五年级秋季班第一讲_三角形中的模型(一)

学而思培优 五秋季班第一讲三角形中的模型（一） 李海君                                                                                            学而思                                                                                      1 / 15        五年级秋季班第三讲    三角形中的模型（一）                                                                            鸟头模型  本讲主要是通过等积变形体会鸟头模型的证明，并在复杂图形中找到鸟头模型 来解决相关面积问题  一． 复习相关知识点：  1. 三角形的等积变形，  ⑴ 等底等高的两个三角形面积相等； ⑵ 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 如上图 1 2: :S S a b : : ( )ABC ABDS S a a b △ △   2. 比      （比中的前项和后项代表的是份数，而不是具体的量）  （1） 比与除法与分数的关系，  : aa b a b b    ，其中除法中的被除数相当于 比中的前项和分数的分子；除法中的除数相当于比中的后项和分数中 的分母。  （2） 商不变的性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0 除外） 商不变。  分数的基本性质：分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数（0 除外），分数大小不变。  比得基本性质：比得前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数（0 除外）， 比值不变。                      : :a b a c b c             例：3:5 3 7:5 7 21:35            18:30 6 :30 6        2S1S A B C D 学而思培优 五年级秋季班第一讲三角形中的模型（一） 李海君                                                                                            学而思                                                                                      2 / 15        （3） 连比：甲：乙＝3:4，乙：丙＝5:2， 那么甲：丙＝？ 因为两个比中都有乙，所以我们把乙当做桥，利用比得性质： 甲：乙＝3:4＝3×5:4×5， 乙：丙＝5:2＝5×4:2×4 乙在两个比中的份数相等，所以甲：乙：丙＝3×5:4×5:2×4，所以 甲：丙＝3×5: 2×4＝15:8 二． 本讲知识点（共角三角形定理简称共角定理） 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 我们把鸟头模型分成 4 种常见的类型。 1. 在 ABC△ 中，D,E 分别是 AB,AC 上的点 : ( ) : ( )ABC ADES S AB AC AD AE  △ △ 记忆技巧：D,E 两点都在三角形上 2. 在 ABC△ 中，D 在 AB 的延长线上，E 在 AC 上。或 D 在 AB 上，E 在 AC 的延 长线上 : ( ) : ( )ABC ADES S AB AC AD AE  △ △ 记忆技巧：D,E 两点，一个在三角形上，一个在三角形外 D CB A E 学而思培优 五年级秋季班第一讲三角形中的模型（一） 李海君                                                                                            学而思                                                                                      3 / 15        3. 在 ABC△ 中，D 在 AB 的延长线上，E 在 AC 的延长线上 : ( ) : ( )ABC ADES S AB AC AD AE  △ △ 记忆技巧：D,E 两点都在三角形外 4. 在 ABC△ 中，D、E 在三角形外，不一定在延长线上，但两个外角都是 90 度    : ( ) : ( )ABC ADES S AB AC AD AE  △ △                       三． 例题精讲：  例 1：  如图在△ABC 中，  D,E 分别是 AB,AC 上的点，且 AD：AB＝2:5， AE:AC=4:7， ADES△ =16 平方厘米，求△ABC 的面积。 CB A DE CB D E A 学而思培优 五年级秋季班第一讲三角形中的模型（一） 李海君                                                                                            学而思                                                                                      4 / 15        分析：1，判断此图是不是鸟头模型，大三角形 ABC 和小三角形 ADE 有一个∠A 是公共的，所以这个图形是鸟头模型。 2，根据鸟头模型公式 : ( ) : ( )ABC ADES S AB AC AD AE  △ △ :ABC ADES S△ △ 5 7:2 4 35:8                  这个比表明 ABCS△ 的面积是 35份， ADES△ 的面积是 8 份  先求出 一份是：16÷8=2（平方厘米） ABCS△ 的面积是 35 份：2×35=70（平方厘米） 例 2：如图，三角形 ABC 的面积为 3 平方厘米，其中 AB:BE=2:5，BC:CD=3:2， 三角形 BDE 的面积是多少？（第四届“迎春杯”试题改编题） 分析：1. 判断此图是不是鸟头模型。由于∠ABC＋∠DBE=180。，所以这两个 三角形是共角三角形，可以用共角定理.这个图是鸟头模型。 2. 已知： AB:BE=2:5 设 AB=2 份，BE=5 份； BC:CD=3:2 设 BC=3 份，CD=2 份, BD=3+2=5 份 3. 根据鸟头模型公式： :ABC BDES S△ △ ＝(2×3):( 5×5)=6:25 此处的典型错误： :ABC BDES S△ △ ＝(2×3):( 5×2)=6:10 错把 CD=2 份当成了∠DBE 得一条边 4. 还是先求出 1 份：3÷6=0.5(平方厘米)， BDES△ 是 25 份，面积为 0.5×25=12.5（平方厘米） A E D B C 学而思培优 五年级秋季班第一讲三角形中的模型（一） 李海君                                                                                            学而思                                                                                      5 / 15        例 3： 如图以△ABC 的三边分别向外做三个正方形 ABIH、ACFG、BCED,连接 HG、 EF、ID，又得到三个三角形，已知△ABC 的面积是 10 平方厘米，则另外三个三 角形的面积和是多少？ 分析： 1. 此图有 3 组鸟头模型分别是： (1) (2) (3) 2. 先看图（1）因为∠CAG=∠BAH=90° 所以∠CAB+∠HAG=180。 所以△ABC 和△AHG 是共角三角形，可以应用鸟头模型公式 : ( ) : ( )ABC AHGS S AB AC AG AH  △ △ 因为以△ABC 的三边分别向外做的是三个正方形 ABIH、ACFG、BCED 所以 AB=AH,AC=AG. 即 : 1:1ABC AHGS S △ △ 所以 10ABC AHGS S △ △ 同理另外两个三角形的面积也是 10 平方厘米（自己做做看），所以另外三个三 角形的面积和是 30 平方厘米。 I B C A H G F D E B C A H G I B C A D B C A F E 学而思培优 五年级秋季班第一讲三角形中的模型（一） 李海君                                                                                            学而思                                                                                      6 / 15        例 4. 如图，AD=DB,AE=EF=FC,已知阴影部分面积为 5 平方厘米，△ABC 的面积 是多少平方厘米？（2008 年四中考题）。 分析：因为 AE=EF，所以△ADE=△DEF=5 把三角形 DEF 先擦掉不看，如上右图，可以看出这是个鸟头模型： : ( ) : ( )ADE ABCS S AD AB AE AC  △ △ 其中 AD=1 份，AB=AD+DB=2 份；AE=1 份，AC=AE+EF+FC=3 份。 : 1 1: 2 3 1: 6ADE ABCS S    △ △ 其中 1:6 中的“1”代表 1 份 ABCS△ 为 6 份， ABCS△ =5×6=30（平方厘米） 例 5： 如图，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至 D，使 BD=AB；延长 BC 至 E， 使 CE=2BC;延长 CA 至 F，使 AF=3AC，求三角形 DEF 的面积。 分析：1. 此图有三组鸟头模型，分别是： A C B E D F A C B E D F A D E F B C 学而思培优 五年级秋季班第一讲三角形中的模型（一） 李海君                                                                                            学而思                                                                                      7 / 15        (1) (2) (3) 2, 先看图（1）△ABC 与△ADF 中，∠BAC 与∠DAF 互补，所以△ABC 与△ADF 是 共 角 三 角 形 ， 应 用 鸟 头 模 型 可 得 ; : ( ) : ( )ABC ADFS S AB AC AD AF  △ △ 其中，AB=1 份，AD=AB+BD=2 份；AC=1 份，AF=3AC=3 份。 : ( ) : ( ) 1 1: 2ABC ADFS S AB AC AD AF       △ △ △ABC 的面积是 1 份，△ADF 的面积为 6 份，所以△ADF 的面积是 6. 同理可得△CEF 的面积是 8，△BDE 的面积是 3. 所以 1 8 6 3 18S S S S S        △DEF △ ABC △FCE △ ADF △BDE 例 6：如图，平行四边形 ABCD，BE=AB,CF=2CB,GD=3DC,HA=4AD, 平行四边形 ABCD 的面积是 2，求平行四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积比。 分析： 此题要加两条辅助线，分两步完成，先看第一步，连接 AC A D F CB F C B EA A D E B C G A E F H B CD 学而思培优 五年级秋季班第一讲三角形中的模型（一） 李海君                                                                                            学而思                                                                                      8 / 15        为了看着方便我们擦掉了 EH 和 FG，因为 ABCD 是平行四边形，所以， S△ABC = S△ADC =1. 在△ADC 和 △DGH 中，∠ADC 与∠GDH 互补，所以这两个三角形形成鸟头模型： : ( ) : ( )ADCS S AD DC GD DH  △ △GDH 其中 AD=1 份，DH=AD+AH=5 份；DC=1 份，GD=3DC=3 份。 : ( ) : ( ) 1 1: 3 5 1:15ADCS S AD DC GD DH      △ △GDH 所以， S△GDH =15 同理可得 S△BEF=3 第二步连接 BD,同时擦掉 EF 和 GH。 方法同上，可以求出 : : 2 : 3ABCS S BE BA △BCE △ ， 所以 8 8 15 3 2 36.EFGH AEH ABCDS S S S S S          △ △CFG △DHG △BEF 所以 : 2 :36 1:18ABCD EFGHS S       A E F G H B CD G A E F H B CD 学而思培优 五年级秋季班第一讲三角形中的模型（一） 李海君                                                                                            学而思                                                                                      9 / 15        四． 作业 1. 如下左图，在△ABC 中，D、E 分别是 BC、AB 的三等分点，且△ABC 的面积是 54，求△CDE 的面积。 分析：利用三角形等积变形，由于 E 是 AB 的三等分点，所以 AB=3 份，EB=2 份。 根据： （两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比） 可得:  : : 2 : 3ABCS S BE BA △BCE △               上式表明，△ABC 的面积是 3 份，△BCE 的面积是 2 份， S△BCE =54÷3×2=36. 又因为 D 是 BC 的三等分点，所以 BC=3 份，CD=1 份。 可得： : : 1 : 3S S CD CB △CDE △CBE 同上可得： 36 3 12S   △CDE             2. 如图，长方形 ABCD 的面积是 1，M 是 AD 边的中点，N 在 AB 边上，且 1 . 2 AN BN 那么阴影部分的面积等于＿＿＿＿。 分析：BD 把长方形平分，所以△ABD 的面积为 1 2 ，  E B C A D A D B C M N 学而思培优 五年级秋季班第一讲三角形中的模型（一） 李海君                                                                                            学而思                                                                                      10 / 15                  △ABD 和△ANM 有一个共角∠A，所以根据鸟头模型可得： : ( ) : ( )ABDS S AN AM AB AD  △ANM △         其中 1 . 2 AN BN ，所以设 AN=1 份，AB=3 份；AM=1 份，AD=2 份,带入上式 : ( ) : ( ) 1 1 : 3 2 1 : 6ABDS S AN AM AB AD      △ANM △               先求出一份 1 16 2 12   ，                阴影部分等于 6－1=5 份，所以阴影面积等用于 1 55 12 12     3. 题目略 分析：三个正方形的面积分别是 9、16、36 平方厘米， 所以途中 4 个三角形的面积和为 77-9-16-36=16（平方厘米） 又根据例 3 可知，这 4 个三角形面积相等，所以 S△ ANM =16÷4=4（平方厘米） 4. 题目略 I B C A H G F D E B C A F D E 学而思培优 五年级秋季班第一讲三角形中的模型（一） 李海君                                                                                            学而思                                                                                      11 / 15        分析：根据鸟头定理分别求△BDF、△CEF、△ADE 的面积与△ABC 的面积的关系 : (5 ) : (7 ) 15 : 56ABCS S      △BDF △ : (2 ) : (5 ) 1 : 4ABCS S      △CEF △ : (2 ) : (7 ) 6 : 35ABCS S      △ADE △ 三个比里都有△ABC，但在不同的比中，△ABC 所占分数不同。 所以我们把△ABC 在三个比中的所占分数统一，也就是 4、35、56 的最小公倍 数，设 ABCS△ =280 份.根据比得基本性质可得： : (5 ) : (7 ) 15 : 56 75 : 280ABCS S       △BDF △ : (2 ) : (5 ) 1 : 4 70 : 280ABCS S       △CEF △ : (2 ) : (7 ) 6 : 35 48 : 280ABCS S       △ADE △   S△ DEF =280-75-70-48=87 份，也就是 43.5 平方厘米，所以 △ABC 的面积为 140 平方厘米 5. 题目略                                              分析：此题与例 6 类似，所不同的就是中间的四边形不是平行四边形。 但解法的步骤是一样的，但要注意当我们连接 AC 后，得到的两个三角形             △ABC 和△ADC 的面积不同，我们分别设为 X 和 Y，X+Y=5 平方厘米如下图： D B E H G F A C 学而思培优 五年级秋季班第一讲三角形中的模型（一） 李海君                                                                                            学而思                                                                                      12 / 15        (擦掉了 EH 和 FG)               根据鸟头模型：                : 1 1 : 2 3 1 : 6S S    △ABC △EBF     即    6S Y△ EBF                   : 1 1 : 2 3 1 : 6S S    △ADC △HDG     即    6S X△ HDG                 6 6 6( ) 6 5 30S S X Y X Y       △EBF △HDG                 同理连接 BD,可求出 30S S △EAH △FCG               则四边形 EFGH 的面积是 30+30+5=65平方厘米    6. 题目略        方法 1：此题比较复杂  ，拆开来看，里面有 4组鸟头模型，如下图  D Y X B E H G F A C E D G C F A B 学而思培优 五年级秋季班第一讲三角形中的模型（一） 李海君                                                                                            学而思                                                                                      13 / 15                                  (1)  根据鸟头定理：  : ( ) EAS S EA F EG F EG        △EAB △EFG     (2)  : ( ) EA DS S EA D F EG F EG         △DEA △EFG                       (3)  : ( ) BE CS S BE C F EG F EG          △CEB △EFG   E F G A B D GF E A F C G E B 学而思培优 五年级秋季班第一讲三角形中的模型（一） 李海君                                                                                            学而思                                                                                      14 / 15          (4)  : ( ) DE CS S DE C F EG F EG          △CDE △EFG   : ( ) ( ) ABCD ABCD S AE BE DE AE BE CE DE CES S S EF EG AE CE BE DE AC BD EF EG EF EG                △EFG △EFG   因为 DE=BG,CE=AF.  所以,BD=EG,AC=EF. 所以： : 1:1ABCDS S △EFG 所以△EFG 的面积也等于 1. 方法 2：连接 CG 和 AG，如图 E C D AF E S7 S6 S5 S4 S3 S2 S1 D G C F A B 学而思培优 五年级秋季班第一讲三角形中的模型（一） 李海君                                                                                            学而思                                                                                      15 / 15        因为 DE=BG,所以 S1=S3，所以 S1+S2=S2+S3; S4=S6，S4+S5=S5+S6 因为 AF=EC,所以 S2+S3=S7，综合上式得到 S1+S2=S7 四边形 ABCD 的面积等于 S1+S2+S4+S5 三角形 EFG 的面积等于 S5+S6+S7， 因为 S4+S5=S5+S6，S1+S2=S7 所以，△ABC 的面积就等于四边形 ABCD 的面积， S△EFG =1