自旋相干态变换和自旋玻色模型的基态解析解

自旋相干态变换和自旋玻色模型的基态解析解 山西大学 届硕士学位 自旋相干态变换和自旋一玻色模型 的基态解析解 作者姓名 杨晓勇 指导教师 梁九卿教授 学科专业 凝聚态物理 研究方向 腔场中的冷原子 培养单位 理论物理研究所 学习年限 年月至年月 二。一三年六月 ’ ,? .? . ? .?. ,目录 目录 中文摘要.. 第一章腔量子电动力学的介绍??.. .引言?.. .原子与腔场的相互作用动力学..电磁场的量子化 ..单个二能级原子与单模腔场相互作用 第二章自旋相干态及其性质. .自旋相干态的定义?.. .自旋算符的表示. .自旋相干态的态表示 .自旋相干态的超完备性.自旋相干态的非正交性.自旋相干态路径积分 第三章自旋玻色模型的基态解析解??. .引言. .自旋.玻色模型的简单介绍? .自旋一玻色模型?....一 .. 模型的基态能量解析解. . ?模型的基态能量解析解? .讨论. 第四章个二能级原子和玻色场的相互作用系统 . 模型?. ..非旋波近似下模型的基态能量解析解 ..旋波近似下模型的基态能量解析解一 .讨论一 第五章总结和展望? .旦壁塑王查茎垫塑皂塞:丝垒堡型塑兰查壁塑 一一 .展望? 参考文献? 攻读学位期间取得的研究成果 个人简况及联系方式. 致谢??.学位论文使用授权声明??.?一??.??......?. . ..........?...一...?...?......。。 .. .,?.....?...一......... ???.?.?.?. . . ...............?.................? . .一 . . ...........?........?....?....??一??‘?‘? 。 .?..? .?.... ? . ?.,.?.?..?.. ?一..?.. ? . ?.?.??.?.?.?.??.??.??....??...... .. ? .. ? .?.??..??.??.??.??....?.?.?,?.?...”.?.?. . :.?.??..?.?.? 自旋相干态变换和自旋一玻色模型的基态梓析解?.?...??。?..??.?。 中文摘要 中文摘要 腔量子电动力学 主要是研究在一定限制区域 空间内物质与电磁场之间的相互作用的学科,其中最基本的模型就是单个二 能级原 子与腔场相互作用的简称模型。本论文主要通过研究自旋一 玻色耦合系统,首次提出了一种求解自旋一玻色模型的基态能量解析解的普 适变分 法,这是一种新的变分方法,其主要思路是通过玻色子算符取平均场近似后, 得到一 等效的赝自旋哈密顿量,然后利用自旋相干态变换将其进行对角化,最后将求得的 能量泛函对其经典场变量复参数进行变分并取其极小值,从而给出模型的基态 能量精确解。这是一种非常有效的基于交分法的自旋相干态变换方法,除运用了玻 色子相干态和自旋相干态作为尝试波函数外没有做任何其它近似。本论文的主要内 容包括以下四个方面: 第一章先简述了腔量子电动力学的发展历程,以及原子与腔相互作用的动力学 过程。 第二章主要是简单介绍下自旋相干态的定义和一些相关性质。 第三章首先简要的介绍了自旋一玻色模型,然后最主要的是通过运用我们提出 的自旋相干态变换方法得到.模型在旋波和非旋波近似下基态能量精确解,并将 该方法得到的结果与数值对角化的结果做对比并进行了讨论。最后发现光场与原子 在弱耦合和强耦合区域都与数值结果吻合的非常好。 在第四章中,我们进而将原子数由一个扩展到任意个个,即计算了 模型哈密顿量在旋波和非旋波近似下的基态能量解析解,同样也将得到的结果分别 与数值对角化的结果进行了比较。发现用此方法得到的结果要比数值对角化结果偏 低,且随着对角化时截断玻色子数目的增多,其结果会越来越靠近自旋相干态变换 的结果,然而通常基于.变换的变分方法,原则上只适用于原子数 趋予无穷的热力学极限情形,由此可以充分的显示出这种方法的优越性。 在第五章,我们对整篇论文的内容进行了总结,阐述了自旋相干态变换方法在 自旋一玻色模型中的应用价值,并期待有更多的研究。 关键词:自旋相干态;变分法;?模型;模型 自旋相干态变换和自旋一玻色模型的基态解析解.? ‘ , ?. ,, . , ?., , .. : ,. , . , ?自旋相干态变换和自旋一玻色模型的基态解析解?, , ’. . .’. ’, ’. .,??. . , . :; ;. ; ?第一章腔量子电动力学的介绍 第一章腔量子电动力学的介绍 .引言 量子电动力学 ,简称主要是研究量子化的电 磁场和物质之间相互作用的基本过程以及电磁相互作用的量子性质,它是量 子场论历 史发展中最长也是最成熟的分支之一。二十世纪五十年代,随着实验技术的 迅速发展, 实验物理学己经在更高精度上测量并得到氢原子/态和/态的能量差别非常 小,更难得的是通过求解狄拉克方程所得到的结果居然和此测量结果相同,因而成功 地解释了氢原子能级的位移现象。而腔量子电动力学 ,则主要是研究量子化电磁场在受到特定限制条件下与原子之间的相 互作用,当原子与电磁场的相互作用强度达到一定程度时,光子和原子之问的相互影 响会变得非常激烈,从而导致出现一系列新的物理现象,例如强耦合条件下的 振荡、原子自发辐射反转、效应、量子纠缠、原子的塌缩和复原等,充分地 说明了电磁场量子化的重要意义’。因为腔量子电动力学主要描述某一物质系统在共 振腔中与电磁场的相互作用&,所以在实验上它主要是实现原子与光场在高品质的共 振腔中的强相互作用。当原子与光场处于强相互作用时,原子与光子发生多次能量交 换后从腔场中逃逸出来,因为和原子发生耦合的腔模的频率不同,我们可以将其分为 光腔量子电动力学和微腔量子电动力学乜。 而腔量子电动力学的思想首先是由提出的?。原子与场相互作用的耦合系 数表示腔场与原子相互作用的大小,同时也表示原子与腔场交换能量的快慢, 而单 原子与单光子之间的强耦合具有非常重要的实际物理意义。然而要实现强耦合,首先 要使原子能够在腔内滞留一段对间,并且要尽可能的减小腔模体积,从而使镜面原子 的自发辐射能够完全被抑制。在实验操作中,等人通过运用长为.毫米的 高值的微腔观察到了微腔对原子自发辐射的抑制,从而使原子激发态能级的寿命比 在真空中增大倍?】。 其次,腔量子电动力学的核心问题是不仅需要把原子进行量子化,而且还要把腔 场也进行量子化。因此,系统的哈密顿量应该由下面三部分组成自旋相干态变换和自旋一玻色模型的基态解析解 丘。, 其中,我们需要重点讨论的应该是嫩。积。,即需要重点讨论关于原子与辐射 场之间的相互作用情况。一般情况下,我们将耦合分为弱耦合和强耦合两种情况,然 而许多实际量子问题都必须用强耦合理论进行探讨。在腔量子电动力学系统中,单个 二能级原子和光子之间的动力学能用?模型进行描述。若单个二能级 原子扩展成个二能级原子与玻色光子场的相互作用,则这是著名的模型。在 模型中,当个二能级原子和光子发生集体耦合作用时就会产生相干自发超辐 射现象。与此同时,所有的光子和原子就构成整体,由于相干叠加,使得如果相互合 作的个原子的辐射相位相同,则自发辐射的光强就不正比于而是拈,称 此现象为超辐射现象。 由于原子与腔场组成的系统是探索许多重要量子物理问题的重要工具,例如它在 量子测量、量子计算瓴引、量子态制备??、量子通讯“伫、和量子点激光器?’等领 域都具有重要的应用价值。所以本章我们首先简单说明原子与腔进行相互作用的动力 学进而引出单原子和腔场进行相互作用的动力学。 。原子与腔场的相互作用动力学 ..电磁场的量子化 我们将电磁场的场量子称为光子,量子化的电磁场对应多光子或多玻色予的系 统,从经典场理论出发,采用正则量子化方法,即可以实现电磁场的量子化。本节主 要介绍.腔在无源电磁场时腔中电磁场量子化的过程。?腔场主 要由两个超镜组成,如图.所示。通过适当地选取两个镜子之间的距离,激光就 能在.腔场内形成量子化的驻波,其满足麦克斯韦方程组 ×吾:一一 .苣: . 一 弧/ .再: 式中,、分别表示电场强度和磁感应强度;是真空介电常数;风是真空磁导率。 库仑是一种横场条件,定义为.,在库仑规范作用下,电场巨满足麦克斯 韦 波动方程 . 豆专等曲 这里/以磊指光速。在理想边界条件乓巨:限制下,电场豆只能沿 方向进行传播,磁场否沿方向进行传播。因此我们得到满足.方程的特解为 图.两块超反射镜构成的一维腔 . 球娟滢,,,,..? 上式中岛/为驻波波矢,相应的频率是岛。将式.代入方程.有 . 等,。 除此之外,利用麦克斯韦方程.能够得到沿方向传播的磁场是 . 驰肪鲫睁 所以,电磁场的哈密顿量可以表示为 . 。护旧求陪牺妒赫,自旋相干态变换和自旋一玻色模型的基态解析解 式中表不腔的体积。对于哈密顿量.来说,若我进产生和湮灭算符 ,? 志劬,籼 . 谚击劬纺一慨 ,:占,,则它可以写成 这里吼/??/ . 。去,劬,劬口口 而对于单模量子化的电磁场,哈密顿量.写为。蜘。在态表 象下我们得到 . 口”,口而,口而 ..单个二能级原子与单模腔场相互作用 单个二能级原子与单模量子化电场的相互作用在偶极近似下的哈密顿量可 以写为 . 帅。一.舌 假设现在是在高值的单模电磁场腔中,因此,对这个非常特别的粒子,我们更 容易 得到单模量子化电磁场的形式为 . 重,,占口 在这其中,占‖丽。所以,单个二能级原予和单模量子化的电磁场在偶极近似 下进行相互作用的哈密顿量写为 . 叫一?后向口口 式中 . 蝴纠刊序豳幻 荟表示电场的单位矢量,岔?蚕,乙表示基态能级与激发态能级的极化矢量。 是我们熟知的自旋算符,定义为 第一章腔量子电动力学的介绍 。。.,, ?, 譬,吒:二 ?矿:五 呸的本征值和一分别对应两能级原予的第一激发态和基态,能够证明式 .、满足对易关系嘎,呸?呸和,疋】吒。 对于二能级原子,由于其第一激发态和基态可以用量子态和表示,所以对 应的能量分别是壳叹和壳魄,如图.所示。其中,我们定义万为原子和辐射腔 相互 作用的失谐参量 . 一%一彩纯一国 可以用频率来度量这种相互作用强度,它与光子的数目有关。在理想状况下, 二能级原子和辐射腔场是完全独立的,可以用如下哈密顿量进行描述 一等吒等吒. 在式子.中,表示上下态之间的隧穿效应参量, 表示原子两态之间的能量差。 当叫占比值较小时,系统?台密顿量的本征态为吒对应的本征态,此时原子 被局域在上 态或者下态:相反,当/ 比值较大对,系统的本征态将是非局域的,自旋会在 上态 与下态之间进行隧穿。 口 图.两能级原子与腔肠相互作用,失谐参量为。图片来自 】??鱼鳖塑王查壅 墼塑皂鉴:鍪皇塑型盟茎奎塑塑塑 在本论文的讨论中,我们假设没有隧穿效应,所以得到 。 。:庇吒 。指原子的共振频率。由.、.、.式得到原子和腔进行相互作用的完 整的哈密顿量为 . 华吒壳绷口堙双疋口口 为了更加清楚的了解这些过程随时间的演化,我们将.作用到相互作用绘景 当中,得到 日口一口 堕 丝 .唧 ~生 一生 利用.关系式 . 一口郇】等彳,【郴?. 能够得到 . ’口口一口口一 丝 生 ’ 唧 一丝 一丝 . , ,, %一 最后,我们得到在相互作用绘景中的哈密顿量为 口国一吃。小’一% ?。、 、“。。’ 口一.,口’, 在上式相互作用绘景中出现的四项,它们有以下简单的物理意义: 口’矿表示原子从激发态自发辐射到基态时,系统将放出一个光子; 表示原子从基态激发到激发态时,系统需要吸收一个光子; 第一章腔量子电动力学的介绍 口以表示原子从激发态自发辐射到基态时,系统需要吸收一个光子; 矿表示原予从基态激发到激发态时,系统将放出一个光子。 由此,我们可以很清楚的看到,和这两个过程是满足能量守恒的:相反,过 程?盯一和。不满足能量守恒。这四个相互作用的形式可由图.中描述出来 矽 中 。 , 。 “”一 \. 矽:囊弋:如 ??一。 一: 扣 印一工:?卜旺 ? ????一 口 图.单个两能级原予与单模腔场相互作的四种形式、、、。图片来自 】 在一般情况,根据半导体理论,运用旋波近似消除能量不守恒项 ??,口’%,,并返回到响绘景中,可以得 到在偶极近似和旋波近似下的是 . 华堙口疋 这就是我们常提到的?模型的/,它对描述很多物理现象非 常实用。 自旋相干态变换和自旋一玻色模型的基态解析解 第二章自旋相干态及其性质 第二章自旋相干态及其性质 很多年以前,将?和设计的光学干涉实验结果做 了深入的光的相干性质分析,然后第一次提出了相干态的概念,这个实验最 终导致 了量子光学的诞生,特别是基于相干态表象的理论在量子光学的进展中起到 非常重 要的作用,相干态在实际物理中有广泛的应用,我在本章中主要简单介绍自 旋相干 态的一些相关知识。 .自旋相干态的定义 早在年以前,和?就已经提出了自旋晶体管这个新的电子器件 概念,其指出电子的输运不仅携带电荷而且还携带自旋。近年来,可 以通过自旋波函数来制造量子计算机。而且最近一些实验发现,由于自旋相干态能 够维持较长的时间几百量级而可以应用到电子器件中,但是在实际制造自旋 电子器件时,却遇到很多的问题,其中,最大的两个问题是:如何将极化的自旋电 子或者空穴导入到半导体中以及如何检测它们 。 我们所说的相干态是指系统中的所有电子的状态在初始时刻就保持一致,而且 电子的状态随着时间的变化而同步地变化。由于半导体中电子的电荷相干在研究电 子自旋相干态以前就已经得到广泛的研究。所以先简单介绍一下关于这方面的研究 进展。 在孤立的量子系统中,波函数,满足方程: . 坊罢竺:少 这里日指体系总的哈密顿量,一般包括系统、周围环境和相互作用三项。 我们先来 讨论单个二能级系统和光场之间的相互作用。 假设系统的波函数是 、 . 炉七 系统基态和激发态的振幅分别用上式中的和表示。假设时系统处在基态,也 就 是,。从,开始,引入一光场,那么电子和光场之闻相互作用的哈密顿量 可以写为 一茁. . 自旋相干态变换和自旋.玻色模型的基态解析解 在上式中.辱表示电场的单位矢量,这里,我们假设对系统能级的能量影响很 小,能够 省略不计,那么.式可以改写为 眨, 访黝一点:一删三 上式中‘:?表示态与态间的电偶极矩阵元。应用波函数的初始条件解方程 式.,我们可以得到 眨, ?蛔睁,,妇。降, 从上式可以看出,如果一个量子系统只和光场发生相互作用,那么电子将会 在这两个 态之间进行振荡,其频率为 ?:?? ??? .? ., 这就是拉比频率。系统在电子振荡的一个周期内会先从光场中吸收能量然后再 将能量还给光场。对于实际的半导体系统,它主要是由多个一日。匕级系统形成的系综, 所以若在时刻系统保持一样的振幅;,且都按照同样的规律.式随时间 演化,那么这就是所谓的电荷相干态。 而更一般性的选择,应该是自旋相干态。自旋相干态建立在我们众所周知的自 旋算符寞,,和建的不可约表示基础之上,它是一种宏观量子态,具有确定的经典 ??量子对应。首先,自旋算符满足群的对易关系: . 降?‰ 这里令壳,使得自旋算符无量纲化:若我们引入升降算符文建心,, 金建一?,,则式.的对易关系转化为: ‘ 广“ 广 . 逆,?, ,蔓蔓 因为群在希尔伯特空间中的维数为,所以通常取和芝的完各组来讨 . 论它们的共同本征矢量,, 雪 . ,研,川 第二章自旋相干态及其性质 . 遗,,朋 其中,量子数和的可能取值如下所示, . ,,,/,,? . 珑一,?,一, 但是由于的结果很平庸,所以我们在以下讨论中将忽略这种情况。 而自旋算符的测不准关系可以由下面的关系式给出: 亿? 四愀越啦峨们 其中雪缈吲缈,龌宴一位,而将波函数‖,脚作用于方程式., 可以得到 . ? 当且仅当?时等号成立。由此可知态,一和,是两个最小的测不准态。 在群空.,当取最大值的态,时,有 . ?.乏,童,, 这里我们取态,的量子化方向轴为砭。由此可将量子化轴为吃的态,转动到 量子化轴为疗的态定义为自旋相干态,,即自旋在空间任意给定方向的最大 自旋本 征值对应的本征态为自旋相干态训,其满足下列关系式 . 雪”仃 按照参数化方式的不同,自旋算符主要有两种方式来构成群的生成元,我们 将分别讨论这两种自旋相干态的定义方式瞳町 定义:设单位矢量厅在球极坐标空间中的分量极角为孝和方位角为叩,也就 是说孝,,,则我们可以将自旋相干态定义为?: . ”;一蝇一‘黩口一趣, 式中是任意的,它与我们所定义的规范有关系。我们通过一些简单的计算可 以得自旋相干态变换和自旋.玻色模型的基态解析解 知:应用方程式.得到的自旋相干态符合方程式.的条件,证明如下 疗?胛尺乏,呷尺弓,孝尺吃,砭.?刀 一研~向?一‘一啊建’‘?一‘文『趣互。雪。拉口韪硅露.。 一研童~蟮氟?是乏.雪, 以 定义:自旋相干态的另外一种定义方式为汹?‘钉 . 聆扣., 其中 . 肚谢?咿.弘吣 或者我们可以将其改写成 . ?々嘶南,:上‘一一如, 同样可以看出,由第二种方法定义的自旋相干态一样满足方程式.的条件: 再?雪疗月历,孝乞.” . 一篓之耋《而刀 一跏矗瓦?雪, 另外,我们发现,如果使~,则两种定义可以相互转化 行兰一。口童一‘。 卿童 . ‖‘“”品一碱~, 在以上运算过程中我们用到了公式 . ..母啦 /: /雪, .自旋算符的 表示 在这一节中,我们主要通过引入玻色子来探讨自旋算符的相关问题。 没口,表示两组分玻色子,且满足对易关系:第二章自旋相干态及其性质 吒 爱 ”吆 彤% % ?? 蛎 ? 么 那 可以将自旋算 符定 义为 蛊西口, 建口吨’, . 受吉口;口,一《吒 我们也司以一并将其表示为 . ?丢《%% 在这里,矛,‘.,盘是我们熟知的矩阵。显然通过方程式.和. 定义的自旋算符满足式.的对易关系。那么如果我们进一步加入限制条件 《吒 . 则会有 . 毒霉彦 此式也符合自旋算符的相关要求。 我们通过利用玻色子表示自旋算符,可将自旋在群空间中的 基矢,肌表示成: . 旧咖踽。 这里,态 示玻色子的真空态。譬如,我们可将自旋为/的自旋向 下的态上和自旋向上的态个分别写成: . 个露,上《 根据自旋群空间的基矢表示式.,我们可以德到以下关系:自旋相干态变换和 自旋.玻色模型的基态解析解 文,雁二丽磊面,, . 金旧朋小而砸焉丽,坍一, 曳阻,肌 .自旋相干态的态表示 由于态,肌,聊一,,?,,可以构成一组完备的正交基,所 以我们可将自旋相干态在态,埘上进行展开: 泣,, 旧塞篇‖纩炉叫邵神 .自旋相干态的超完备性 有时自旋相干态刀也被称为相干态或者原子相干态,满足一般的超完备 性关系: . 舡疗愀行 其中 . 鼬万布鼍留影 矢量集合的超完备性说明希尔伯特空间内任意矢量都可以通过中元素的 线性组合表示出来,然而玎中的元素自身并不线性独立。我们可以简单的证 明方 程式.。 由方程.有 舡露愀圳 扣 泣, 掣,荟甜苎 ×。孝“‘丢嚣一?’,’墨弘‖刁 第二章自旋相干态及其性质 对上式中叩进行积分,并利用关系式。【一”刁砸.,有 ’ 棚, 舡疗愀, 耋盘掣彰孝‖一矿旧帕 , ?,,刊 .自旋相干态的非正交性 自旋相干态同玻色算符相干态一样,都不是正交基矢,两个不同的自旋相干 态 有下面的内积关系: 泣, ’力半卜 在这其中 芒芒 二??』 ??:生卫 /?? . 丛 具体的推导过程可以参详文献瞳引。 .自旋相干态路径积分 现在我们探讨从自旋相干态吩到态的传播子 . 刀,,,,:吃,‘ /疗怫 我们首先假设可以把时问分为无限小的时间间隔,如下所示 :丝 . 一? 并将其作用到自旋相干态的超完备性关系中,有 隐州?一曲八酬?一曲愀啦柑九.。自旋相干态变换和自旋.玻色模型的基态 解析解 利用两个不同的自旋相干态的内积关系 眨, 吼硝挚州 得到 . 。,”“张一依一。一专 又因为 . 船女‘刀一? 所以。在 寸的极限情况下,将自旋算符作用到自旋相干态上, 能够得到对应 的 本征值。此时,传播子可以写成 ?羔剐仇一仉矗卜日矗佩扣 . 垂羹‖咒。 如果我们引入一对正则变量关系妒,善,则可将传播子写为 . 髟舻‰’ 这里,:.缈一膏,:卜是经典作用量,%韧是色.?。拓扑作 用量,当取整数时,观测不到效应,当取半整数时,自旋系统有相干相位。 第三章自旋一玻色模型的基态解析解 第三章自旋.玻色模型的基态解析解 最近几十年来,随着自旋量子学的研究和发展,量子光学中多体物质辐射问题 的研究成为凝聚态物理学的热门研究内容之一,特别是关予自旋和玻色场相互作用 系统的研究,备受广大学者的关注,因此自旋一玻色模型出现在物理学的很多领域, 是理论量子光学的重要组成部分,特别是辐射场和多个二能级原子之间相互作用的 系统在激光设备和现代量子器件中具有广泛的使用价值。譬如,有人曾用超导量子 干涉仪研究量子现象乱枷 驯,这种仪器主要由超导结组成,当 能远小于电荷能量时,在简并点处可看成是一个二能级原子强“扎 ,我们可用态口和态表示其物理性质,并称此二能级原子为量子比特;除此 之外,也可以用纳米机械共振器 ,麓写为观测 介观尺度的量子现象和检验微腔的新奇量子效应,如量子退相干,?。然而对 单模腔场与二能级原子相互作用的多体系统,或者二能级耗散系统的基态能精确解 的研究到目前为止仍然是一个挑战。 基于此目的,本论文通过研究自旋一玻色耦合系统,提出一种非常有效的基于 自旋相干态变换求解自旋一玻色模型基态的变分方法,并将其应用到单模光场与单 个两能级原子相互作用的模型中,得到旋波近似和非旋波近似情况下的解析基态能 量,特别需要指出的是在光场与原子的强、弱耦合区域都与数值对角化结果吻合的 很好。而且,该方法也可以直接用于求解任意原子数的模型的基态和相应的 量子相变的研究,我们将会在第四章做详细介绍。 .引言 自旋一玻色模型因其在物理学各个领域的广泛应用而一直成为理论研究的热点 问题。例如,..模型如己成为量子光学的主要理论基础,并广泛 应用在现代光量子器件和超导量子比特中。虽然在旋波近似下描述原子与辐射场相 互作用的模型只是在弱耦合条件下的理想化近似,但因其可得到精确解析解而 被广泛应用。事实上,仅当原子与光场之间的耦合强度与光场频率相比非常小 自旋相干态变换和自旋.玻色模型的基态解析解 时,旋波近似才会有效陋?驯。但是,随着电路量子电动力学 的发展, 目前超导量子比特“人造”二能级原子已应用于强相互作用情形下的振荡器或 者振荡腔中,此时旋波近似在强耦合区域并不适用引,所以必须考虑非旋波项的作 用。 当单模光场和个原子相互作用时,只需要把自旋为/的赝自旋算符换成量 子数为/的大自旋算符,而相应的哈密顿算符形式不变,此即著名的模 型引。近年来,模型的量子相变己成为热点研究问题之一,而量子相变是系统 基态随耦合参数的突然改变,因此求解基态解成为关健问题。我们通常的做法是用 ?变换玎把赝自旋转化为玻色子算符,用双模玻色场相干态 作为变分的基态波函数。此方法可以成功得到研究系统的基态,并用于研究其量子 相变哑?骑。但是需要指出的是,在基于.变换的变分法运算中,算符的开根号基于 /?展开,因此原则上此方法只在原子数趋于无穷时才成立。特别是此方法显然不适 用于单原子的?模型。 在本文中,我们提出一种新的变分法,主要思路是通过玻色子算符取平均场近 似后,得到一等效的赝自旋哈密顿算符,然后通过应用自旋相干态变换”将其 进行 对角化,最后将求得的能量泛函对其经典场变量复参数求变分并取极小值,从而 得到基态能量和波函数的精确解。由此方法得到的?模型的基态能量无论在弱耦 合区域还是在强耦合区域都与数值对角化结果吻合的非常好,而且在共振国、 蓝失谐.和红失谐国情况下都非常有效。特别是,把自旋/算符换为 自旋量子数是?/的大自旋算符时,则可用于求解任意原子数的模型基态汹’。 .自旋一玻色模型的简单介绍 自旋一玻色模型. ,简写,是研究环境耗散对量子系统 有何影响的一种理想模型,其为潍棚 . 一导吒鲁吒?吒? 第三章自旋一玻色模型的基态解析解 其中吒.:是矩阵,用于描述两能级系统狮。一 ,即自旋;’和分 别是频率为哆的第个声子的产生和湮灭算符;吕描述第个声子与两能级系统的 相互作用强度:指两能级系统的隧穿劈裂;占指两能级系统的能级偏置。 中自旋与声子库的相互作用由一个谱函数决定: . ,?万?爵万国一够 如果设定截止频率为她,则普函数有如下形式 . ,缈等耐吐 其中口是一个无量纲的耦合系数,描述耗散强度;,和分别为 ,和耗散。 上面是数学定义,但从物理学的角度考虑,其实是一个非常简单的模型。 我们对外在环境是如何影响一个电子的自旋非常感兴趣,所以把环境设定为一个声 子库,其频率是连续分布的。然后让这些声子和自旋进行相互作用,从而考察自旋 的取向会如何受到外界环境的影响。很显然,这与小极子的情况类似,由于声子的 存在好像给自旋穿了一件外套,限制了自旋的翻转,从而使自旋由非局域态转变到 局域化的状态,也就是说把自旋的能量传递给了声子,即被耗散掉了。自旋的翻转 被认为是粒子在两能级系统中的隧穿运动,下图.为自旋~玻色模型示意图,两 能级系统分别与不同频率的声子模相互作用。 自旋相干态变换和自旋.玻色模型的基态解析解 、.,,,,一一一。、、 ,,,一弋一一一 卜\ .一, 、上 、:三 一一 ’?。。。?一一 ,图.自旋一波色旧模型示 意图 长期以来,由于电子的自旋态认为可以当做量子计算机中的,因此人们 对怎样操控电子的白旋取向十分感兴趣。然而,操作电子的自旋是非常困难的,直 到最近才有科学家发现可以通过引入变化的电场来改变自旋的各向异性因子,然 后间接用磁场操控电子自旋引。因此实验上想尽各种办法去构造一个类似于电子自 旋状态的两能级系统,例如,应用结,然后再探究如何去操控它。但是 这种系统无疑会受到外界环境的影响,所以必须理论分析环境对此两能级系统的动 力学会带来什么样的影响。所以通过研究这个由两能级系统和模拟周围环境 的声子库构成的模型,能够为这种实验提供一些思路和解决办法。然而,仍是 一个理想模型,不可能完全对应上述实验系统,不过,最近有人可以在实验上通过 晶体中的捕阱离子来实现:悖。 .自旋.玻色模型 单个二能级原子与单模光场相互作用的系统哈密顿量可以表示成 是,口, .其中,描述原子赝自旋/的算符,、只、墨遵从对易关系 第三章自旋一玻色模型的基态解析缌 晦,?长,【文, 】逆这里取:和分别为原子共振频率和光场频率, 它们之间的相互作用强度用来表示:口’和是玻色场的产生和湮灭算符。在弱相 互作用情形下,可忽略能量不守恒的作用项口奠和口墨反旋波项,从而得到可精确 求解的.模型,此即通常的旋波近似。另外,需要说明的是本文中提出的变 分法对有无旋波近似都适用。下厩,将基于变分法分别讨论非旋波近似和旋波近似 下模型的基态解,并与其严格数值对角化结果进行比较。 .. 模型的基态能量解析解 设变分的基态波函数为玻色场的相干态口,即玻色子湮灭算符的本征态 口口口口,它可由真空态生成口矿‘一’。在玻色场相干态表象中,方程. 对应的哈密顿算符的期待值是一个等效的赝自旋哈密顿‖口口,这意味 着等效赝自旋哈密顿量也可以通过将玻色场算符取平均场近似得到,这里经 典场的 变量口复数为变分参数,因此本方法的关键是通过利用自旋相干态交换将 赝自旋哈密顿玩矿进行对角化,从而得到系统相应的本征值和本征态, . 巧口?门医口?月 其中,本征态以和一分别为自旋算符玎在玎方向投影的北、南极规范自旋相 干 态,相应的本征值为/和一/:,一/,孝,孝是用分量极角善和 方位角描述的单位矢量。自旋相干态也可以通过旋转算符玎;‘墨‖一 。’ 由的 本征态?生成,即?甩门,孝,叩是待定参数。 在自旋相干态变换下,原来的自旋算符芝,,墨分别为绷 . ’ 孝号孝一柙? . ’?只是? 岬考一是矿孝 . ?&手一墨唧善一是叫 然后,将本征方程.左乘’疗,并考虑方程.、.、.得到 自旋相干态变换和自旋.玻色模型的基态解析解 一一陋彳,善,即是曰位,善,/,善,乓 其中, . 孝’柙一研 ,孝,一 . ,毒,刁譬孝矿聊号口‘毒一之研争 . ,善,刁导乒研号口口‘李一柙吾 我们很容易发现,方程.成立的条件是, . ,孝,, . ,孝,/ 由方程.可以求得参量孝和刁作为的函数孝缸和,将其代入系数彳的表 达式并考虑方程.,可得其能量泛函为臣口缈时去口,孝, 然后,将能量泛函巨对经典场变量作变分并取极小值, . 型: . ??: 口 上面两方程中只有一个方程有物理解,此即系统的基态能量,相应的基态波 函数为 或者。下面,我们分两种情况讨论方程?的解: 当口时,方程.可以简化为 孝 号 . 【导” 因此,善,即善七万,相应的,孝,,:皿。此时系统的基态能量为 、。’ :一 上舻一 当口?时,为了求解方程组.,我们首先对方程组做如下变化. .川和.?研,则方程.将简化为孚孝导岱口’圻喜一一”匐 .第三章自旋一玻色模型的基态解析解 导亭詈口口 . 李一砷考 然后.一.得到, 号口窃’‖一萼 . 其中,我们设‖,得到 手////,币一吁巧 . 由.。得到 孝口‘口一卿一唧 . 利用结论.有 孝,,,矿庐刁『,矽一瑁疗石 . . 孝一善,矿矽不,?一/,万 我们定义:。妥,了?弩,并将其带入方程式., 一 ?‖ 扭 通过解方程组.,可以得到这样两个解 矿?,万,?一,万 . . 掌一,痧叩,?一刀万 通过求解方程.可得 彳口,善,叩?? . 她序等等。 通过对能量极小条件的分析,只有丘吖一喜柝鬲万是物理解,相应的 系统基态能量为 伊 .? 国 ?一石一壁 因此,在非旋波近似下,模型的基杰能量为自旋相干态变换和自旋.玻色模型 的基态解析解 . 。 ?。 国 略摩等胆压 .. 模型的基态能量解析解 在旋波近似下,二能级原子与单模光场相互耦合的系统哈密顿量可表示为 . 嗵搠饥詈啦豇, 应用同样的方法,可以求得相应的基态能量为 一昙,?丽 。四 擎 一乏睾础顾‘ .讨论 如图.和.所示,相应的基于变分法线实心图标和严格数值对角化线 空心图标求得的基态能量随光场和原子耦合常数的变化曲线。由图.可知, 在非旋波近似下,基于变分法求得的基态能.在酬为.,.,.,即共振较 小的红失谐时,与数值对角化结果完全符合;而在大失谐叫.,.的强耦合 区域,变分法求得的基态能量随着光场和原子耦合强度的增强逐渐地偏离数值结 果。这是因为变分法尝试的波函数采用了玻色子相干态,即平均场近似,它在光场相 对较强时才是有效的:而大失谐的强耦合情形下,光场的量子涨落将起重要作用,因 而平均场近似自然导致较大的偏差。实际上,文献中的精确解也都是在近谐振条件 下得到的,但是本文的变分法基态能却可以在很宽的频率范围和耦合区域都相当精 确。对于在旋波近似情形,见图.,其变分法所得能量和数值对角化也符合的很好, 第三章自旋一玻色模型的基态解析解 , . 图.对于不同的光频率,模型的变分法线实心图标和数值对角化线空心图标求得 的基态能量。随光场和原子耦合强度的变化曲线 ? 图.对于不同的光频率模型的变分法线实心图标和数值对角化线空心图标求得的 基态能量。随光场和原子耦合强度的变化曲线 自旋相干态变换和自旋一玻色模型的基态解析解 但变分法毕竟是某种近似,稍微的偏差可能是由模型近似引起的,而且相对偏差却 非常小。特别需要指出的是,在菲旋波近似的模型中,变分法所缛能量和数值对角化 的精确符合有点意舛,这说明这种方法是非常有效的,更深层次的原因有待于进一 步探讨。 第四章个二能级原子和玻色场的相互作用系统 第四章个二能级原予和玻色场的相互作用系统 这一章我们主要利用自旋楣干态变换方法求解个二能级原子与理想单模腔 场相互作用的模型的基态能量,并将此结果与态数值对角化结果进行 比较。 . 模型 现在我们假设有一多个全同原子和封闭谐振腔耦合的系统,以。和分别表 示为原子的激发态能级和基态能级。在一定条件下,原子会在基态和激发态 之间跳 跃,如果原子吸收外场能量,则原予会从基态跃迁到激发态,相反,当原子从激发 态跃迁到基态时,会放出一个光子,也就是壳缈。一毛。 现在我们假定热光子的能量为。砌国,则在一定温度‖%。下,将 会有个光子的几率可用波尔兹曼分布进行表示 . 只蕞一州 因为平均光子数厅石,所以最后可得到热力学光子的分布情况,如式 所示,它符合玻色。一爱因斯扫分布 . 只赫 由于原子集体是相干辐射的,所以在隋二十世纪五十年代提出个无相 互作用的原子的自发辐射率小于个原子的集体相干辐射率,也就是说如果在光学 腔场中放入个自发辐射的原予,则我们不能将这些原子看成是独立的自发辐射, 而应该将其视为与此单模玻色场的集体相互作用,所以原子激发密度不与?成比例 而与?成比例,将此现象称之为“超辐射态”。因此,将个二能级原子与 单模玻色场相互作用的模型定义为模型。它对研究玻色一爱因斯坦凝聚晦引、 超辐射行为瞄们和强关联系统的行为朝等有巨大的应用价值。 模型中的?个二能级原子的能级差都为,且这些原子是相同但又可区自旋相 干态变换和自旋.玻色模型的蓥态解析解 的。另外,对于任意一个原子都可以表示成一个自旋为/的算符嚣;尼,?,并 遵从对易关系【:,。】?;,一:。且与频率为吃的?模玻色子发生耦合相 互作用,其耦合强度为&,因此模型哈密顿量写为如下形式 .. :?%%吒??号以吒: 耋:荟%% 口 吒薹姜茜以吒:’ 玻色子的产生和湮灭算符用《和%表示,这里我们令纛。由于偶极子的耦合 强度与/再成比例,所以在相互作用项中会出现/瓜项因子,指腔场体积。由 于腔场中原子的密度为/,所以系统耦合强度正比于历,将其代入相互 作用顼则出现/?葑因子。在很多情况下,人们会忽略反旋波项以:和%:,而对 模型做旋转波近似,然而这仅在弱耦合强度情况下适用,很多实验 都要在强耦合情况下进行,所以对强耦合情况的研究是非常有必要的。现在, 我们 仍像第三章一样,先不进行旋波近似,求解基态能,然后再简要得出后的基 态能。 ..非旋波近似下模型的基态能量解析解 我们在这里只讨论单模玻色场的的,应用原子集体算符形式得 到 . 以? 以?: 它们同样遵从角动量的一般对易关系 . 以,以?厶; ‘,上】也 在希尔伯特空间按照态?;一,,...,.『一,『进行展开,由于 态是,和以的共同本征态:以,,,;,/,肌,,所 以将上升和下降算符作用在这些态上得到:止/,?二而万丽,埘?。 态的“共同量子数”是.,,如果原子数?取偶数时,,值为/,/,...?/;第四章 个二能级原子和玻色场的相互作用系统 如果原子数取奇数,值为?..,/。例如,当为两个原子时,/取和。 /有自旋单态/?互卜山一土、;,有三个自旋态山上,/?三个山上个和 个个。因为在模型中只要确定了量子数.的、,则其变成常量,所以在这 里我们选择//,原子系统的能级为?,系统总自旋长度为,/。 此时模型的写为 . 罢也伽日赤口‰?,一 其具有宇称守恒量?,并且满足对易关系,,我们定义字称算子为 . 不‘,力口’臼.,:., 式中力为总粒子数算符。当量子数为偶数时,宇称算子的本征值为;当量子 数为奇数时,宇称算子的本征值为一,这样可将希尔伯特空间分为两个没有 相互 作用的子牢间。 图. 时模型量子态的格点表示。空点表示正负宇称态。 如果将系统在希尔伯特空间的基矢空间展开成/,,其中表示场算 符的数态,口,,,,表示态。则宇称守恒表示,若总的激发数 ,/是奇数,则相互作用只发生在奇数态上;若总的激发数,,是偶数, 则相互作用只发生在偶数态上,即也可将其分为奇偶两个完全独立的子空间。在基 矢,下,的情况如图.所示,它与固体物理学中的二维格点的情况类似,