三角形的外心及性质[资料]

三角形的外心及性质[资料] 三角形外心及性质 定义 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心( 三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上 三条中垂线共点证明 ?l、m为中垂线 ?AF=BF=FC 所以BC中垂线必过F 三角形外心的性质 设?ABC的外接圆为?G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2( 性质1:(1)锐角三角形的外心在三角形内; (2)直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合; (3)钝角三角形的外心在三角形外. 性质2:?BGC=2?A，(或?BGC=2(180?-?A). 性质3:?GAC+?B=90? 证明:如图所示延长AG与圆交与P ?A、C、B、P四点共圆 ??P=?B ??P+?GAC=90? ??GAC+?B=90? 性质4:点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是?ABC外心的充要条件是: (1)向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB) 向量PC)/2(tanA+tanB+tanC). 或(2)向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC. 性质5:三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。 性质6:点G是平面ABC上一点，那么点G是?ABC外心的充要条件 (向量GA+向量GB)?向量AB= (向量GB+向量GC)?向量BC=(向量GC+向量GA)?向量CA=0. 三角形外心的做法 分别作三角形两边的中垂线交点计作O 以O为圆心OA为半径画圆 圆O即为所求 外心的求法 、b、c，?A、?B、?C 设三角形三边及其对角分别为a 正弦定理有r=a/(2sinA)=b/(2sinB)=c/(2sinC)