nullBrown运动Brown运动随机游动随机游动设一个粒子在直线上做随机游动,每隔Dt时间内等可能的向左或向右移动Dx的距离。若记X(t)记时刻t粒子的位置,则
其中问:要令Dt和Dx趋于零,X(t)将会具有哪些性质?null首先来看
因此,null容易证明:
(1)X(t)服从均值为0,方差为s2t的正态分布;
(2){X(t),t≥0}有独立增量
(3) {X(t),t≥0}有平稳增量Brown运动的定义Brown运动的定义随机过程{B(t),t≥0}如果满足
(1)B(0)=0 ;
(2){B(t),t≥0}有平稳独立增量;
(3) 对每个t>0,B(t) 服从正态分布N(0,s2t).
则称{B(t),t≥0}为布朗运动,也称为wiener过程。
如果s=1,则称为标准布朗运动。注:第(1)条并不是必须的。如果B(0)=x,则称{B(t),t≥0}为始于x的布朗运动,记为Bx(t) 。Brown运动的另一种定义Brown运动的另一种定义Brown运动是具有如下性质的随机过程{B(t), t≥0}:
(1)正态增量性:
(2)独立增量性:B(t)-B(s)独立于过程的过去状态B(u), 0≤u≤s。
(3)路径的连续性: B(t)是t的连续函数。Brown的分布性质Brown的分布性质空间齐次性null定义:连续Markov过程的转移概率定义为在时刻s处于状态x的条件下,过程在时刻t的分布函数Brown的马氏性nullnull在Brown运动的情况下,转移概率是正态的转移概率函数满足P(y,t,x,s)=P(y,t-s,x,0 ),即这个性质称为Brown运动的时间时齐性,即分布不随时间而变化.nullnullnull有限维分布密度null注:由有限维分布,可以计算任何想求的条件概率。例如,求给定B(t)=y时,B(s),ss,则E(B(t)B(s))=s。再由正态分布的性质和数学归纳法得到B(t)的任意有限维分布都是多元正态分布。(5) {B(t),t≥0}是均值函数为m(t)=0, 协方差函数g(s,t)=min(s,t)高斯过程。?null下面证明B(t)的任意有限维分布都是多元正态分布。首先对任意t1=0}使得
是连续鞅,则是brown运动。null
(3) 由于B(t)~N(0,t),由正态分布的矩母函数知
这说明 可积,并且 null由于布朗运动具有独立增量性,对任何函数g(x)有,
令 则 null将上式两边同时乘以 Brown运动的路径性质Brown运动的路径性质(1){B(t),t≥0}是t的几乎处处连续函数;
(2)在任何区间(无论区间有多小)都不是单调的;
(3)几乎处处不可微;
(4)在任何区间(无论区间有多小)都是无限变差的,例:在区间[0,t]上的变差
(5)对任何t,在[0,t]上的二次变差等于t,即在几乎处处收敛的意义下
null(3)的简要证明:由Brown运动的性质知取极限得假设B(t)是可微的,其导数为B’(t)存在,则从而与(1)式矛盾(1)null(4)的证明:利用有界变差函数几乎处处可导的性质(证明参见《实变函数论》徐森林著,P319)即可得证。null证明 (5)null取dn使得 则 ,
例:例:求概率
解:首先说明积分的存在性。由于B(t)具有连续的运动路径,即对每个w,B(t)(w)是t的几乎处处连续函数,因此Rieman积分 存在。因此随机变量 是有意义的。
下面来求 的分布。由Rieman积分的定义知,null其中每个求和项都是均值为0的正态分布,因此 是均值为零的正态分布。下面计算 的方差。null因此, ,Brown运动的击中时Brown运动的击中时记Tx为标准Brown运动首次击中x的时刻,即下面计算P{Tx≤t}。1、对于x>0,若Tx≤t,则B(t)在[0, t]内的某个点击中x,由于对称性,显然有null因此,由全概率公式
因为x>0,由Brown运动的连续性,B(t)不可能还未击中x,就大于x,因此上式的第二项为零。于是null对于x<0,考虑概率P{B(t)≤x} ,用同样的方法可以得到
因此 {T-x≤t}与{Tx ≤t}的概率一样,因此对任意x,
密度函数为null注:由击中时的分布可以得到(1)常返性,即Tx几乎必然有限。因为(2) 零常返性。Tx的期望无穷大。因为Pa是起点为a的Browm运动的分布nullBrown运动的最大值变量Brown运动的最大值变量B(t)在[0,t]内达到的最大值对x>0, 根据Brown运动的连续性null利用类似的方法,可以得到Brown运动的最小值
的分布为证明做习题。Brown运动的零点Brown运动的零点定义:如果时间t使得B(t)=0,则称t是Brown运动的零点。
下面计算P{B(x)在区间(t1,t2)中至少有一个零点}的概率。
对B(t1)取条件得
null如果x<0,根据Brown运动的的连续性和平稳独立增量性类似的,对于x>0, 同样利用Brown运动的最小值可证null所以因此Brown运动的反正弦律Brown运动的反正弦律定理:设{Bx, t≥0}是Brown运动,则证明:当x=0时,由Brown运动零点的性质知当x≠0时,可类似证明,参见教材170页