圆柱（锥）侧面展开图问题举例

圆柱（锥）侧面展开图问题举例 应城市开发区学校:陈浩熹 圆柱(锥)侧面展开图问题举例 由于圆柱、圆锥问题涉及到空间想像、计算、推理等能力，所以近年中考中常出现这类问题。其中圆柱、圆锥的侧面展开图问题出现频率较高，本文列举几例。 圆柱的侧面展开图是以圆柱的底面周长为一边，圆柱的母线为另一边的矩形。圆锥的侧面展开图是以圆锥的底面周长为弧，母线为半径的扇形。 例1(已知矩形ABCD的一边AB,5 cm，另一边BC,2 cm，求以矩形的一边所在直线为轴旋转一周所得到的圆柱的面积. 错解:如图1，以AB为轴旋转一周所得到的圆柱的高AB,5 cm，底面半径BC,2 cm，根据圆柱2的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，得S,2π×2×5,20π( cm) 侧面积 图1 2答:以矩形一边所在直线为轴旋转一周所得圆柱的表面积为20π cm( 剖析:错误的主要原因有两个:其一是把圆柱的侧面积误认为是圆柱的表面积，而圆柱的侧面积与圆柱的表面积是两个不同的概念，圆柱的表面积不仅包括圆柱的侧面积，而且包括圆柱的两个底面圆的面积;其二是只考虑了以直线AB为轴旋转一周所得圆柱的情形，却没有考虑以直线BC为轴旋转一周所得圆柱的情形，而这两种旋转方式所得圆柱是两个不同的圆柱，虽然它们的侧面积相同，但它们的表面积不同，因而出现漏解现象. 正解:分两种情形: (1)以直线AB为轴旋转一周，此时所得圆柱的高为5 cm，底面圆半径为另一边AD的长2 cm( 222?S,2π×2×5,20π( cm)，S,π×2,4π( cm). 侧面积底面积2?S,S，2S,20π，2×4π,28π( cm)( 表面积侧底 (2)以直线AD为轴旋转一周，此时所得圆柱的高为2 cm，底面圆半径为另一边AB的长5 cm( 222?S,2π×5×2,20π( cm)，S,π×5,25π( cm)， 侧面积底2?S,S，2S,20π，2×25π,70π( cm)( 表侧底22综上所述,以矩形一边所在直线为轴旋转一周所得圆柱的表面积为28πcm或70πcm( 例2(经过一个带盖的圆锥形容器的轴的剖面是一个等腰三角形(如图2)，它的腰长等于圆锥的母线长，底边长等于圆锥底面的直径，其尺寸如图2所示(单位: cm). (1)求圆锥形容器的侧面积和它的侧面展开图的圆心角α; (2)如图3是一个直径等于60 cm的半圆形铁皮，如何把它裁剪，可以做成这个带盖的圆锥形容器(不考虑缝接处的用料，在图3中用虚线画出裁剪线，并注明必要的角度、线段长;画图工具不限，不要求写画法). 图2 图3 图4 1解:(1)?S=×2πr?l(其中r是底面圆半径，l是母线长)， 侧22?S=πrl=π×10×30=300π( cm). 侧 圆锥形容器的侧面展开图是一扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，半径等于母线长30. - 1 - 应城市开发区学校:陈浩熹 ,30n,设α=n?,?=2π×10. 180 ?n=120.?α=120?. (2)由题意知，圆锥侧面展开图扇形的直径是60，圆心角是120?， 截剪方式如图4其中?COD=120?，?O′与OD、OA及相切 设?O′半径为r，则OO′=OB,r=30,r, ?O′OA=30?.?30,r=2r. ?r=10.?OO′=20. 则?O′的圆心O′在?DOA的角平分线上且OO′=20.?O′的半径为10. 例3(如图5，圆柱体底面上两点B、E处有两只蚂蚁欲争夺D处食物，若甲蚂蚁从B出发沿侧面 虚线爬行，乙蚂蚁从E处沿和母线CD方向爬行，两蚂蚁速度相同，若CD=4，底面圆半径为1. 图5 (1)若E为的中点，问甲有先得到食物的可能吗,请说明理由. (2)若?EOC=60?，甲有先得到食物的可能吗,为什么, 剖析:因为甲、乙的速度一样，那么，甲、乙爬行路线的长短决定谁能否先得到食物.在圆柱体上 显然不好比较长短，不妨把它侧面展开，那么在侧面展开图中看到走直线方向的能先得食物. 解:(1)甲有先得到食物的可能.如图6. 图6 从侧面展开图中可知，甲沿着侧面展开图中的线段BD走，其走的路程为 1222CD，(,2,,1),16，,BD=， 2 1乙走的路程为:CD+ =4+π. 2 12?16，,,4+π，?BD,CD+. 2 (2)当?EOC=60?时，甲没有先得到食物的可能. 11?乙走的路程为:CD+=4+?π?1=4+π， 33 1216，,又,4+π，?BD,CD+. 3 - 2 -