向量组的秩和最大线性无关组

向量组的秩和最大线性无关组 向量组的秩和最大线性无关组 引例:对于方程组 2 x1 x2 x3 1 x1 22 2 x3 1 x 3 3 x 2 1 2 3 容易发现其有效方程的个数为 2 个，因为第 3 个方程可由第 1 个方程减去第 2 个方程得到(或者第 3 个方程是第 1 个方程和第 2 个方程的线性组合); 由于本章的内容是用向量的关系来研究方程组解的情况，进而从方程 (或者也可以说成等价有效)的最组 3 个方程对应的 3 个向量来说“有用”少的向量是 2 个。 (或者也可以说成等价有 因此，对于一个给定的向量组，其中“有用”效)的最少的向量应该有多少个呢,在此我们提出最大线性无关组的概念: 最大线性无关组:在 α 1 α 2 α s 中，存在 α i1 α i 2 α ip 满足: (1) α i1 α i 2 α ip 线性无关; (2)在 α i1 α i 2 α ip 中再添加一个向量就线性相关。则称 α i1 α i 2 α ip 是 α 1 α 2 α s 的一个最大线性无关组，注: ?、不难看出条件(2)等价的说法还有 α 1 α 2 α s 中任一向量均可由α i1 α i 2 α ip 线性表示;或者亦可以说成 α 1 α 2 α s 中任意 p 1 个向量均线性相关; ?、从最大线性无关组的定义可以看出最大线性无关组与原先的向量组可以相互线性表示，进而最大线性无关组与原先的向量组是等价的(即 ;有效的最少的方程构成的方程组与原先的方程组是等价的) ?、从上面的方程组可以看出同解的有效方程组可以是第 1、2 两个方程构成，也可以是第 2、3 两个方程构成(因为第 1 个方程可以看成第 2、3两个方程的和)，因此从其对应的向量组来说，向量组的最大线性无关组是不唯一的; ?、可以发现，虽然同解的有效方程组的形式可以不一样，但是同解的有效方程组中所含的方程的个数是唯一的，即从其对应的向量组来说，最大线性无关组虽然不唯一，但是最大线性无关组中所含向量的个数唯一的。这是从数的角度反映了向量组的性质，在此给出向量组的秩的概念: 向量组的秩:称最大线性无关组中所含向量的个数为向量组的秩，如上 面 定 义 中 α i1 α i 2 α ip 是 α 1 α 2 α s 的 一 个 最 大 线 性 无 关 组 ， 则 称α 1 α 2 α s 的秩为 p ，记为 Rα1 α 2 α s p 。 例:求向量组 α1 3 6 4 21T α 2 2 4 31 0T α 3 1 21 2 3T α4 1 2 131T 的秩及一个最大线性无关组，并将其余的向量用最大线性无关组表示。 分析:容易发现用定义的形式很难求秩和最大线性无关组，为此我们从方程组和矩阵之间的关系以及方程组和向量组之间的关系可以得到，向量组的秩及其最大线性无关组应该与其对应的矩阵的秩以及矩阵的最高阶非零子式之间有某种关系，为此我们给出:定理:矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩. 略证:设 A 的秩为 r ，则在 A 中存在 r 阶子式 Dr ? 0 ，从而 Dr 所在的 r 列线性无关，又 A 中的所有的 r 1 阶子式 Dr 1 0 ，因此 A 中的任意 r 1 个列向量 都线性相关，因此 Dr 所在的 r 列是 A 的列向量组的最大线性无关组，所以 列 向量组的秩等于 r 。 类似可证矩阵 A 的行向量组的秩等于 r 。 同时从证明的过程可以发现:若 Dr 是矩阵 A 的一个最高阶非零子式， 则 Dr 所在的 r 列即是 A 的列向量组的一个最大线性无关组;同时 Dr 所在的 r 行即是 A 的行向量组的一个最大线性无关组。 我们现在求解上面的问题，把上面的 4 个向量看成某矩阵 A 的 4 列进行求解。 解: 3 2 1 1 1 0 3 1 1 0 3 1 6 4 2 2 6 4 2 2 0 1 4 1 α1 α A 2 α3 α 4 4 3 1 1 ? 4 3 1 1 ? 0 0 1 0 2 1 2 3 2 1 2 3 0 0 0 0 0 3 1 3 2 1 1 0 1 0 0 0所以 Rα1 α 2 α 3 α 4 R A 3 ， α1 α 2 α 3 是 α1 α 2 α 3 α 4 的 一 个 最 大 线 性 无 关 组 。 当 然 易 见 α1 α 2 α 4 亦 是 (α1 α 2 α 3 α 4 的一个最大线性无关组) 为了把 α 4 用 α1 α 2 α 3 线性表示，把 A 再变成行最简形矩阵 1 0 0 1 0 1 0 1 A ? 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 易见 α α1 α 2 。 4 (初等变换前后列向量组之间的线性表示形式是保持不变的) 同时可以验证上面的线性表示的结果是正确的。感悟:由于我们现在教学正好讲到向量组的秩和最大线性无关组这一部分， (同解作为其定义形式很难引入，通过此次培训，可以从方程组的“有效”并是最少的)方程组的形式及个数(就像李老师所说的“打假”后剩下的方程组)来提出向量组的最大线性无关组以及向量组的秩的概念，避免了向量的抽象性，而且学生对方程组十分熟悉，进而很容易过渡到最大线性无关组以及向量组的秩的概念。学生听课效果以及接受情况相当不错～