洛伦兹力的相对论解释

洛伦兹力的相对论解释Ξ 戴孟昆 (昆明理工大学理学院 ,云南昆明 ,650051) 　　摘 　要 　用狭义相对论讨论运动电荷之间的相互作用时 ,可以推导出洛伦兹力的达式. 并且可以看到 电力 (库仑力)与速度无关 ,磁力与速度有关 ,因而磁力是一种相对论效应. . 关键词 　相对论 ; 　电荷 ; 　洛伦兹力 中图分类号 : 　O412 　　文献标识码 : 　A 　　文章编号 : 　1005 - 7188 (2001) 02 - 0329 - 03 众所周知 ,狭义相对论是电动力学发展的必然结果 ,它从时空观的高度总结了电磁场的规律. 由此可 以将低速运动电荷粒子的规律推广到高速运动电荷粒子上去. 下面我们用狭义相对论讨论运动电荷之间 的作用 ,并推导出洛伦兹力的表达式[1 ] . 1 　静止电荷对运动电荷的作用力 在参照系 K′中有一正电荷 q1 , ƒr′处有一正电荷 q2 以速度 ˆu′运动 , q1 对 q2 的作用力由库仑定律可得 , 参看图 1.ˆF′= 14πε0 q1 q2ƒr′ƒr′3 　　　(1) 其分量形式为 : F′x = 14πε0 q1 q2 x′ƒr′3 　　(2) 　　　 F′y = 14πε0 q1 q2 y′ƒr′3 　　(3) 　　　 F′z = 14πε0 q1 q2 z′ƒr′3 　　(4) 2 　运动电荷对运动电荷的作用力 如果 k′系对 k 系以ƒv 沿 x 轴作匀速运动 ,当原点重合时 ,在 k 系中求出以速度ƒr 运动的电荷 q1 对以速 度 ˆu 运动的电荷 q2 的作用力. 已知 k′系中 q1 对 q2 的作用力如 (2) 、(3) 、(4) 式所示. 而在 k 系中观察时 , q1 对 q2 的作用力应根据洛 伦兹变换得出 : 2. 1 　力的变换 Fx = F′x + v c 2 ( F′yuy′+ F′zuz′) 1 + u′xv c 2 　(5) 　　γ = 1 1 - ν 2 c 2 = 1 1 - β2 　　β = ν c Fy = F′y γ(1 + u′xv c 2 ) 　　(6) 　　　　 Fz = F′z γ(1 + u′xv c 2 ) (7) 根据电荷的相对论不变性 ,将 (2) 、(3) 、(4) 式代入 (5) 、(6) 、(7) 式中得 : Fx = q1 q2 4πε0 r′3 ( x′+ ν c 2 u′yy′ 1 + u′xν c 2 + ν c 2 u′zz′ 1 + u′xν c 2 ) (8) 923 Ξ 收稿日期 :2000 - 09 - 27 　　　作者简介 :戴孟昆 (1959 - ) ,男 ,四川江津人 ,讲师 ,主要从事物理教学及研究工作. 第 10 卷第 2 期 2001 年 4 月 云南民族学院学报 (自然科学版) Journal of Yunnan University of the Nationalities(Natural Sciences Edition) Vol. 10 　No. 2 Apr. 2001 Fx = q1 q2 4πε0 r′3 [ y′ γ(1 + u′xν c 2 ] (9) Fx = q1 q2 4πε0 r′3 [ z′ γ(1 + u′xν c 2 ] (10) 2. 2 　坐标变换 x′= x - ut 1 - ν 2 c 2 = γx 　　y′= y 　　z′= z 　　(取 t = 0 时) (11) 2. 3 　速度变换 u′x = ux - ν 1 - uxν c2 (12) u′y = uy 1 - ν2 c 2 1 - uxν c 2 = uy γ(1 - uxν c 2 ) 　　(13) 　 u′z = uz 1 - ν2 c 2 1 - uxν c 2 = uz γ(1 - uxν c 2 ) (14) i . 由 (11) 、(12) 、(13) 式变换 (8) 式中的第二项 : ν c 2 u′yy′ 1 + u′xν c 2 = νu′yy′ c 2 + u′xν = ν[ uy γ(1 - uxν c 2 ) ] y c 2 +ν( ux - ν 1 - uxν c 2 ) = 1 1 - uxν c 2 ·νuyyγ ( c2 - uxν+νux - ν2) 1 1 - uxν c 2 = νuyy γ c 2 γ2 = γν c 2 uyy ii . 由 (11) 、(12) 、(14) 式变换 (8) 式中的第三项 : 同理得 : 　　 ν c 2 u′zz′ 1 + u′xν/ c2 = γν c 2 uzz iii . 变换 (9) 、(10) 两式中的 1 1 + u′xν/ c2 项 : 　 1 1 + u′xν c 2 = c 2 - uxν c 2 - uxν+ uxν - ν2 = γ2 (1 - uxν c 2 ) 2. 4 　力的矢量表达式 将变换后的力的分量代入矢量表达式中 ,并整理得 :ˆF = Fxƒi + Fyƒj + Fzƒk = 14πε0 q1 q2γr′3 [ ( x +νuyyc2 +νuzzc2 ) ƒi + (1 - uxνc2 ) yƒj + (1 - uxνc2 ) ZˆF ] = 1 4πε0 q1 q2γ r ′3 [ƒr + 1 c 2 ˆu ×( ƒν׃r) ] ① (15) iv. 变换 (15) 式中的 r′. r ′2 = x ′2 + y′2 + z′2 = (γx) 2 + y2 + z2 = γ[ x2 + ( y2 + z2) (1 - β2) ] = γ2 r2[1 - β2 sin2θ] 代入 (15) 式中得 :ˆF = q1 q2 4πε0γ2 r3 [1 - β2 sin2θ]3/ 2 [ƒr + 1 c 2 ˆu ×( ƒν׃r) ] (16) (16) 式即为以速度 ƒv 运动的电荷 q1 对以速度 ˆu 运动的电荷 q2的作用力. 3 　洛伦兹力的相对论解释 众所周知 ,在不考虑辐射问题时 ,以速度 ˆu 在强度为ˆE 和 ˆB 的电磁场中运动的电荷所受到的力是洛伦 033 ① 按矢量乘法 U = Vxƒi 、ƒr = xƒi + yƒj + zˆk、U = Uxƒi + Uyƒj + Uzˆk 可得 (15) 式 云南民族学院学报 (自然科学版) 第 10 卷 兹力 (它是电动力学的基本规律之一) : 　ƒf = qˆE + qˆu ׈B (17) 对于 (16) 式我们分两种情况来讨论. 3. 1 　当ν ν c 时 因为 c2 = 1ε0μ0 ,则μ0 = 1 ε0 c2 ,又因ν 2 c 2 ν 1 ,β2 可以忽略 ,γ = 1 代入 (16) 得 :ˆF = q1 q2 4πεr3 ƒr + μ04πr3 q2 ˆu ×( q1ƒν׃r) (18) (18) 式中第一项可写为 q1 q2 4πε0 r3 ƒr = ˆEq2 ,其中 ˆE = q14πε0 r3 ƒr 为电荷 q1在 ƒr 处所产生的电场强度. 第二项 根据毕奥 - 萨伐尔定律 , μ0 4πr3 ( q1ƒv ׃r) 正是从 K系中所观察到的运动电荷q1 在 ƒr 处所产生的磁感强度ˆB . 因此 (18) 式亦可写为 : ˆF = q2 ˆE + q2 ˆu ׈B 与 (17) 式完全吻合. 现在我们来分析一下 (1) 式与 (18) 式的区别 :在参照系 K′中观察到 q1 是静止的 ,它只激发电场不激 发磁场 ,因此 , q1 对 q2 的作用力只有电力即库仑力 ;而在参照系 K中观察 q1 是以 ƒv 运动着的 ,它不仅激发 电场而且激发磁场. 因此 , q1 对 q2 除了有库仑力作用外 (与速度无关) ,还有磁力作用 ,磁力与速度有关 ,它 是一种相对论效应. 从上面的分析不难看出 ,电磁场之间是相互联系着的 ,如同时间和空间之间的相互联系情况类似. 可 以说电场和磁场是同种物质的不同侧面 ,在给定参照系中 ,电场和磁场表现出不同性质 ,当参照系变换时 , 他们可以互相转化. 如在某一惯性系中观察一个静止电荷时 ,它只激发静电场 ,但是变换到另一惯性系中 时 ,观察到电荷是运动的 ,除了电场之外还激发磁场[2 ] . 3. 2 　当ν→ c 时 由 (16) 式我们不难看出 , q1 所激发的电磁场的分布将发生变化 ,与β和θ有关. 参考文献 1. 张泽瑜 , 赵钧. 电动力学[M] . 北京 :清华大学出版社. 1987. 227 - 225 2. 梁绍荣 , 王雪君. 电动力学基础[M] . 北京 :北京师范大学出版社. 1981. 301 - 305 Explanation of Lorentz Force by The Theory of Relativity DAI Meng2kun (The Fachlty of Science , Kunming University of Science and Technology , Kunming , 650093) Abstract 　We discuss one electric charge act on the other one by the special theory of relativity and we can ob2 tain the expression of Lorentz force. Electric force (Coulomb force) is no relation of their speed , but magnetic forcede2 pendent on speed. The result of magnetic force is an effect of the relativity. Key words 　Theory of relativity , 　Electric charge , 　Lorentz force 133 第 2 期 戴孟昆 : 　洛伦兹力的相对解释