5-4 奈奎斯特

1 5-4 奈奎斯特稳定判据 闭环控制系统的稳定性由系统特征方程的根唯一确定。三阶 以上的高阶系统，求解特征根通常很困难，已介绍劳斯判据和根 轨迹法。 奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断系统 稳定性的又一重要。是将系统的开环频率特性 与 位于S平面右半部的根联系起来的一种判据。 奈氏判据是一种图解法，依据系统的开环频率特性。由 于系统的开环特性可用解析法或实验法获得，因此，应用奈氏判 据分析系统的稳定性方便实用，且有助于建立相对稳定性的概念。 )()(  jHjG 0)()(1  sHsG 2 一、幅角定理 幅角定理又称映射定理，建立在复变函数理论基础上。奈氏判据以幅角定 理为依据。 设有复变函数 称为辅助函数，其中 是系统的开环传递函数. )()(1)( sHsGsF  )()( sHsG 式中 是系统的开环极点，由上2式 比较上式知， )())(( )()( 21 01 1 1 n m m m m pspsps bsbsbsbsHsG     )())(( )())(( )( 21 21 n n pspsps zszszsksF   )(sF辅助函数 的零点都具有负实部，即都位于S平面左 半部，系统稳定，否则系统不稳定。 ip )(sF ),,2,1( niZ i 辅助函数 的零点 闭环传递函数的极点 系统的稳定性 3 假设复变函数 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都 为连续的正则函数,即F(s)在s平面上除奇点外处处解析，则对于s平面上 的每一个解析点，在F(s)平面上必有一点（称为映射点）与之对应。 例如，当系统的开环传递函数为 则其辅助函数是 除奇点 和 外，在S平面上任取一点，如 则 )(sF )1( 1)()(  sssHsG )1( 1)()(1)( 2   ss sssHsGsF 0s 1s （一）S平面与 平面的映射关系 )(sF 211 js  15.095.0 )121)(21( 1)21()21()( 2 1 jjj jjsF   4 如图所示，在 平面上有点 与S平面上的点 对 应, 就叫做 在 平面上的映射点。 )(sF 15.095.0)( 1 jsF  211 js )( 1sF 1s )( sF j 2j 1s 's 0 1 ''s 1  S mI 0 eR )( 1sF   SF 15.0 95.0 S平面上的点在F(s)平面上的映射 5 如图，如果解析点 在S平面上沿封闭曲线 （ 不经过 的奇点）按 顺时针方向连续变化一周，则辅助函数 在 平面上的映射也是一条封 闭曲线 ，变化方向是顺时针或是逆时针，依辅助函数 的性质而定。 1s )(sF F s s )(sF)( 1sF )(sF S平面到F(s)平面的映射 j  s  1P2P 1s 3P 1Z 2Z 3Z 0 )(a s mI  )(sF eR )( 1sF )( 2sF )( 3sF 0 )(b F 6 N>0，F 按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；N<0，F 按顺时针绕 F(s)平面坐标原点N周； N=0，F 不包围F(s)平面坐标原点。 上图中,S平面上有三个极点和三个零点。被s 曲线包围的零点有Z1 、Z2 两个，即Z=2，包围的极点只有P2 ，即P=1，由幅角定理得N=P-Z=1-2 = -1, 说明s 映射到 F(s)平面上的封闭曲线F 顺时针绕F(s)平面原点一周。 由幅角定理，可确定辅助函数 被封闭曲线s 所包围的极点数P与零 点数 Z的差值P-Z。 )(sF （二）幅角定理（映射定理） 设F(s)在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续正则函数，若在 S平面上任选一封闭曲线s ，并使s 不通过F(s)的奇点，则S平面上的封闭 曲线s 映射到F(s)平面上也是一条封闭曲线F 。当解析点s按顺时针方向 沿s 变化一周时，则在F(s)平面上， F 曲线按逆时针方向旋转的周数N （每旋转2弧度为一周），或 F 按逆时针方向包围F(s)平面原点的次 数，等于封闭曲线s 内包含F(s) 的极点数P与零点数Z之差。即 N=P-Z 7 的极点数等于开环传递函数 的极点数，因此当从 平面 上确定了封闭曲线F 的旋转周数N以后，则在 S 平面上封闭曲线s 包含的 零点数Z（即系统的闭环极点数）可由下式计算 Z=P-N 封闭曲线s和F 的形状不影响上述结论。 )(sF )()( sHsG )(sF      3 1 3 1 111 )()()( j i ij pszssF ))()(( ))()(( )( 321 321 pspsps zszszssF   1S )( 1sF 设有辅助函数为 其零、极点在S平面上的分布如图所示，在 s平面上作一封闭曲线s , s 不通过上述零、极点，在封闭曲线s 上任取一点 , 辅助函数 的幅 角应为 从几何图形说明幅角定理。 8 当解析点s1 沿封闭曲线s按顺时针方向旋转一周回到 s1 点，所有 位于封闭曲线s 外辅助函数的零、极点指向s1 的向量转过的角度都为 0，而位于封闭曲线s 内的辅助函数的零、极点指向s1 的向量都按顺时 针方向转过2弧度（一周）。 对图（a），Z=1，P=0， ，即N=－1， F(s1 )绕F(s) 平 面原点顺时针旋转一周； 2)( 1  sF 12)(01)( 1  NsFPZa 、、、  mI   sF eR )( 1sF 1NF 1Z j 1p 11 PS  2p 11 zs  21 ps 31 ps  3p3z 31 zs  1s 2z 21 zs  0 s  9 12)(10)( 1  NsFPZb 、、、  00)(11)( 1  NsFPZc 、、、   sj1s1 Z 1P 0 2Z 2P3P3Z s 0 )( 1sF Im  )(sF Re 1N F 0 Im  )(sF )( 1sF Re 0N F 3Z 3P 2P 1s 2Z 0 1P  s j  s 推广到一般情况有 由此，得到幅角定理 表达式为 N=P-Z NZPsF  2)(2)(  二、基于辅助函数 的奈氏判据 思路：  分析系统的稳定性 F(s)是否存在S平面右半部的零点。  在S平面上作一条完整的封闭曲线s ，包围S平面右半部且按顺时针环绕。 这一封闭无穷大半圆称作奈氏轨迹。显然，包围了F(s)位于S平面右半部的极点 和零点。 )(sF   R j   S Nyquist轨迹 辅助函数F(s)的极点等于系统的开环极点，F(s) 的零点等于系统的闭环极点。因此，如果奈氏轨迹 中包围F(s)的零点数Z=0，系统是稳定的，此时由F(s) 映射到F(s)平面上的封闭曲线F 逆时针绕坐标原点 的周数应为 N=P s 基于辅助函数F(s) 的奈氏判据为 若辅助函数F(s) 的解析点s沿奈氏轨迹 s 按顺时针连续环绕一周，它在F(s) 平面上的映射F 按逆时针方向环绕其原点 P周，则系统稳定，否则不稳定。 通常，开环系统是稳定的，即S平面右半部的开环极点数P=0。此时系统稳定 的充分条件是不包围F(s) 平面坐标原点，即 N=0。 三、基于开环传递函数G(s)H(s)的奈氏判据 用辅助函数 F(s)=1+G(s)H(s) 分析系统的稳定性不方便，由于 • 将F(s) 平面的纵轴向右平移一个单位构成 GH平面。 • F(s)平面的坐标原点是GH 平面的(-1, j0)点。 • F 绕F(s) 平面原点的周数等于GH 绕GH平面(-1, j0)点的周数。 1)()()(  sFsHsG GH (-1, j0) 0 0 [GH][F] 1 12 由分析，得到基于开环传递函数G(s)H(s) 的奈氏判据如下： 闭环系统稳定的充分必要条件是奈氏轨迹映射到GH平面上的封闭 曲线GH 逆时针包围(-1,j0)点P周，其中P为开环传递函数G(s)H(s) 在S 平面右半部的极点数。 当G(s)H(s)在S平面右半部没有极点时，即P=0，闭环系统稳定的充 分必要条件是GH 在GH平面上不包围(-1,j0)点。 1、 在S平面虚轴上（包括原点）无极点时，奈氏轨迹分三部分， （1） ，s沿负虚轴变化； （2） ，s沿正虚轴变化； （3） ，s沿以原点为圆心，半径为无穷大的右半圆弧变化， 其中 ，对应s 由ω: 顺时针绕。 )()( sHsG 0  0 j R s  Relim       S R )1( )2( )3( j  Nyquist轨迹 s （1）当s在S平面负虚轴上变化时， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s j j G j H j G s H s G j H j G j H j e               js  在[GH]平面上的映射如图中曲线（1）。 四、基于开环频率特性 的奈氏判据 （一） 与 之间的关系 频率特性是 特定情况下的传递函数，研究 与 之间的关系。 )()(  jHjG )()( sHsG )()(  jHjG )()(  jHjGjs  )()( sHsG 14 s 在GH平面上的映射 mI  GH eR )2( 0 )1( )3(     0 Kk mna )( GH  GH mI eR )2( 0 )1( )3(     0 K mnb )( GH （2）当s在S平面正虚轴上变化时， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s j j G j H j G s H s G j H j G j H j e            图中的曲线（2），这正是系统的开环频率特性。由于正负虚轴在S平面上以实 轴为对称，它们在GH平面上的映射曲线（1）、（2）两部分也对称于实轴。 js  15 s 过平面原点时，s=j0，GH平面上的映射为 即S平面的原点在GH平面上的映射为常数K（K为系统开环放大系数）。 KjHGsHsG js  )0()0()()( 0 j R s  Relim    )( Relim01 1 1 01 1 1 Relim )1lim( )()( mnj mn n m R s n n n n m m m m s e Ra b asasasa bsbsbsb sHsG j R j R                k a bsHsG n m s j R   Relim)()( 奈氏轨迹s 在GH平面上的映射 称为奈奎斯特曲线或奈氏曲线。   )( Relim 0)()( mnj s esHsG j R    GH n=m， , 映射为常数K，图(a) n>m， ，映射为坐标原点（图b） （3）s在s 的第三部分上的变化时， 16 虚轴上有开环极点时的奈氏轨迹 j  0 0 0  )1( )2( R )3( )4( 0r   S s 2、当 在S平面的虚轴上（包括原点）有极点时，由于奈氏轨迹不 能经过开环极点，s 必须避开虚轴上的所有开环极点。增加第4部分曲线，如下 图所示。其中（1）（2）和（3）部分的定义与上图相同. )()( sHsG 17 ) 22 (  第（4）部分的定义是： 表明s沿以原点为圆心，半径为无穷小的右半圆弧上逆时针变化（ ）。 这样， s 既绕过了 原点上的极点， 又包围了整个右半S平面，如果在 虚轴上还有其它极点，亦可采用同样的方法。 j r res 0 lim   00由 )()( sHsG 设系统的开环传递函数为 v为无差度，即系统含积分环节的个数或位于原点的开环极点数。当 ， )())(( )())(( )()( 21 21 vn v m pspspss zszszsk sHsG   j r res 0 lim    jvjv vr ren v m res ee r K pspspss zszszsk sHsG j r j r         0 lim21 21 lim lim )())(( )())(( )()( 0 0 18 上式表明， s 的第（4）部分无穷小半圆弧在 GH平面上的映射为顺时针旋转 的无穷大圆弧，旋转的弧度为 弧度。图（b）、（c）分别表示当 v=1和v=2时 系统的奈氏曲线，其中虚线部分是s 的无穷小半圆弧在GH平面上的映射。  （b)、(c) 时的奈氏曲线0v（a）虚轴上有开环极点 时的奈氏轨迹 j  0 0 0  )1( )2( R )3( )4( 0r   S s  0  0 1 0 R     0  GH 2v eR )(c mIm I 0 0 0     R 0 1v eR )(b  GH a b c A B C A C B 19 （二） 基于 的奈氏判据 奈氏曲线 是系统开环频率特性极坐标图的扩展。当已知系统的 开环频率特性 ，根据它的极坐标图，可在 GH平面上绘制 出奈氏曲线 。由此得到基于开环频率特性的奈氏判据如下： 奈奎斯特稳定判据 闭环系统稳定的充分必要条件是，GH 平面上的开环频率特性 ，当 时 ，按逆时针方向包围 点 P周。当位于S平面右半部的开环极点数P=0时，即当开环传递函数的全 部极点均位于S平面左半部（包括原点和虚轴）时，闭环系统稳定的充 分必要条件是奈氏曲线 不包围GH平面的 点。 )()(  jHjG )()(  jHjG )()(  jHjG  变化到由 GH GH )0,1( j )0,1( jGH ZPN  20 应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况： (i) 当系统开环传递函数 的全部极点都位于S平面左半部时 （P=0），如果系统的奈氏曲线 不包围GH平面的(-1, j0)点（N=0），则 闭环系统稳定（Z=P-N=0），否则不稳定； （ii)当系统开环传递函数 有P个位于S平面右半部的极点时，如果系统 的奈氏曲线 逆时针包围(-1, j0)点的周数等于位于S平面右半部的开环极 点数（N=P），则闭环系统稳定（Z=P-N=0），否则不稳定； (iii) 如果系统的奈氏曲线 顺时针包围(-1, j0) 点（N<0），则闭环系统不稳定 （Z=P-N>0）。 当 GH 曲线恰好通过GH平面的(-1, j0)点，此时如果系统无位于S平面右 半部的开环极点，则处于临界稳定状态。 综上，奈氏曲 线GH 是否包围GH平面的(-1, j0)点是判别系统是否稳定 的重要依据（当然还须考虑是否存在S平面右半部的开环极点和曲线GH 包 围(-1, j0)点的方向）。 )()( sHsG )()( sHsG GH GH GH 21 五、奈氏判据的应用 例5—6 试用奈氏判据分析例5—1系统的稳定性。 解 该系统的开环传递函数为 其对应的频率特性是 当ω：－∞→＋∞ 时系统的奈氏曲线如下图（a）所示。该系统的两个开 环极点 和 均在S平面左半部，即S平面右半部的开环极点数P=0， 由图(a)可知，系统的奈氏曲线 不包围 点（N=0），根据奈氏判 据，位于S平面右半部的闭环极点数 Z=P－N=0，该闭环系统是稳定的。 )0( )1)(1( )()( 21 21  TTsTsT KsHsG )1)(1( )()( 21    jTjT KjHjG 1 1 T  2 1 T  GH ),1( j 22 上述结论可从图 b所示的根轨迹图得到证明，由图，无论K为何值根轨迹都 在S平面左半部，系统总是稳定的。 图b 例5-6根轨迹图     1 0 K 0 eR mI  GH 图a 例5-6奈氏曲线 )0(1 KP2)0( PK  K 2 1 T  1 1 T  j  S 0  K 23 例5—7 试用奈氏判据分析例5—3系统的稳定性。 解 该系统的开环传递函数为 其对应的频率特性是 当 时，系统的奈氏曲线如下图所示。由于系统含有一个 积分环节（v=1），当 对应奈氏曲线为顺时针环绕坐标原点 的无穷大半圆（图中虚线所示）。 )10( )12( )()( 22   TssTs KsHsG v )21( )()( 22  TjTj K jHjG v  由 变至 时，至由  00 24 0     eR  GHm I  0  0 25例5-7奈氏曲线 系统是否稳定取决于奈氏曲线与负实轴的交点坐标值 的大小， 时， 不包围(-1, j0) 点，N=0，图(a)，系统稳定； 时， 顺时针包围(-1, j0) 点两周，N=-2 , 图(b)，系统不稳定。 2 TKv 1 2  TK v 1 2  TK v GH GH 0    2 TKV  0  0 eR  GHm I 01 2 )(  NTKa V 时 1 1    2 TKV  0  0 eR  GHm I 21 2 )(  NTKb V 时 0 26 例5—8 已知反馈控制系统的开环传递函数为 试用奈氏判据分析当 时系统的稳定性。 解 T )1( )1()()( 2   Tss sKsHsG    TTT 、、 )1( )1()()( 2   jT jKjHjG   222 22 1 1)()(   T KjHjG    arctgarctgTjHjG  0180)()( (a) 时， , ω由0变至+∞时， 由∞ 变至0， 由-180o在第III象限内变化为-180o，对应的奈氏曲线 如图（a）所示，图中虚线表示的顺时针旋转的无穷大圆弧是开环零重极点 在 GH 平面上的映射。奈氏曲线左端无穷远处是开口的（N=0） ，由奈氏判 据知，当 时，系统是稳定的（Z=P-N=0） 。  arctgarctgT  )()(  jHjG )()(  jHjG T 27 （c） 当 时， ，系统的相频特性 与角频率 无关，幅频特性 ，当 由 变至 0 。如图（b）所示，除无穷大圆弧外，奈氏曲线是穿过(-1, j0)点且与负 实轴重合的，系统是临界稳定状态。 时系统的根轨迹如图（b’）所示。由于两条根轨迹位于S平面的虚 轴上，系统是等幅振荡的临界稳定状态。 （b） 时， ，当 由0变至 时， 由 变至0， 在第II象限内变化后再次变为-1800，其 对应的奈氏曲线如图（c）所示。由于奈氏曲线左端是封口的，它顺时针包围 了(-1, j0)点两周（N=2），由奈氏判据知， 时，该系统不稳定。 时 系统的根轨迹如图（c’）所示。由于有两条根轨迹全部位于S平面右半部，无 论K为何值，该系统都是不稳定的。 T  arctgarctgT  0180)()(   jHjG  )()(  jHjG 时，变至由 0  T T  arctgarctgT    )()(  jHjG  0180)()(  由 jHjG T T 28例5-8系统的根轨迹图 0 2 1 P P3P T 1  1 j  S  稳定）(T '( )a )(a 例5-8系统的奈氏曲线     0 0   mI eR  GH T 1 0     1 0     mI eR T )(c  GH     0 0   0  0 1 0  GHmI eR T )(b   2 1 P P3p 0 T 1 1 j  )(不稳定T  S (b’) 2 1 P P 临界稳定）(T 0 j  S  (c’) 29 根据对数频率特性图判断系统的稳定性 [GH]平面上单位圆与对数坐标平面的关系： 0dB线以上 －π线 幅值大于1时，相频特性曲线由上至 下穿越－π线（负穿越） 0dB线GH平面上的单位圆 0dB线以下单位圆内 单位圆外 负实轴 顺时针绕 点)0,1( j 逆时针绕 点)0,1( j 幅值大于1时，相频特性曲线由下至上 穿越－π线（正穿越） 在对数幅频特性大于零的频段内，相频特性曲线穿越 线的次 数 ，满足 ，则系统稳定。  NNN 02  NPZ 利用对数频率特性图判断系统稳定性的奈氏判据为 30   NNN  180   )( (-) (+) (-) NPZ 2 )(L 31 )12.0)(11.0( 30)(  ssssG -20dB/dec -40dB/dec 0.03 0.3 30 ωc -60dB/dec 80 60 o ω L(ω) 0 -90 -180 -270 ω Φ(ω) 3 11 5-4 奈奎斯特稳定判据 幻灯片编号 2 幻灯片编号 3 幻灯片编号 4 幻灯片编号 5 幻灯片编号 6 幻灯片编号 7 幻灯片编号 8 幻灯片编号 9 幻灯片编号 10 幻灯片编号 11 幻灯片编号 12 幻灯片编号 13 幻灯片编号 14 幻灯片编号 15 幻灯片编号 16 幻灯片编号 17 幻灯片编号 18 幻灯片编号 19 幻灯片编号 20 幻灯片编号 21 幻灯片编号 22 幻灯片编号 23 幻灯片编号 24 幻灯片编号 25 幻灯片编号 26 幻灯片编号 27 幻灯片编号 28 幻灯片编号 29 幻灯片编号 30 幻灯片编号 31