垂径定理 四量关系

垂径定理 四量关系 圆的相关概念及垂径定理 一、圆及相关概念 圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到____的距离等于____•的点组成的图形，圆心确定____，半径确定______( 1(点P到?O的最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则?O的半径是 2(如图所示，____是直径，_____ 是弦，以E为端点的劣弧有_____ _，以A为端点的优弧有____ ___( 3.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16，则该半圆的半径为 A C EFDC C AB O DOB A D B 4.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10cm,DE=3cm, AG=2cm,则EF= . 5(? O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交? O于B、C,则BC等于 6.已知:如图所示，Rt?ABC的两直角边BC=3cm，AC=4cm，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，半径为r作圆。写出下列情况时，点D与圆的位置关系.当r=2cm， .当r=2.4cm， .当r=3cm， 3 二、垂径定理及推论:? ? ? ? ? 如图，已知直径AB垂直于弦CD于点E，则有 A CB OO DE CD BA 例1:. 如图，弦CD垂直于?O的直径AB，垂足为H，且CD=，BD=，则AB的长为多少, 322 1上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9mm，如图所 示，则小孔的直径AB为______( 2如图所示?O的半径为5，弦AB长为8，点M在线段AB(包括端点A、B)上移动，则OM的取值范围是 3.? ABC内接于?O，D为线段AB的中点，延长OD交?O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论?AB?DE,?AE=BE,?OD=DE,??AEO=?C ，?,正确结论 4(如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B;两点，点P的坐标为(4，2),点A的坐标为(，0)则点B的坐23标为 ( 05. 如图，?O过点B 、C。圆心O在等腰直角?ABC的内部，?BAC,90，OA,1，BC,6，则?O的半径为 1 6(如图，?O的半径OP,10cm，弦AB过OP中点Q，且?OQB,45?，则弦AB的弦心距是___________cm，弦AB的长为___________( 7(如图7,38，在以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，AB,2CD，弦AB的弦心距 1rOP,CD，小圆和大圆半径分别为r、R，则,___________( 2R 8.如图在两个同心圆中大圆的弦AB交小圆于C、D两点设大圆和小圆的半径分别为a、b求证AD×BD=a?-b? 提高: 1.?如图?，多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，?O过A、D、E三点，则?O的半径等于 . ?如图?，若多边形ABDEC是由等腰三角形ABC和矩形BDEC组成，AB=AC=BD=2，?O过A、D、E三点，则?O的半径是否改变, AA答: . CBC BOO DEDE 2.如图，?O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD,16cm，AE?CD于E，BF?CD于F，求AE,BF的C值。 E G B,AO FD 第2图 N拓展: h2如图，AB是?O的直径，且AB=10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆周上滑动，始终与 BAOh,hAB相交，记点A、B到MN得距离为，则等于 h,h12h121 M 3.?O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB?CD.求AB与CD之间的距离. 4.如图24-1-3-4，?O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6 cm，EB=2 cm，?CEA=30?，求CD的长. C EA BO D 2 22AB，CD5.如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，求的值 C O E B A D 例 图 三、弦、弦心距、弧、圆心角 定理: 1.下列说法中，正确的是( ) A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等 2(下列说法正确的有_______((填序号) ?直径是弦;?弦是直径;?半圆是弧，但弧不一定是半圆;?长度相等的两条弧是半圆 3.对于内接于圆的梯形，下面四个结论:?该梯形是等腰梯形;?该梯形是直角梯形;?该梯形对角 线相等且互相平分;?该梯形对角互补. 其中正确的结论 为 4. 如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。你认为图中有哪些相等的线段 FE CD CDB E A OEA B O C O ADB 5. 如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD?AB，OE?AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。 6.如图所示，AB是?O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交?O于点E、F.试证:弧AE=弧BF. 7(如图，AB是?O的直径，点E、F分别是OA、OB的中点，且EC?AB，FD?AB，EC、FD交?O于C、D两点，求证:,( 8(如图，弦AB和CD相交于?O内一点P，且?OPB,?OPD，求证:(1),; (2)PA,PC( 9(如图7,47，在?O中，弦AB,CD，延长AB到点E，延长CD到F，使得BE,DF，过O作OP?EF，垂足为P，求证:PE,PF( 3 四、圆周角: 例题:AB为?O的直径，AC交?O于E点，BC交?O于D点，CD=BD，?C=70?( 现给出以下四个结论: ??A=45?;?AC=AB:??弧AE等于弧BE; ?CE•AB=2BD2(其中正确结论的序号是 ;并证明你的结论 CA AED B OCOBD AC OBCAED B(第十五题图)(第十三题图) (第十四题图) 1.如图，?ABC内接于?O，?C=45?，AB=4，则?O的半径为 . 2.如图，在?ABC中，AB=AC=,BC=2，以AB为直径的?O分别交AC、BC于点DE，则?CDE的面积为 . 5 CD CAB=30?，AC=，求AD的大小 3.已知，如图AD=DC，?23 ABO 4.如图，?O的直径AB=15cm，有一条定长为9cm的动弦CD沿弧AMD上滑动(点C与A、点D与B不重合)，且CE?CD交AB于E，DF?CD交AB于F， (1)求证:AE=BF; (2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明并求出这个定值，若不是，请说明理由( 5.如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA=4:3，点P在半圆弧AB上 运动(不与A、B两点重合)，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点( (1)求证:AC?CD=PC?BC; (2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长; (3)当点P运动到什么位置时，?PCD的面积最大,并求出这个最大面积S。 4