1-4函数的连续性

nullnull第三节 的连续性 （continuity of functions）null目的与要求 理解函数在一点连续(continuity at a point)的概念，了解函数区间上连续(continuity on an interval)的概念 会判别函数间断点的类型 了解初等函数连续性，了解闭区间上连续函 数性质:介值定理(intermediate value theorem)、零点定理、最值定理一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量null2.连续的定义nullnull例1证由定义知null3.单侧连续定理null例2解右连续但不左连续 ,null4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,null二、函数的间断点二、函数的间断点null1.跳跃间断点例3解null2.可去间断点例4null解注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.null如例4中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点null3.第二类间断点例5解nullnullnullnullnull判断下列间断点类型:null例7解小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;2.间断点的分类与判别;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)null可去型第一类间断点跳跃型无穷型振荡型第二类间断点三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性四则运算的连续性 复合函数的连续性 初等函数的连续性 1、四则运算的连续性1、四则运算的连续性定理1例如,2、复合函数的连续性定理2、复合函数的连续性null例1解同理可得3、初等函数的连续性3、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★null定理 基本初等函数在定义域内是连续的.一切初等函数在其定义区间内是连续的★(均在其定义域内连续 )null例2例3解解四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质定义:例如,null定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.null定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.nullnull几何解释:null例4证由零点定理,