二进制浮点数

几乎所有计算机都支持二进制数据表示，即能直接识别二进制数据表示并具有相应的指令系统。通常采用的二进制定点数据表示主要有：符号数值、反码、补码以及带偏移增值码四种形式，其中最常用的是补码形式，这些都已在计算机组成原理课程中做了详细讨论，这里不再阐述。  二进制浮点数的表示，由于不同机器所选的基值、尾数位长度和阶码位长度不同，因此对浮点数表示有较大差别，这就不利于软件在不同计算机间的移植。美国IEEE（电子及电子工程师协会）为此提出了一个从系统结构角度支持浮点数的表示方法， 称之为IEEE标准754(IEEE，1985)，当今流行的计算机几乎都采用这一标准。  IEEE 754在标识符点数时， 每个浮点数均由3个部分组成：符号位S，指数部分E和尾数部分M。  浮点数可采用以下四种基本格式：  (1)单精度格式(32位)：E=8位，M=23位。  (2)扩展单精度格式：E≥11位，M≥31位。  (3)双精度格式(64)位：E=11位，M=52位。  (4)扩展双精度格式(64位)：E≥15位，M≥63位。  其中，单精度格式(32位)中的阶码为8位， 另有一位尾数的符号位S，处在最高位。如图4.2.1所示。应该指出的是，浮点数的分数部分与有效位部分两者是不同的， 由于IEEE754标准约定在小数点左部有一位隐含位，从而使其有效位实际有24位，这样便使尾数的有效值变为1M。阶码部分采用移码表示， 移码值为127，从而使阶码值的范围由原来的1到254，经移码后变为-126到+127。  IEEE 754标准的单精度和双精度浮点数表示格式。其中，阶码值0和255分别用来表示特殊数值：当阶码值为255时，若分数部分为0，则表示无穷大；若分数部分不为0，则认为这是一个‘非数值’。当阶码和尾数均为0时则表示该数值为0，因为非零数的有效位总是≥1，因此特别约定，这表示为0。当阶码为0， 尾数不为0时，该数绝对值较小， 允许采用比最小规格化数还要小的数表示。概括起来，由32位单精度所表示的IEEE 754标准浮点数N可以有如下的解释：  若E=0，且M=0，则N为0。  若E=0，且M≠0，则N=(-1)S·2-126·(0.M)。为非规格化数。  若1≤E≤254，则N=(-1)S·2E-127·(1.M)。为规格化数。  若E=255，且M≠0，则N=NaN（‘非数值’）。  若E=255，且M=0，则N=(-1)S∝（无穷大）。  由此可见， IEEE 754标准使0有了精确表示，同时也明确地表示了无穷大，所以，当a/0(a≠0)时得到结果值为±∞；当0/0时得到结果值较小的数，为了避免下溢而损失精度，允许采用比最小规格化数还要小的数来表示，这些数称为非规格化数(Denormalnumber)。应注意的是，非规格化数和正、负零的隐含位值不是1而是0。  下面举两个例子来说明IEEE 754标准浮点数的表示：  (1)N=-1.5，它的单精度格式表示为：       1 01111111 10000000000000000000000  其中，S=1，E=127，M=0.5，因此N=-1.5。  (2)以下的32位数所表示的单精度浮点数为多少?       1 10000001 01000000000000000000000  其中，S=1，E=129，M=0.25，由公式可知N=-5。