,b性质9 设在上可积，作，则是上的连续函数。 ，，，，Fx,ftdt,a 3 三、几类积分的表述与性质 表述 ,(设为一几何形体:或者是直线段，或者是曲线段，或者是一块平面图形、一块曲 面、一块空间区域等等) 1、二重积分 ,如果几何形体是一块可求面积的平面图形，那么上的积分就称为二重积分，在,,直角坐标下记为 f(x,y)dxdy ,, 2、三重积分 ,VV是一块可以求体积的空间几何体，那么上的积分就成为三重积如果几何形体 分，在直角坐标下记为 (x,y,z)dxdydz,,,v 3、第一类曲线积 ,ll如果几何形体是一可求长的空间曲线段，那么上的积分就称为第一类曲线积分， 记为 f(x,y,z)ds ,l 4、第一类曲面积分 ,SS如果几何形体是一块可求面积的曲面片，那么上的积分就称为第一类曲面积分, 记为 f(x,y,z)dS,,s ,f(M),1特别的，如果被积函数，由定义可以知道就是几何形体的度量，亦即 d,,, n d,,,,,(,的度量) ,,,,1ib,,a,b正如同定积分中是区间的长度一样。 dx,b,a,a 性质 ,,f(M)kf(M)1、若函数在上可积，则在上也可积，且有 kf(M)d,,kf(M)d,(k为常数) ,,,, 4 ,,f(M)g(M)f(M),g(M)f(M)g(M)2、若函数和都在上可积，则其和，积也在 上可积 ,,f(M),,,,3、若函数在上可积，将分成任何两个部分和，和都可度量，1122 f(M),,,,并且的每一个内点都不在中，那么在和上都可积，且 1122 f(M)d,,f(M)d,，f(M)d,,,,,,,12 ,,f(M)g(M)f(M),g(M)4、若函数和都在上可积，且在上成立着，则 f(M)d,,g(M)d,,,,, ,,f(M)f(M)5、若在上可积，则亦在上可积，且 f(M)d,,f(M)d,,,,, ,,f(M)f(M)但若在上可积，不能断定也在上可积。 ,f(M)6、第一中值定理 若在上可积，则存在常数，使得 c f(M)d,,c,(,的度量),, ,f(M)这里介于在上的上确界和下确界之间。 c *,,Mf(M)推论 若在上连续，则在上至少存在一点，使 * f(M)d,,f(M),(,的度量) ,, 四、积分的计算 (一)不定积分的计算(略) (二)定积分计算的基本公式 x，，,,,,fxa,ba,b定理1、若在连续，则函数在可导，且 ，，，，Gx,ftdt,a ,，，，，Gx,fx ,，，,,，，，，，，，，fxa,bFxfxFxfx基本公式 设在上连续，是的任意一个原函数，即=，那 么 b ，，，，，，fxdx,Fb,Fa,a 定理2、定积分的换元公式 5 ,，，,,，，，，,,，，fxa,bx,,t,t,,,,t设在上连续，作代换。其中，在闭区间上有连续导数， ,,t,,，，a,,t,b当时，则 bb, ，，，，,,，，fxdx,f,t,tdt,,aa 定积分的分部积分公式 ,,，，，，,,uxvxa,b若，在上连续，则 bbb,, ,,uvdx,uv|,uvdxa,,aa 典例 ,，，，，,,,？,,n1n331,n是偶数时:I,1,dxn,,,,,，，nn,2,？,4,2n,,Isinxdx ,,,，，，，n,1n,3,？,4,2,,n是奇数时:Isinxdx,n,,,，，nn,2,？,5,3, 杂例 111,,1、 ，，？，,ln2,,limnnn，1，22n,,,, ，，,,fx,a,a2、设在上连续，那么 ，，fx当是偶数时， aa ，，，，fxdx,2fxdx,,,0a ，，fx当是奇数时， a f，，xdx,0,,a T，，fx3、若是周期为的连续函数,则 a，TT ，，，，fxdx,fxdx,,a0其中为任意常数 a 习题 ,21xcosxdx，，,,, an22，，，，2a,xdx,0 (三)二重积分的计算 6 1、化二重积分为二次积分 从几何意义上我们可以将二重积分化为二次积分，也就是进行二次定积分计算 定理 f(x,y),,，，,,a,b;c,d即a,x,b,c,y,da,b若在矩形区域上可积，并且对上的任何，x 含参变量积分 d ，，Fx,f(x,y)dy,c bd存在，则 f(x,y)dxdy,dxf(x,y)dy,,,,ac,,,;,abcd Dy简单区域:即区域的边界曲线与平行于轴(或轴)的直线最多交于两点，或者x y有部分边界是平行于轴(或轴)的直线段。 x Df(x,y)可见，当在简单区域上连续时，就有 by(x)dx(y)22 f(x,y)d,,dxf(x,y)dy,dyf(x,y)dx,,,,,,ay(x)cx(y)11D 这就是化二重积分为二次积分的计算公式。 例1 2Dy,xy,x积分区域为直线和抛物线所围部分，求函数 1 ，，f(x,y),2,x,y2 D在上的二重积分。 D解:由于被积函数是连续的，是由两段光滑曲线所围的简单区域，故按定理 by(x)2 f(x,y)dxdy,dxf(x,y)dy,,,,ay(x)1D2Dx,y,x,0,x,1且积分区域是由不等式所表示，所以 x122xyxy,,,, dxdydxdy,2,,,,x022D 21,,,2xyx,, ,,y|dx2,,,x024,, 1111234472 ,，，x,x，x，xdx,,04120 例2 求下列曲面所界的体积 z,x，y,z,xy,x，y,1 7 x,0,y,0 其中， ，，V,x，y,xydxdy,,D Dyx，y,1解:积分区域是轴，轴，及三直线围成的三角形， x 于是 11,X，， ,，,，，Vxyxydydx,,,,00，， 11，，21,x ，,, ，，xy1xy|dx,0,,,02，， 11，，2 ,,，,,,，，，，，，x1x1x1xdx,,,02，， 1111731 ，，,，,xdx,,023224 例3 siny2Dy,xx,y计算 其中是由直线及抛物线所围成的区域 I,d,,,yD Dy解: 先对后对积分时，区域可表示为 x 2y,x,y,0,y,1 1y1yyysinsin，，,,于是有 Idydxdxdy22,,,,,,0y0y，，yy 111siny2 ,，，y,ydy,sinydy,ysinydy,,,000y 11，，,,cosy|,,ycosy，siny|,1,sin1 00 y如果化为先对后对的积分，则有 x 1xsiny I,dxdy,,0xy sinx由于的原函数不能用初等函数来表示，所以它的积分难以进一步求出。因此，在x D，，fx,y化二重积分为二次积分时，为了计算简便，就需要根据被积函数及积分区域 的不同情况而决定对哪一变量先积分。 习题 化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的二次积I,f，，x,yd,,,d 分) 222D，，x，y,rr,0(1)是由轴与所围成的区域; x 3D，，y,0,y,xx,0及x，y,2(2)是由所围成的区域; 8 1D(3)是由所围成的区域。 ，，y,x,x,2及y,x,0x 2、用极坐标计算二重积分 积分区域是圆域或者被积函数形为的积分，采用极坐标计算往往要简便得多 D1、如果积分区域可表示为 ，，，，,,,,,r,,r,r,， 12 就有 ，，frcoc,,rsin,rdrd,,,d ,r,，，2，， ,cos,sin，，fr,r,rdrd,,,,,，，r,,，，1 D2、当积分区域的边界曲线方程为 ，，，，,,,r,,,,r,r,a,r,b 12 ,就可化成先后的二次积分: r ，，frcos,,rsin,rdrd,,,Db,r，，2 ，， ,rdrfrsin,,rcos,d,,,，，ar,1 DO3、当积分区域包含极点在内时，则积分限取为 2,r，，, ，，d,fMrdr,,00 D，，Or,r,4、当积分区域的边界曲线通过极点，我们求出相继使的两个角度及，则 积分限应取为: ,r，，, ，，d,fMrdr,,0, 例4 计算 22xy,, I,edxdy,,D22Dx，y,1其中为圆域。 D解:如果采用直角坐标来计算，这个积分就无法求出，先选取极坐标，此时表示为 0,r,1,0,,,2, 故有 21,22,r,r，， ,,, Ierdrd,erdrd,,,,,,,00，，D 9 2,12,2211,r,r21，， ,,,,ed，，,rd,,,e|d,0,,,,,000，，22 2,1,1,1 ,,，，，，e,1d,,,1,e,02 例5 223z,x，y8厘米,在一个形状为旋转抛物面的容器内，已盛装有的溶液，现又倒进 3120厘米,的溶液，问液面比原来的液面升高了多少厘米, 22hz,x，y解:必须先确定容量与液面高度之间的关系。设液面高度为，则由与1z,h所围成的立体体积为 2 ，，V,z,zd,21,,D D在极坐标系内，表示为 0,r,h,0,,,2, 于是，容量与高度之间的关系是 2,h2= ，，，，d,h,rrdrV,z,zd,21,,,,00D 111,,24h22hrr|h = ,,,,,,0242,, V,8,V,128,h,4h,16把与分别代入上式，就得，。因此，所求液面比原来1212 h,h,12厘米液面升高了。 21 3、二重积分的一般变量替换 作变量替换的目的是使积分值能较易算出 ，，，，u,ux,y,v,vx,y设函数 XYDDy，，x,y在平面上的某区域内具有对和对的连续偏导数，当在上变动时，对x D，，，，，，UVu,vu,ux,y,v,vx,y应于平面上的点在区域上变动。又设函数建立了 ,DD和D之间的一一对应，并且在上雅可比式 Dx,y，，J,,0 ，，Du,v 定理 XYD，，fx,y若是平面的闭区域上的连续函数，又设 ，，，，，，u,ux,y,v,vx,y* ,DDDy，，，，**在上有关于和的连续偏导数，通过把变换为，并且变换是一对一的，x 又设 10 Dx,y，， J,,0，，Du,v 则 ,Dxy，， ,,,,f，，，，，，xydxdy,fxu，，vyuvdudv,,,,，，,DuvDD Dx,y，，,D注意:在定理中，假设变换的行列式在积分区域上非零。但有时会遇到这，，Du,v ,D样的情形，变换的行列式在区域内的个别点上等于零，或只在一条线上等于零而在 其他点上非零，以上结论任然成立。 将极坐标变换作为一个特例考虑: x,rcos,,y,rsin, 变换的雅可比式为 ,,cos,rsin J,,rsin,rcos, ，，r,0仅仅在极点处雅可比式为零，在其他点上雅可比式非零。按照换元法则中的注 D解，因而对任何不论是否包含极点的区域成立 ，，，，fx,ydxdy,frcos,,rsin,rdrd,,,,,DD rdrd,这里为面积元素。这就是已经叙述过的极坐标变换下二重积分的计算法。 在各个具体问题中，选择变换公式的依据有两条: ，，i 如同定积分那样使得经过变换后的函数容易积分。 ，，ii 使得积分限很容易安排 例6 22，，，，y,px,y,qx0,p,qxy,a,xy,b0,a,b求出由抛物线以及双曲线所围区域 的面积。 2y解: 作变换 ,u,xy,vx ,XYDDUV在这个变换下，平面上的区域变为平面上的区域 p,u,q,a,v,b 变换的雅可比式 Dx,y111，，J ,,,,2，，Du,v3u3y，，Du,v x，，Dx,y 于是所求面积为 11 1 D,dxdy,dudv,,,,3uDD bqq11dvduba ，，,,,ln,,apup33 习题 22,x，y，，，，1 edxdy,,222x，y,R 222,,xyxy,,，，，,2求曲线所围的面积 222,,abc,, (四)三重积分的计算 1、先考虑积分区域是长方体的情况 定理 ,,，，，，fx,y,za,b;c,d;e,f即a,x,b,c,y,d,e,z,f设在长方体上可积，并且对 f,,x,ya,b;c,d上的任何含多变量积分存在，则 ，，fx,y,zdz,e f，， ,，，，，fx,y,zdxdydzfx,y,zdzdxdy,,,,,,,e,，，,,a,b;c,d;e,f,,a,b;c,d 等式右边的逐次积分常简记为 f ，，dxdyfx,y,zdz,,,e,,a,b;c,d 利用逐次积分的计算公式，进一步把三重积分化为三次积分来计算，用类似方法，可以先把三重积分化为先计算一个二重积分，再算一个定积分，如下: f ，，，，fx,y,zdxdydz,dzfx,y,zdxdy,,,,,,e,,a,b;c,d;e,f,,a,b;c,d 2、对于一般区域，有下面结论 V设为一块可求体积的空间区域，它的边界曲面和任何平行于坐标轴的直线至多交于 ，，fx,y,zVV两点。函数定义在区域上，并且在上连续。考虑三重积分 ，，fx,y,zdxdydz,,,V 化逐次积分的问题 XY，，，，Vz,zx,yz,zx,yV设积分区域的曲线方程为及区域在平面上的投影为12 ,，那么 xy zx,y，，2 ，，，，,dxdyfx,y,zdzfx,y,zdxdydz,,,,,,，，zx,y1V,xy XY，，，，，，,y,yxy,yxa,x,b又若平面上的区域为由曲线，所围成的区域，再xy12 12 按照二重积分化为定积分的计算方法得: byxzx,y，，，，22= ，，dxdyfx,y,zdz，，fx,y,zdxdydz,,,,,,，，，，ayxzx,y11V V也可以这样理解，积分限的安排是根据把积分区域作为由以下不等式所描述确定的: ，，，，，，，，zx,y,z,zx,y,yx,y,yx,a,x,b 1212 XZYZ也可以把积分区域投影到平面或平面，可以得到类似的公式。 例7 计算积分 I,xdxdydz,,,V x，2y，z,1VV区域由三个坐标平面及平面围成，这个区域可以这样来表示，它的 XYz,1,x,2yz,0,下底为平面，它的上底为平面，它在平面上的投影是由xy y,0x，2y,1x,0，以及所围成，于是 1,x1,x,2y11,x,2y2I,dxdyxdz,xdxdydz ,,,,,,0000,xy 1,x1,xy,11222 ,,，，,xdx1,x,2ydy,xy,xy,ydxy,0,,,000 111232 ,，，x,x，xdx,,0448 YZV若将区域投影在平面上在进行计算，则有 11,2y1,2y,z12 I,dydzxdx,,,,00048 3、三重积分的变量替换 关于三重积分的变量替换，与二重积分相仿，设作变换 x,xu,v,w，，, ,，，y,yu,v,w , ,，，z,zu,v,w, Dx,y,z，，且 J,,0 ，，Du,v,w ,，，，，Vx,y,zVu,v,w假设这些函数建立了区域的点与区域的点之间的一一对应关系，并且这些函数都在所论区域上有连续偏导数。这时存在逆变换 u,ux,y,z，，, ,，，v,vx,y,z , ,，，w,wx,y,z, 13 于是三重积分的还原法则为: ，，fx,y,zdxdydz,,,V f，，x，，，，，，u,v,w,yu,v,w,zu,v,wJdudvdw,,,,V 在曲线坐标之下，体积元素为 Dx,y,z，，dV,dudvdw，，Du,v,w Dx,y,z，，V当雅可比式在区域的个别点上或某条曲线，某块曲面上等于零，而在其它，，Du,v,w 点处非零食时，换元法仍成立 两种最常用的坐标变换 ，，1柱面坐标 XY，，，，Mx,y,zPx,y设空间一点在平面上的投影为， PM，，，，r,,r,,,z如点的极坐标为，则叫做点的柱面坐标， M，，0,r,，,其中是点到轴的距离， rz XZPOM，，,0,,,2,是平面与平面的交角。 r,常数在柱面坐标系中，三族坐标面为:，即以轴为轴的圆柱面，半径是; zr ZXXY,,常数Z,常数,，即过轴的半平面，它和平面的夹角为;，即平行于平z 面的平面。 这三族曲(平面)，两两正交，所以柱面坐标系是正交坐标系。 M，，，，x,y,zr,,,z点的直角坐标与它的柱面坐标之间的关系为 ,x,rcos, , y,rsin,, ,z,z, ，，这里0,r,,,0,,,2,,,,,z,，,J,r，此时变换的雅可比式为，于是在柱面坐 rdrd,dz标下，体积元素为。 因此，柱面坐标变换时，有 rdrd,dz f，，x,y,zdV,f，，rcos,,rsin,,z,,,,,,VV 这就是直角坐标中三重积分变换为柱面坐标中三重积分的计算公式 ，，Vr,,V这个三重积分可以化为逐次积分来计算。一般总是将区域投影在平面上，记 ，，r,,,在平面上的投影为，将三重积分化为 r, zr,,，，2 frdrd,dz,rdrd,fdz,,,,,,，，zr,,1V,r, 14 例8 求 I,zdxdydz,,,V 22222Vx，y，z,4x，y,3z是球面与抛物面所围部分，用柱面坐标作变换，上面两 个曲面方程分别变换为 222r，z,4r,3z及 它们的交线是 z,1, ,r,3, ，，Vr,,,因此在平面上的投影为 r, ，，r,3在z,0平面上 是一个圆，于是 24,r,I,rdrdzdz12,,,r3,r, 22,34,r13d,rdrzdz,,12,,,00r43 ，，2球面坐标 XY，，，，，，,Mx,y,zPx,yOM,,0,,,，,设空间一点在平面上的投影为点，，是有 OM，，XZ与POM0,,,,,向线段与轴的正向之间的交角，是两平面的交角z M，，，，0,,,2,,,,,,，则叫做点的球面坐标 ,,常数,,常数在球面坐标系中，三族坐标面为:，即以原点为中心的球面;，即 ,,常数以原点为顶点，轴为轴的圆锥面; ，即过轴的半平面。 zz这三族曲(平面)，两两正交，所以球面坐标系是正交坐标系。 P是点M在XYOP,r设点平面上的垂直投影，并设， OMPr,,sin,P点的极坐标为x,rcos,,y,rsiin,则，又从直角三角形中，有， z,,cos,。所以，点的直角坐标与它的球面坐标的关系为 x,,sin,cos,y,,sin,sin,z,,cos,，，， ,,0,0,,,2,,0,,,,其中，，变换的雅可比式为 2J,sin,, 所以在球坐标中，体积元素为 2dV,sinddd,,,,, 于是得到 fx,y,zdV，，,,,V 2，，,f,sin,cos,,,sin,sin,,,cos,,sin,d,d,d,,,,V 15 这就是直角坐标中三重积分变换为球面坐标中三重积分的计算公式 ，MOP作为,有时，取，这时点的直角坐标与它的球面坐标的关系成为 x,,cos,cos,y,,cos,sin,z,,sin,，， ,,而0,02,， ,,,,,,,,,,22变换的雅可比式变为 2J,cos,, 相应的，体积元素为 2dV,cosddd,,,,, 例9 222V，，，，Vx，y，z,2rza,0以z轴为轴，顶角为2,设为球面和锥面所围的部分。求 的体积。 解: 利用球面坐标，此时上面两个曲面的方程变换为: ,,,2rcos ,,, 于是体积为: ,,,22cosr2,,,,,,sinVddd,,,000 33,,84rr34,,2,cos,sin,,,，，1,cos,d,033 (五)、第一类曲线积分的计算 ，，fx,y,zll设函数在光滑曲线上有定义且连续，的方程为 x,xt,，，, ,，，t,t,T，， y,yt,,0 ,，，z,zt,, 利用求弧长的公式，可以把第一类曲线积分化为定积分来计算。 运用公式如下: T222,,,，，，，，，，，,, fx,y,zds,fxt,yt,ztx，y，zdtttt,,lt0 ，，，，ly,,xa,x,b特别的，如果曲线为一光滑的平面曲线，它的方程为，那么有 b2, f，，，，x,ydsf,,x,,x1,,,，，xdx,，,,la 例10 16 l若为右半单位圆周，求 I,yds,l 解: 22lx，y,1,x,0为半圆: x,由 y,,y 22x，ydx2,ds,,，ydx,,dx,,12yy :ds,0AC,由于dx,0符号的选取应保证，在圆弧段，故 dx ds,y :dx,0CB而在圆弧段上，由于，故 dx ds,,y ,,dx1,,I,yds,y,，y,,dx::,,,,,lACCByy,,所以: 10,dx,dx,2,,01 习题 计算为顶点的三角形 ，，，，，，，，x，yds,l是以O0,0,A1,0,B0,1,l (六)第二类曲线积分的计算 1、变力做功与第二类曲线积分的定义 LL，，fx,y,z设为一条光滑或逐段光滑曲线，且设是定义在上的有界函数。将沿一确 ABA，，x,y,zAA定方向从起点开始用分点分成个有向弧段，直至终点，且设niiiiii，1,x,x,x，，AAP,,,,,。在每一弧段上任取一点，作和式: ii，1iii，1iiii nn ，，，， ,,fP,x,f,,,,,,x,,iiiiii,1,1ii AB，，A，，x,y,zAx,y,z,,,,AA其中为起点，为终点。设，这里1111n，1n，1n，1n，1ii，1maxi IL,,0AAAA表示有向线段的长度。若当时，和有极限，且它与的分法无,ii，1ii，1 IL，，Pfx,y,zdx关，也与点的选择无关，则称为沿曲线按所属方向的第二类曲线积i 分，记作 ，，，，I,fx,y,zdx或I,fx,y,zdx ,,LAB 17 2、第二类曲线积分的计算 曲线积分化为定积分的公式: 在平面情况，设光滑曲线的参数方程为 ，，，，x,xt,y,yt，，t,t,T 0:TABABtt，，x,y且设当从单调地增加到时，点从点沿连续地移动到点且设曲线自0 身不相交。那么，也有曲线积分化为定积分的公式: Px,ydxQx,ydy，，，，，,AB T,,，，，，,,，，，，，，，，,,,,,Pxt,ytxt，Qxt,ytytdt,t0:AB如空间曲线是由 A，，，，，，，，y,yx,z,zxa,x,bbx,y,z 表示的，且设当单调地从增加到时，点从点xa:BAB，，，，,,，，yx,zxa,bPx,y,z连续地移动到点，则只须在上连续，在上连续，就有 b ，，，，，，,,Px,y,zdx,Px,yx,zxdx:,,ABa 注意: 1,T、t对应起点对应终点,0 ,20、若曲线垂直于x轴，则其上第二类曲线称为, 例11 计算曲线积分: 2222，，，，I,x，ydx，x,ydy ,C ，，，，，，CP1,1B2,0y,1,1,x0,x,2.其中为折线且设从原点经过点到点是积分所沿 的方向 0,x,1y,1,1,x,x解:当时， 1,x,2y,2,x 当时， 运用计算公式有 2222,，，，,Ixydxxydy，，，，，，,,OPPB `12222222022,，,，，,，,,,,,，，,,，，，， xdxdxxxdxxxdx,,01 224,，,333 两类曲线积分一般的联系公式 第一类与第二类曲线积分的定义是不同的，由于都是沿曲线的积分，两者之间有密切 18 联系。可以将一个第二类曲线积分化为第一类曲线积分，反之也一样。 ，，，，，，Px,y,zdx，Qx,y,zdy，Rx,y,zdz:,AB = ,，，，，，，，，，，，，,Px,y,zcost,x，Qx,y,zcost,y，Rx,y,zcost,zds:,AB 习题 计算第二类曲线积分 2221x,2xydx，y,2xydy,l为y,x从1，1到,1，1，，，，，，，，，，,l 2222，，，，，，，，，，，，，，2x，ydx，x,ydy,l为以A1,0,B2,0,C2,1,D1,1为顶点的正方形，正向,l (七)第一类曲面积分的计算 n,S1、曲面的面积:认为和数的极限值就是所考虑的曲面的面积 ,S,i,1i 、化第一类曲面积分为二重积分 2 利用曲面面积的表达式，可以将第一类曲面积分化为二重积分: 22 ，，，，,,,x,y,zdS,,x,y,fx,y1，f，fdxdyxy,,,,,Sxy 若曲面的方程表示为参数形式 x,xu,v，，, ,，， y,yu,v, ,，，z,zu,v, ，，，，，，Su,v这里u，v,时，假设曲面没有重点，即上的点与中的点是一一对应,, ，，，，，，xu,v,yu,v,zu,v的，同时函数皆在上具有对和的连续偏导数，并且其雅可uv, 2比矩阵在上的秩为，可得 , 2 ，，，，，，,,,x,y,zdS,,xu,v,yu,v,zvEG,Fdudv,,,,S,xy 222E,x，y，zuuu F,xx，yy，zz这里 uvuvuv 222G,x，y，zvvv 例12 2222x，y，z，a,z,0计算是球面 ，，x，y，zdS,S,,S 222z,a,x,y解:因 19 ,z,x,z,y,,所以 ， 222222,x,ya,x,ya,x,y 从而 ，，xyzdS，，,,S 22222,,，，axyxy，，222,，， ,，，,,xyaxyd,,222,,axy, a222，，,x，y，a,x,yd,,,222,,axy, XY其中，是平面上以原点为中心，半径为的圆。化为极坐标来计算，即得 ,a x，y，zdS，，,,S ，，2a,a22,,,,rcos，rsin，a,rdrdr，， ,,,,0022a,r，， a3,2,ardr,,a,0 习题 2221计算曲面面积:z,axy包含在圆柱x，y,a内的部分，， 222，，，，2计算第一类曲面积分:x，y，zdS,S:左半球面x，y,a,y,0,,S (八)第二类曲面积分的计算 1、曲面的侧的概念，包括单侧，双侧，上侧，下侧 切平面:由两偏导数所得切线构成 S曲面在每一点都有切平面，从而在每一点都有确定的法线。曲面的法线方向余弦为 ,p1,qcos,cos,cos,，， ,,,222222,1，p，q,1，p，q,1，p，q cos,,0根式前符号的选择正好确定了曲面的一侧。如:若选取正号，则，即法线与 ,正向轴的夹角为锐角。把这样确定的一侧称为上侧，若选取负号，则所确定的一z ,侧叫做下侧，在下侧，法线与正向轴的夹角为钝角。 z 2、第二类曲面积分的定义 显示方程 XY，，z,zx,ySS表示的无重点的光滑曲面，并设在平面上的投影为边界由逐段光滑 ,曲线所围成的区域，设选定了曲面的另一侧，从而也确定了它的定向。 xy 20 XYSS，，i,1,2？,nGS现将有向曲面以任何方法分割为小块。设为在平面上的投niii G,影，从而也得到区域的一个相应分割。如果选的是上侧，这是所有算作正的，xyi ，，Gfx,y,zSS如取下侧，这时所有算作负的。设有界函数定义在上，在每一小块内ii ，，P,,,,,任取一点，作和式: iiii n ，，,,f,,,,,D,iiii,1i DGD其中表示的面积。由上所述，是带有符号的，它们的符号是有所选的曲面的iii IdS,,0,,,,d侧来决定的。设为的直径，记。若当时，有确定极限，,iiimaxi IISP且与曲面分割的方法无关，也与点的选择无关，则称为沿曲面的选定的一侧i 上的第二类曲面积分，记为 I,f，，x,y,zdxdy,,S YZZXS若将投射到平面上或平面上，可得到类似的两个第二类曲面积分: i 或 f，，x,y,zdydzf，，x,y,zdzdx,,,,SS 有时也遇到以上几个积分连在一起的情形，例如: P，，，，，，x,y,zdydz，Qx,y,zdzdx，Rx,y,zdxdy,,S ，，，，，，Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,zS其中都是定义在曲面上的有界函数 注意:第二类曲面积分与曲面的定侧有关，如果改变定侧，则积分值也改变符号，而 SZOY,第一类曲面积分的值与曲面的定侧无关。若曲面垂直于平面，则不形成平ZY 面区域，此时， P，，x,y,zdxdy,0,,S 3、两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算 两类曲面积分的定义是不同的，然而它们也有密切关系，可以将一个第二类曲面积分 化为第一类曲面积分，反之也一样。 相互关系: f，，，，x,y,zdxdy,fx,y,zcos,dS,,,,SS ,但是要注意的是，如果改为选取曲面的下侧，则左端的积分值应变号，但这时因变 cos,为钝角，故也改变符号，故右边的积分值也应变号。因之，公式的成立与曲面的侧的选取无关。 相似的，也有一下公式: 21 f，，，，x,y,zdyyz,fx,y,zcos,dS,,,,SS f，，，，x,y,zdzdx,fx,y,zcos,dS,,,,SS 第二类曲面积分的计算法则 XY，，S，，Sz,zx,yx,y还是用显示方程表示的光滑曲面出发，其中属于在平面上的投 ，，S,SP,,,,,影区域。设积分是沿上侧取的，则的投影面积都是正的。因点在上，xyiiiii ,z，，,,,,故，于是 iii n ，，,,f,,,,,,z,,,D,iiiii,1i 从而就变为二重积分 , ，，，，fx,y,zx,ydxdy,,,xy xy,,GG,,0S的积分和。设是在平面上的投影，且设是最大的直径，则当时，IIi 也趋于零，从而 f，，x,y,zdxdy,，，fx,y,z，，x,ydxdy,,,,S,xy SSxy,这样就将沿曲面上的积分化为在平面上的投影区域的二重积分。这二重积xy ，，，，fx,y,zzx,y分的被积函数是由中的换成曲面方程中的函数得来的。 z 若取曲面的下侧，则曲面积分变号，故有 - f，，x,y,zdxdy,，，fx,y,z，，x,ydxdy,,,,S,xy 同样，也有相似公式 f，，x,y,zdydz,，，，，fxy,z,y,zdydz,,,,,S,xy f，，x,y,zdzdx,，，fx,y，，x,z,zdzdx,,,,,S,xy 这两个公式中，右端的正负号的选取与上所述相同。 ，，，，，，Sx,xu,vy,yu,vz,zu,v如果曲面是由参数方程，，表示，也可将第二类曲面 积分化为二重积分计算。因为 C cos,,,222A，B，C 2222dS,EG,Fdudv,A，B，Cdudv 将这两个公式代入两类曲面积分的联系公式，就得 ，，，，，， f，，x,y,zdxdy,,,,fxu,v,yu,v,zu,vCdudx,,,,S, ,u,vUV其中为平面上的变化区域。 22 SS注:可设曲面为一片片的有限个光滑曲面所合成，这时沿曲面的积分等于沿这有 限个光滑曲面的积分之和。 例13 OABC计算，是四面体所城的曲面，且设积分是沿曲面I,，，x，1dydz，ydzdx，dxdy,,S 的外侧。显然 ,,，，S,，，，x，1dydz，ydzdx，dxdy ,,,,,,,,,,OBCOCBOACABC,, 1 ，1，，,,,,,，，xdydzydzdxdxdydxdydxdy,,,,,,2OBAOBA,xy 1，，因x,0，1，，,，1,,,, ，，，，xdydzydzdxdxdyxdydzdydz,,,,,,2OBCOCB,xy ，，因y,0 ，，x，1dydz，ydzdx，dxdy,ydzdx,0,,,,OACOAC 11,y2122 ，，，，，，x，dydz,,y,zdydz,dy,y,zdz,,,,,,,003,ABCyz 11,x111 ，，，，ydzdx,,x,zdzdx,dx,x,zdz,,,,,,,006,ABCzx 1,, dxdydxdy,,,,2ABC,xy ,112111,,I,，,，0，，，,故得 ,,223623,, 习题 计算是以原点为中心的正方体(每边长度为，，，，，，x，ydydz，y，zdzdx，z，xdxdy,S,,S 2)的边界，指向外侧。 五、几类积分的联系 D，，lPx,y1、格林公式(定理)设是以光滑曲线为边界的平面单连通区域，函数和 D，，yQx,yl在及上连续并具有对和的连续偏导数，则有: x ,,,Q,P ,,,dxdy,Pdx，Qdy,,,,,l,x,y,,D 23 VS，，Px,y,z2、高斯公式(定理) 设空间二维单连通区域的边界曲面是光滑的，函数， ，，，，VSx,y,zQx,y,zRx,y,z，在及具有关于的连续偏导数，则有 ,,,P,Q,R,,，，dxdydz,,,,,,x,y,z,,V ，，，，，，,,,Pcosn,x，Qcosn,y，Rcosn,zdS ,,S Pdydz，Qdzdx，Rdxdy,,S L，，SPx,y,z3、斯托克司公式(定理) 若光滑曲面的边界为光滑曲线，函数， L，，，，x,y,zQx,y,zRx,y,zS，在曲面及曲线上具有对的连续偏导数，则成立以下 的公式: ，，pdxQdyRdz,L ，，,,,,,R,Q,P,R,Q,P,,,,,,，，，，，，,,cosn,x，,cosn,y，,cosn,zdS,,,,,,,,,,,,,,,,yzzxxy,,,,,,S，， ，，,,,,,,,,,,RQPRQP,, ,,,,,,，,，,dydzdzdxdxdy,,,,,,,,,,,,,,,,yzzxxy,,,,,,S，， 24