小学数学疑难问题

【问题提出】A1—1  自然数在现代数学中的定义与在小学数学课本中的说明有什么不同？ 【释问参考】 最先给出自然数纯逻辑定义的是德国数学家、逻辑学家弗雷格和英国数学家、逻辑学家和哲学家罗素，他们将每个自然数定义为“可以建立一一对应的所有的有限集组成的集”这一定义被成为“弗雷格—罗素的自然数定义”。为了建立自然数公理化体系，意大利数学家和逻辑学家G.皮亚诺在1891年给出了关于自然数的五条公理：1．0是一个自然数；2．0不是任何其他自然数和后续；3．每一个自然数a都有一个后续；4．如果自然数a与b的后续相等，则a、b也相等。5．如果一个由自然数组成的集合s包含0，并且当s包含某一个自然数a时，它一定也包含a的后续，那么就包含全体自然数。 为了使自然数这个定义通俗易懂，《小学数学基础理论》教科书将每一个自然数定义为“可以建立一一对应的一类有限集的共同性质”，如在教学5的认识时，通过引导学生观察画面上的五位解放军、五匹马、五支枪等等不同物体的集合，然后引导学生寻求这些物体集合的共同点：“它们都是五个”，“五”就是这些物体集合的共同性质，从而初步形成自然数“五”的概念。 小学数学课本中对自然数的说明是在这样的：用来示物体个数的数1，2，3，…就叫自然数。“0”表示没有东西可数，“0”也是一个自然数，“1”是自然数的单位。任何一个自然数都是有若干个“1”组成的。 【思考】 小学数学课本中关于对自然数的教学的理论依据是（    B  ）。 A．“弗雷格—罗素的自然数定义”。 B．《小学数学基础理论》教科书。 C．G.皮亚诺的关于自然数的五条公理。 【问题提出】A1—2   自然数的“基数意义”和“序数意义”有什么不同？ 【释问参考】 当自然数0，1，2，…用来表示有限集合中元素的个数时，这样的数叫做“基数”。如“这幢住宅楼是5层楼”，这里的“5”就是基数。当自然数被用来表示事物的排列次序时，这样的数就叫做“序数”。如“我住在这幢住宅楼的5楼”，这里的“5”就是序数，表示“第5”的意思。 在一个句子里出现的自然数究竟是基数、还是序数，要根据语言环境来判定（如上文）。 【思考练习】 体育课上，同学们排成一列横队“报数”，排头从“1”开始，报到排尾是“35”，这个“35”（   C  ）。 A．表示这一队学生共有35人。 B．表示排尾的学生是第35个。 C．既表示这一队学生共有35人，也表示排尾的学生是第35个。 【问题提出】A1—3   自然数、正整数和整数之间的区别和联系是什么？ 【释问参考】 正整数：一个一个地数东西而产生的、用来表示物体个数的数1，2，3，…也叫正整数。当我们数每一棵苹果树上有多少个苹果时，可能遇到一个苹果也没有的情形。要数的东西一个也没有，就用“0”表示。0与正整数统称为自然数。 负整数：为了表示现实世界中具有相反意义的量，人们引入了正数与负数。如“盈利5元”用“＋5元”表示，“亏损5元”就用“5元”表示。 这种在一个数前添加的用来表示它的“正”、“负”的符号叫做性质符号。添加了性质符号“＋”或“－”的数分别称为正数和负数。“0”既不是正数，也不是负数。正数中的正号可以省略不写。添加了负号“－”的正整数叫做负整数。 整数：正整数、零、负整数统称整数。 正整数 自然数 整数 零 负整数 【思考练习】 自然数、正整数和整数这三个数概念中，（   C  ）的范围最大。 A、自然数            B、正整数              C、整数 【问题提出】A1—4   为什么以前规定“0不是自然数”，现在又规定“0是自然数”？ 【释问参考】 1891年，意大利数学家G.皮亚诺在建立自然数的公理化体系时，给出的一个公理就是“0是一个自然数”。而在我国流传甚广的《范氏大代数》的第一编中，则明确提出：所谓自然数，就是用符号1,2,3，…分别表示并称为一，二，三……的数。可见，在各国的学术界，“0是自然数”与“0不是自然数”的观点并存。现在看来，“0不是自然数”在应用中有其方便之处，而“0是自然数”就数的产生历史而言更为“自然”。作为数学列强的俄罗斯数学界一直坚持“0不是自然数”。 1949年，中华人民共和国成立后，我国许多学科的教学大纲和教科书都是参照苏联的版本翻译的。M.K.格列本卡所著的高等学校教学用书算术（第6页）中明确指出：数（shǔ）树上的苹果时，可能某一棵树一只苹果也没有，这时我们就说这棵树上的苹果数目为0。0就是没有东西可数。0作为一个数，不属于自然数。于是，“0不是自然数”的判断在我国中小学数学课程中广为传播。 20世纪80年代以来，我国实行对外开放，为了便于国际交流，在科技与教育上和国际接轨，1993年颁布的《中华人民共和国归家标准》（GB3100-3102-93）“量和单位”（11-29）第311页规定：自然数包括0。随后，中小学数学在进行修订时，根据上述国家标准进行了修改。数物体时如果一个物体也没有，就用0表示。0也是自然数。 1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准物理科学和技术中使用的数学符号》中，将自然数集记为N=｛0,1,2,3，…｝，而将原自然数集称为非零自然数集N+（或N*）=｛1,2,3，…｝。 我国国家标准局的专家们是从世界各国的两种不同的规定中取其一，希望更有利于国家交流。 规定“0是自然数”后，自然数按约数个数的分类也发生了变化，分为这样四部分： （1）质数（有且只有2个约数） （2）合数（有3个或3个以上的约数） （3）1（只有1个约数） （4）0（0以外的任何数都是它的约数） 【思考练习】 下面说法中，（     A  ）是最恰当的。 A、以前规定“0不是自然数”，现在规定“0是自然数”” B、0是自然数 C、0不是自然数 【问题提出】A1—5   “自然数集”、“自然数列”、“扩大的自然数列”和“非零自然数集”有哪些区别和联系？自然数列有哪些基本性质？ 【释问参考】 自然数集：所有的自然数组成的集合叫做“自然数集”。“自然数”和“自然数集”是两个不同的概念。我们可以说“3是自然数”，但不能说“3是自然数集”。因为“自然数集”是一个集合概念，即从整体上反映一个集合体的概念。“自然数”则是非集合概念。 自然数列：将所有的自然数按照从小到大的顺序排成一列 0，1，2，3…… 这样的一列数叫做自然数列。“自然数列”的项和“自然数集”中的元素是一样的，都必须包括所有的自然数，它们的区别就在于自然数集不讲究所含元素的顺序，而自然数列中所有的自然数都必须按照从小到大的顺序排列。只要有一处违反了这样的排列顺序，如0，2，1，3…，它就不是自然数列。当然，少了一个自然数的数集或数列也不再是自然数集或自然数列。 扩大的自然数列：这是一个应该消亡的数学名词。当我们认为“0不是自然数”时，把1，2，3…叫做“自然数列”；而将0，1，2，3…称为“扩大的自然数列”。现在，国家标准重新规定“0是自然数”，因此，后者顺理成章地应该称之为“自然数列”。“扩大的自然数列”作为一个数学名词已经不再需要。 非零自然数列：认为0是自然数后，0除外的自然数组成的数列叫做非零自然数列。 自然数列有以下的性质： （1）有始。自然数列是从0开始的。0不是任何其他自然数的后继； （2）有序。每一个自然数都有且只有一个后继；除了0，每个自然数都有且只有一个先行数（即紧挨在其前面的一个数）； （3）无限。自然数列是一个无限数列。没有最后的或者说最大的自然数。 【思考练习】 下面的这一列数（    B ）自然数列。 0，1，2，4，5，… A、是                 B、不是 【问题提出】A1—6   “计数”、“记数”、“数数”、“写数”各指什么？什么是计数的基本原理？为什么我们的计数制和记数制都是十进制的？ 【释问参考】 “计数”“数数”: “计数”就是“数数”。指的是把一些事物与非零自然数列里的数1，2，3…，建立一一对应的过程。 计数的基本原理是：只要不遗漏、不重复，计数的结果与计数的顺序无关。 十进制计数法：计数时，可以一个一个地数，也可以几个几个地数。如两个两个地数，五个五个地数，十个十个地数，等等。用一（个）、十、百、千、万……作为计数单位的计数，叫做十进制计数法。这时，每十个较低的计数单位等于一个较高的计数单位。 “记数”“写数”：“记数”就是“写数”。指的是如何用数字符号将一个数N（或者计数的结果）记录下来。 十进制记数法：当我们用十进制计数法弄清了一个数的组成后，就可以按照十进制记数法用数字符号0,1,2,…，9把这个数记录下来。 由于自然数有无限多个，要对每一个自然数都给一个独立的名称和记号是不可能的。现在国际上通用的记数方法是用0，1，2…，9分别表示自然数列里的前十个数。其他自然数则用这些数字按“位值原则”表示。即每个数字占有一个位置，叫做“数位”。每个数位表示一种计数单位。同一个数字（0除外）在所记的数里位置不同，所表示的数值也不同。 在所记的数里，从右往左，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位……个位的计数单位是一，十位的计数单位是十，百位的计数单位是百……因为每两个相邻数位的计数单位的进率都是十，所以这种记数的方法叫做十进制计数法。 【思考练习】 自然数5023中的数字“2”根据“位值原则”表示2个（    B  ）。 A、一             B、十             C、百              D、千 【问题提出】A1—7   “数”和“数字”的区别和联系是什么？ 【释问参考】 用来记数的符号叫做“数字”。数和数字是两个不同的概念。数或为单数，或为双数；或为质数，或为合数。数字或为罗马数字，或为阿拉伯数字；或为手写的数字，或为印刷的数字。事实上，数字并不是数，而是表示数的记号。数是数字所表达的而不是数字本身。 我国是世界上的文明古国之一。在我国，用文字记数已有悠久的历史。早在三千多年前的商代的甲骨文里，就已经记有数字。其中记载的最大的数是“三万”，最小的数是“一”。一、十、百、千、万各有专名。特别是当时已经采用了十进制的记数方法，这和现在世界通用的“十进制计数法”是一致的。 【思考练习】 用来记数的符号叫做（   C  ）。 A、数                    B、数位                 C、数字 【问题提出】A1—8   说“43”是数而不是数字对吗？ 【释问参考】 表示数的符号叫做数字。因为“43”是一个数学符号，在十进制记数法中，用来表示由四个十与三个一组成的自然数，所以它是数字，而且是由数字“4”与“3”排成一列组成的“复合数字”。同时，“43”也表示一个数，由四个十与三个一组成的数。 另一方面，在一定的语言环境中出现的数字“43”，也可以用来表示一个k进制的自然数，即四个k与三个一组成的数。在这里，因为出现了数字“4”，所以k≥5。 总之，“43”既是一个数，也是一个数字。同样，对于任一个用符号表示的自然数来说，它既是一个数，也是一个数字。当它在一个语句中出现时，究竟何所指，要看特定的语言环境。 【思考练习】 从上文的分析看来，“43”是（    C  ）。 A、一个数               B、一个数字           C、既是一个数，也是一个数字 【问题提出】A1—9   “数的组成”、“数的名称”和“数的读写”有什么联系？ 【释问参考】 数的组成：在认识某个范围内的自然数时，首先要认识这些数的组成。如认识一个千以内的数，要弄清它是由几个百、几个十与几个一组成的。为此，可以先用计数单位“百”，一百一百地数；剩下的不足一百时，再用计数单位“十”，十个十个地数；最后，如果剩下的不足十个，再一个一个地数。即用十进制计数法弄清数的组成。 每一个自然数的名称都是根据它的十进制组成规定的。为此，制定了根据自然数的十进制组成来为它命名的规则。一个数由几个百、几个十和几个亿组成，就称之为“几百几十几”（中间有0时如何命名另有规定）。同时，也制定了按十进制位值原则用数字符号0，1,2，…，9来表示一个自然数的规则——“写数规则”，这就是“十进制记数法”。 所谓“读数”，就是根据一个数的符号，说出它的名称；所谓“写数”，就是根据一个数的名称写出表示这个数的数字符号。“自然数的读写”就是一个数的自然语言和符号语言两种表述之间的相互改写。 总之，数的十进制组成是用十进制计数法计数的结果，是给这个数命名的依据，是用数字符号表示这个数的依据，因而也是数的读写的基础。可见，数的组成是认数教学的核心问题。 【思考练习】 我们的日常生活中所用的自然数的名称通常是根据它的（  A   ）进制组成规定的。 A、十                B、八             C、二 【问题提出】A1—10 “十进制”和“二进制”的相同点和不同点有哪些？ 【释问参考】 如果在所用的一系列计数单位中，每十个某单位都组成一个和它相邻的较高的单位，即所谓“满十进一”，那么这种计数制就是“十进制”。如果是“满二进一”，就是“二进制”。十进制和二进制都是“进位制”。十和二分别叫做这两种进位制的基数。进位制的基数可以是大于1的任何自然数。 在十进制记数法中，我们用十种不同的数字0，1，2，…，9按照位值记数法来表示不同的自然数。在二进制记数法中，只用两个同的数字0，1就能表示任何自然数。十进制数与二进制数的对应关系如下表： 十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …… 二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 …… 可见，作为记数法，十进制与二进制运用的不同数字的个数不同；表示同一个自然数（0，1除外）时，所需数位的个数不同。 【思考练习】 把十进制数8改写成二进制数是（ C ）。 A、111 B、1001 C、1000 【问题提出】A1—11“准确数”和“近似数”、“绝对误差”和“相对误差”以及“有效数字”和“可靠数字”有什么区别？什么是科学技术法？ 【释问参考】在计数和计算过程中，有时能得到与实际完全相符的数，这样的数叫准确数，如某校的数学教师有15人，6×1.2＝7.2等等。但在生产生活和计算中得到的某些数，常常只是接近于准确数，这种数叫近似数。如“某市约有人口75万”，75万就是近似数，因为在统计一个城市的人口时，由于居民的迁入和迁出，出生和死亡，人口数随时都在变化，很难得出准确的人口数。可见，准确数与近似数的主要区别，就在于是否与实际情况完全相符。其中，小于准确数的近似值，叫不足近似值；大于准确数的近似值叫做过剩近似值。     准确数A与它的近似值a之差A－a，叫做这个近似数的误差；误差的绝对值∣A－a∣，叫做这个近似数的绝对误差。近似数的绝对误差除以准确数所得的商，叫做这个近似数的相对误差（常用百分率表示）。实际计算时，由于准确数往往不得而知，所以只能用近似数代替准确数来计算误差。 一个近似数，如果绝对误差不超过它末位的半个单位，则从左端第一个非零数字起到末位数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。一个近似数，如果绝对误差不超过它末位的一个单位，则从左端第一个非零数字起到末位数字止，所有数字都叫做这个近似数的可靠数字。因此，用“四舍五入”取得的近似数，从左端第一个不是零的数字起到末位数字止，所有数字都是有效数字，也都是可靠数字。用“进一法”或“去尾法”取得的近似数，从左端第一个不是零的数字起到末位数字止，所有的数字都是可靠数字；在这些可靠数字中，除末位外，都是有效数字。例如，取∏＝3.14，因为∣∏－3.14∣＜0.01÷2，所以圆周率的近似数3.14有三个有效数字；如果取∏＝3.1416，则∣∏－3.1416∣＜0.0001÷2，所以近似数有5个有效数字。 任何一个近似数都可以写成a＝a′×10k的形式，其中a′是由近似数a的有效数字组成的数，且满足1≤a′≤10,k是整数，这种记数法叫做科学技术法。 【思考练习】 1．小于准确数的近似数叫做（   B  ）。 A、过剩近似数             B、不足近似数 2．把5698“四舍五入”到十位是5700，其中有效数字有（  B  ）个。 A、2                 B、3                C、4 【问题提出】A1—12截取近似数时，“去尾法”、“进一法”与“四舍五入法”的主要区别是什么？为什么常用“四舍五入法”？ 【释问参考】 去尾法：截取近似数时，不论去掉的尾数的最高位是否小于5，留下的数都不变，这样截取近似数的方法，叫做“去尾法”。 进一法：截取近似数时，不论去掉的尾数的最高位是否小于5，留下的数的末位都加1，这样截取近似数的方法，叫做“进一法”。 四舍五入法：在截取近似数时，通常这样规定：（1）如果去掉的尾数中，最高位是5或比5大，那么就在留下的数的末位加1；（2）如果去掉的尾数中，最高位数小于5（即是4或比4小），那么留下的数不变。像这样的截取近似数的方法，叫做“四舍五入法”。 三者区别：用“四舍五入法”截取近似数时，误差不超过保留部分的末位的半个单位；而用“去尾法”或“进一法”截取近似数时，误差不超过保留部分的末位的一个单位。 【思考练习】 用“四舍五入法”截取的近似数是3.14，那么准确数的范围应该是（  B    ）。 A、3.130……～3.139……   B、3.135……～3.144……   C、3.140……～3.149…… 【问题提出】A1—13在截取一个数的近似数时，为什么不能连续两次运用“四舍五入法”？ 【释问参考】例如，要把724600“四舍五入”到万位，下面两种做法的得数为什么不同？ 方法一：724600≈720000 方法二：724600≈725000≈730000 方法一符合“四舍五入法”的操作规范，所得近似数的误差不会超过保留部分的末位的半个单位（即0.5万）；方法二连续两次运用了“四舍五入法”，不符合操作规范，所得近似数的误差已超过保留部分的末位的半个单位。事实上，730000并不是724600“四舍五入”到万位的近似数，而是725000“四舍五入”到万位的近似数。 因此，在截取一个数的近似数时，不能连续两次运用“四舍五入法”。 【思考练习】 把724600“四舍五入”到万位，下面两种做法正确的是（  A  ）。 方法一：724600≈720000 方法二：724600≈725000≈730000 A、方法一             B、方法二              C、两种方法都对 【问题提出】A1—14小数概念如何定义和分类？ 【释问参考】把单位“1”平均分成10份，100份，1000份，这样的1份或几份，可以用分母是10，100，1000，……的分数来表示，我们把这种分母是10的正整数幂的分数叫做十进分数。因为这些分数每相邻两个分数单位之间的进率都是10，所以可以仿照整数的写法，写在整数个位的右边，并用小圆点“.”隔开，用这种形式把分母是10、100、1000，……的十进分数，改写成的不带分母的数，叫做小数。 分类一：根据一个小数的整数部分是不是0，可以把小数分为纯小数和带小数； 分类二：根据小数部分的位数是不是有限，分为有限小数和无限小数，其中，无限小数又可分为无限循环小数和无限不循环小数。 【思考练习】 小数可以分成（   C  ） A、纯小数和带小数      B、无限小数和有限小数     C、都可以 【问题提出】A1—15整数、小数的计数单位有哪些？其中有没有最小和最大的？为什么“整数的数位顺序表”与“小数的小数部分的数位顺序表”可以统一起来？ 【释问参考】在十进制中，整数的数位有个位、十位、百位、千位、万位……它们的计数单位分别是一、十、百、千、万……10个一是十，10个十是百，10个百是千，10个千是万……最小的计数单位是一，没有最大的计数单位。 在十进制小数中，小数点右边的数位依次是十分位、百分位、千分位……它们的计数单位分别是十分之一、百分之一、千分之一……其中，最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。 因为10个十分之一是一，所以小数点右边的十分位的计数单位与小数点左边的计数单位之间也是“满十进一”的关系。因此，整数的数位顺序表和小数的小数部分的数位顺序表可以统一起来。 【思考练习】 下列说法错误的是（   A   ）。 A、整数部分、小数部分都有最大的计数单位和最小的计数单位； B、整数最小的计数单位是一，没有最大的计数单位； C、小数部分最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。 【问题提出】A1—16“一位数”、“两位数”、“三位数”……与“一位小数”、“两位小数”、“三位小数”……各是怎样定义的？为什么0不是一位数？ 【释问参考】在非零自然数集N＋中，用一个十进制数字表示的叫一位数，如1，2，3，4…9；用两个十进制数字表示的叫两位数10,11,12…99；……依此类推。 小数部分只有一个数字的小数叫一位小数，小数部分有两个数字的小数叫两位小数，小数部分有三个数字的小数叫三位小数……依此类推。 实际上，一位数、两位数等自然数都可以用更多的数字来表示。如两位数48可以表示为048；一位数6可以表示为006。为了分化出一位数、两位数等概念，我们约定：在一个自然数中，从计数单位最大的、不是零的数字起到个位为止的数字有几个，这个自然数就称之为几位数。数0不论用多少个0来表示都行，但其中没有0以外的数字，所以0不是一位数。当然也不是两位数、三位数…… 由于0不是一位数，一位数只有1,2,3，…，9共9个，所以最大的一位数是9；最小的一位数是1，而不是0 【思考练习】 1.最小的一位数是（    A   ）。 A、1                  B、0                  C、没有 2. 048是（   B   ）位数。 A、三                 B、两                 C、048不是一个数 【问题提出】A1—17怎样认识“小数”和“分数”的关系？ 【释问参考】小学生最初认识的“小数”仅仅是有限小数。有限小数相当于十进分数，即分母中不含有2、5以外的质因数的最简分数。这时，可以说“小数”是“分数”的种概念，“分数”是“小数”的属概念。“分数”与“小数”是属种关系。当人们试图用分子除以分母的方法将分母中含有2、5以外的质因数的最简分数化为小数时，发现会出现相同的余数，致使商中有一个或几个数字依次不断地重复出现。这时，商的小数部分的位数是无限的，于是“小数”概念从“有限小数”发展为包括“有限小数”和“无限小数”。分数化小数，要么化为有限小数，要么化为（无限）循环小数；而无限不循环小数则不可能由分数转化而来，它们是分数以外的另一类数。 对于扩充以后的“小数”概念，其中包括的有限小数与（无限）循环小数的部分相当于“分数”，此外，还有一种不可能由分数转化而来的无限不循环小数。因此，我们可以说这时“分数”是“小数”的种概念。 【思考练习】 下面说法错误的是（  C   ）。 A、有限小数相当于十进分数 B、“分数”是“小数”的种概念，“小数”是“分数”的属概念 C、所有的小数都可以由分数转化而来 【问题提出】A1—18分数在现代数学和小学数学中的定义有什么不同？ 【释问参考】分数在现代数学中的定义： 在整数的有序对（p，q）（q≠0）的集合上定义如下等价关系： 设p1，p2∈Z｝，q1,q2∈Z﹨｛0｝。如果p1 q2＝p2 q1, 则称（p1，q1）～（p2，q2），Z×（Z﹨｛0｝）关于这个等价类称为有理数。（p，q）所属的有理数记为。在有理数集中，整数以外的数称为分数。 分数在小学数学中的定义： 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。分数的一半形式是。 两者区别： “分数”在现代数学中的定义和在小学数学中的定义基本上是一致的。在小学数学中给出的“分数”的定义实质上是正有理数的定义，其中，q≥2。整数p可以表示为，不能说明“整数也是分数”，仅仅表示“整数是有理数”。因为并不是分数所特有的表示形式。 【思考练习】在小学数学中“分数”的定义实质上是（  B   ）范围内的定义。 A、有理数         B、正有理数 【问题提出】A1—19“因为3＝，所以3也是分数”对吗？整数是不是分数？整数和分数是什么关系？分数与带分数、百分数、繁分数的关系是不是属种关系？ 【释问参考】根据               3＝＝＝＝… 只能得出“3是有理数”，不能得出“3是分数”的结论。 事实上，有理数当p能被q整除时，是整数；当p不能被q整除时，才是分数。 可见，整数不是分数。由于“整数”与“分数”的外延是互相排斥的，并且它们的并集就是邻近的属概念“有理数”的外延，所以“整数”与“分数”这两个概念间的关系是矛盾关系。 【思考练习】 下面说法（  B ）是正确的。 A、因为3＝，所以3也是分数 B、整数不是分数 C、整数分为正整数和负整数 【问题提出】A1—20说“自然数1不同于单位1对吗？自然数“1”和分数定义中的单位“1”的现实原型有什么不同？ 【释问参考】自然数“1”是非零自然数中最小的一个，是自然数的最基本的单位。作为自然数“1”的现实原型，可以是一个苹果，也可以是一堆苹果。这个苹果或这堆苹果都可以平均分为若干份，而用分数表示其中的一份或几份。它们也是分数定义中所说的平均分的对象，分数定义中所说的单位“1”，实质上就是自然数“1”。所以，说自然数“1”不同于单位“1”的理由是不充分的。 任何一个物体都可以作为自然数“1”的现实原型，但作为分数定义中的单位“1”的现实原型，受到更多的条件限制。如一块蛋糕可以平均分给两位小朋友，每人分得这块这块蛋糕的二分之一，但一只小白兔无法平均分给两位小朋友。但现实原型的差异不能作为自然数“1”不同于单位“1”的理由。 【思考练习】 自然数1不同于单位“1”，对吗？（  B    ） A、对           B、不对 【问题提出】A1－21　分数可以分为“真分数”“假分数”与“带分数”吗？ 【释问参考】 ［可约分数］［最简分数］［既约分数］：分数可以按照不同的标准来分类。如：按照分子与分母有没有1以外的公约数，可以把分数分为可约分数和最简分数。分子与分母有1以外的公约数的分数叫做可约分数；分子分母没有1以外的公约数的分数叫做最简分数。 ［真分数］［假分数］：分数还可以按照分子是否小于分母，分为真分数和假分数，分子小于分母的分数叫真分数；分子不小于分母的分数叫做假分数。 ［带分数］根据定义，“带分数”是一个整数和一个真分数合成的数。实际上是一个整数与一个真分数的和。它是一个和式，而不是一个分数。 【思考练习】 分数可以分为（　A　） A．真分数和假分数 B．真分数和带分数 C．真分数、假分数和带分数 【问题提出】A1－22　说“假分数的分子大于分母”错在哪里？ 【释问参考】 根据小学数学对假分数所下的定义，分子等于或大于分母的分数叫做假分数。可见，假分数有两类：分子大于分母的假分数和分子等于分母的假分数。如果一个分数是假分数，那么它的分子大于分母或分子等于分母。这时，我们可以根据“一个分数是假分数”推出“它的分子大于分母或分子等于分母”，但我们推不出“分子大于分母”，也推不出“分子等于分母”。 【思考练习】 下面说法错误的是（　A　） A．假分数的分子大于分母 B．真分数的分子小于分母 C．分子大于分母的分数是假分数 【问题提出】A1－23　“分数单位”和“单位分数”“最简分数”和“既约分数”有没有区别？ 【释问参考】 分数的分母不同，分数单位也就不同。如七分之四的分数单位是七分之一，分母越大，分数单位就越小。 最简分数、既约分数：分子与分母互质的分数叫最简分数，也叫既约分数。“最简”是从化简的角度提出的要求，“既约”是从约分的角度给出的标准。分数要化简。分子、分母就得约分，分子分母约分的目的是分数。两者最终统一到“分子分母互质”这一点上。 【思考练习】 十分之七的分数单位是（　　A　　） A．十分之一　　 B．七分之一 C．十七分之一 【问题提出】A1－24　“百分数”是不是一种数？“百分数就是分母是100的分数”吗？“百分数”“百分比”和“百分率”有什么不同？“成数”“千分数”“ppm”“bpm”各指什么？ 【释问参考】 “百分数”“百分比”“百分率”表示一个数是另一个数（或一个量是另一个同类量）的百分之几的数叫做百分数。百分数通常用来表示两个数（或两个同类量）的比，所以又叫“百分比”或“百分率”。 百分数与分数的区别区别在于：分数既可以表示两个数或两个同类量的倍比关系，也可以表示具体的数量；而百分数只用于表示两个量的倍比关系。当需要用百分数表示数量时，往往称之为“a个百分点”。 “成数”“几成”就是十分之几。 “ppm”“bpm”在科学技术研究和运用上，为了表示微量元素的含量，还用到更小的单位“百万分之一”（即ppm），和“十亿分之一”（即bpm）。 【思考练习】 下面说法正确的是（　　B　） A．今天班级人数出勤率为101%。 B．今年农产品比去年增长了八成。 C．有一篮子鸡蛋200%千克 。 【问题提出】A1－25　自然数大小的“基数意义”和“序数意义”有什么区别和联系？怎样证明自然数没有最大的？ 【释问参考】 “自然数大小的基数意义”：每个自然数都是所有可以建立一一对应的有限集组成的集，或者说是一类可以建立一一对应的有限集的共同性质。 “自然数大小的序数意义”°自然数的序数理论中，自然数大小是根据自然数列中的前后位置来定义的。 自然数没有最大的，自然数列是无限的。 【思考练习】 上体育课，20个人排成一排，那么20指（　B　） A．只表示“一共有20个人”； B．一共有20个人，也可以表示，最后一个是第20个； C．只表示“最后一个是第20个人”。 【问题提出】A1－26怎样构造最小的（或最大的）一位数、两位数、三位数……n位数？ 【释问参考】 在一位数1、2、3……9中，显然，最小的是1，最大的是9。 两位数中，最小的是10，最大的是99。 一般地，在n位数中，最小的是10n－1，最大的是10n－1。 【思考练习】 最大的五位数是（　A　　），最小的六位数是（　B ） A．99999 B．100000 C．100001 【问题提出】A1－27　为什么多位数大小的比较法则推广到小数大小的比较，只适用于有限小数，不适用于无限小数？“0.59(9循环)＜0.6”对吗？ 【释问参考】 “多位大小的比较”多位数大小的比较法则如下：（1）如果两个多位数的位数不同，则位数多的数较大；（2）如果两个多位数的位数相同，则最高位上的数较大的数较大；（3）如果最高位上的数又相同，则比下一位数。下一位数较大的数较大，依次类推；（4）如果两个多位数的位数相同，并且各个相同数位上的数也分别相等，那么这两个多位数相等。 “有限小数大小的比较”：（1）如果两个有限小数的整数部分相等，则比十分位上的数，十分位上的数大则大；（2）如果两个有限小数的十分位上也相等，就比较百分位上数，……依次类推。 “无限小数大小的比较”：多位数大小的比较不能推广到无限小数大小的比较。应该把无限小数改写成分数来比较。而0.59(9循环)＝0.6。 【思考练习】 下列比较错误的是（　C　） A．0.9（9循环）＝1 B．0.69（9循环）＝0.7 C．0.9（9循环）＜1 【问题提出】A－28　分数的大小如何定义和判定？ 【释问参考】 “两个分数大小的定义及判定”：两个正分数q分之p与s分之r,当ps=rq时，就说这两个分数相等；如果ps≠rq，说明两个分数不相等；如果ps＞rq，有q分之p＞s分之r；如果ps＜rq，有q分之p＜s分之r。 【思考练习】 下面比较正确的是（　B　） A．六十六分之六十五＞七十七分之七十六 B．六十六分之六十五＜七十七分之七十六 C．六十六分之六十五＝七十七分之七十六 【问题提出】A1－29　最小的计数单位是什么？最大的计数单位是什么？真分数有没有最小的？有没有最大的？ 【释问参考】 “自然数的单位和计数单位”：“1”是自然数的单位，任何一个自然数都是由若干个“1”组成的。“1”也是自然数的最小的计数单位，因为一、十、百、千、万等等都是自然数的计数单位，其中最小的计数单位是一，没有最大的计数单位。 “真分数”：分子小于分母的分数叫做真分数。因为自然数没有最大的，所以分数单位没有最小的，而最小的真分数就是最小的分数单位，所以真分数既没有最小的，也没有最大的。 【思考练习】 下列分数中，分数单位最大的是（　A　） A．七分之八 B．七十七分之八十八 C．一千分之九百九十九 【问题提出】A2－1　怎样定义四则运算？怎样得出四则运算中各部分间的关系？ 【释问参考】 “自然数的基数理论中加法的定义”：设A、B分别表示以a、b为基数，且无公共元素的集合，C是A、B并集，则C的基数c称为a、b的和，记为c＝a＋b。 小数数学中讲“把两个数合并成一个数的运算叫做加法”是不妥的。实际上，合并的是两个集合，而不是两个数。 “在自然数的基数理论中减法的定义”：设a、b两个自然数。如果有一个这样的自然数c，能使b+c=a，就说c是a与b的差，记作a-b=c。 “在自然数基数理论中乘法的定义”：b个相同加数a的和叫做a与b的积。 “在自然数基数理论中除法的定义”：设a、b是两个自然数，b≠0。如果有一个这样的自然数c，能使b×c=a，就说c是a与b的商。 【思考练习】 下面表示加法、乘法、减法、除法中各部分关系错误的是（　C　　） A．加数＋加数＝和 B．被减数＝减数＋差 C．积＝加数×加数 【问题提出】A2-2 “运算”、“计算”、“演算”有什么不同？ 【释问参考】 运算：定义在集合A上的运算是指从直积集合A×A到集合A的一种对应。如果对于集合A中的任何两个元素的序偶，即A×A的一个元素（a,b），集合A中都有唯一确定的元素c和它对应，就说在集合A上定义了一种运算。 例如，对于自然数集N中的任何两个自然数a,b，都有这样一个唯一确定的自然数c，使a＋b=c。所以加法是定义在自然数集N上的一种运算。然后，加法被推广到整数集、有理数集、实数集和复数集。 四则运算和算术运算：加、减、乘、除四种运算统称为四则运算或算术运算。小学数学中所说的“运算”通常就是指四则运算或算术运算，计算机中的运算器就是进行四则运算的装置。 计算：根据算式中所给的数据和运算，按照一定的程序操作，以求出运算结果的过程叫做“计算”。 演算：在小学数学中，人们常常用“演算”表示求一个算式的运算结果的操作过程。除了四则运算，“演算”还包括约分、通分之类的等值变换，以及求最大公约数或最小公倍数、辗转相除法等操作。 在数学科学中，“演算”还用以表示某种理论体系。如命题演算、类演算等。此外，“演算”的英文单词”calculus”还用来表示“微积分学” 【思考练习】 32（3的平方）这是一种（   A  ） A.运算     B.计算    C.演算 【问题提出】A2-3 “口算”、“心算”、“简算“、”速算“、”验算“有什么不同？ 【释问参考】 口算：不借助计算工具，直接通过思考算出得数的一种计算方法。口算是笔算、估算和简算的基础，也是计算能力的重要组成部分。 心算：口算也称心算。 简算：即“简便计算”，又称“速算”，指的是一类快速、巧妙的计算。 简算有多种不同的方法和不同的理论依据。它与各种计算法则所包含的“程序性操作“不同，没有常规的思维模式可套，也没有现成的操作程序可循。它需要具有对数据、运算以及运算顺序的敏感和对算式整体上的洞察力和敏锐的直觉，要求人们探索和发现，以找出简算的途径。如：6154×11=67694 速算：“简算”又称“速算”。 验算：式题计算或解答问题后，为了确保结果正确，采用一定的方法核对。这种核对的过程叫做“验算”。 【思考练习】 先算一算，再根据规律口算出下面几题的答案。 15×15=         25×25= 35×35= 根据你发现的规律口算：65×65=       75×75=   95×95= 【问题提出】A2-4   为什么口算都是从高位算起，而竖式笔算只有除法是从高位算起，加、减、乘的竖式笔算都是从低位算起？ 【释问参考】 多位数的四则计算总是被归结为各个数位上的一位数的计算。 口算既可以从高位算起，也可以从低位算起。只不过从高位算起更有利于抓住数的主要部分，使计算结果不至于过分偏离正确的得数。 加、减、乘的竖式笔算既可以从低位算起，也可以从高位算起。但从高位算起会增加处理进位的麻烦。 用除法竖式求商必须从高位算起。以便从高位到低位，一次求出商的每一位上的数。 【思考练习】 用竖式计算时，从高位算起的运算是（ D    ） A.加法    B.减法     C.乘法      D.除法 【问题提出】A2-5   在数的计算中，“横式”、“竖式”、“递等式”各指什么？ 【释问参考】 横式：用运算符号把参与运算的数连接起来，从左往右排列的式子叫做横式。横式可以笔算，也可以口算，并把算出的得数写在等号的后面。如53＋24=77. 竖式：把需要计算的数和运算符号按规定的格式写出，再按运算法则进行计算，并把计算的中间过程与最后结果记录下来。这样的算式叫做竖式。竖式通常运用笔算进行。 竖式计算的实质，是将当前对于两个数的计算归结为它们各个数位上数的计算，以求出得数的各个数位上的数。 递等式：在进行四则混合运算时，要按所要求的运算顺序逐步计算，并用计算结果代替原式中的部分算式，用等号与原式相联，直至求出最后结果。这样的书写形式叫做递等式。 一般情况下，竖式用于数目较大、数位较多的四则计算的笔算，用于口算比较困难的场合。递等式则用于四则混合运算。 【思考练习】 四则混合运算所采用的计算方式是（  C    ） A.横式    B.竖式    C.递等式 【问题提出】A2-6  “精确计算”、“近似计算”和“估算”的主要区别是什么？ 【释问参考】 精确计算：为解决实际问题而进行数值计算时，有时需要得到与实际情况完全符合的准确数，有时只需要或只能得到与准确数相差不多的近似数。如：购物时该付多少钱，就是需要精确计算才能回答的问题。而根据购物计划，大致要准备多少钱，只需通过估算求得。 为了通过计算得到准确数，首先要求计算的原始数据准确无误。其次，所用的计算公式要能准确表达有关的几个数量间的关系（而不是“近似公式”），并且，计算过程中的每一步都必须按相关的计算法则正确进行。 近似计算：在工程技术的相关计算中，所用的原始数据大多不是准确数。许多数据也不要求完全准确，允许有一定的误差，只要误差不超出规定的范围就可以了。为了使计算结果的误差不超过允许的范围，计算过程必须遵守相应的规则。这就是近似计算。 估算：估算是根据具体条件和有关知识，对事物的数量或计算的结果作出估计或大概的推断。如：参加一次旅游，大概需要多少费用？就是一个需要通过估算来解决的问题。 总之，精确计算得到的是准确数；近似计算得到的是误差不超出指定范围的近似数；如果对计算结果的误差范围也没用提出要求，那就可以用估算来解决。 估算与近似计算的比较：“估算”是粗略的口算；“近似计算”则是不完全精确的笔算或机算。 估算和近似计算的计算结果可以是接近准确得数的某一个数；也可以使包含准确得数的某个区间的两个端点。 估算与近似计算的主要差异有两点： ①“近似计算”对计算结果的精确程度有一定 要求，计算结果的绝对误差或相对误差不允许超出某个界限；但对“估算”结果的精确程度一般没有提出明确的要求。 ②估算一般用口算进行；而近似计算往往用笔算或机算完成。 科学技术领域的复杂计算，大多数是要求达到一定精确度的近似计算。计算结果一般不可能完全准确，主要原因是在计算的原始数据有许多是实验或测量所得的近似数。而且，计算所依据的公式或所用的方法，有些也只是近似公式或近似的方法。 【思考练习】 要求做一个长方体铁皮盒子所需要的材料，我们一般采用（  B    ） A.精确计算     B.近似计算     C.估算 【问题提出】A2-7  怎样处理好“算法多样化”与“算法系列化”之间的关系？ 【释问参考】 2001年颁布的数学课程标准提倡“算法多样化”和“解题策略多样化”。这对于拓展学生的解题思路，培养思维的灵活性、发散性和创造性都是有益的。不过，多种不同的算法往往反映了不同的思维水平。尽管在训练学生掌握一种算法的初期，应该允许学生达到不同的思维水平，允许学生运用其自身理解得最快的某种算法，但从不断提高学生的理性思维水平的根本目标来看，一个个引导学生逐步掌握思维水平更高的算法，而不应该以学生主观上的“喜欢”作为选择算法的主要依据。 此外，多样化的算法或解决问题的方法往往是以学生已经掌握的某种算法或解题方法为基础的。例如，20以内退位减的“平十法”和“破十法”都是以10以内的减法及20以内数的组成为基础的。 而“算减想加”则是对一年级小学生进行的一次典型的推理训练。它是根据加、减法的关系（或者说根据减法的意义）进行的推理，把20以内退位减的计算归结为20以内的进位加。 许多数学法则的实质都是将当前有待解决的问题转化和归结为以前已经能解决的问题。认识算法的前后联系，弄清它们根据化归思想组成的体系，比单纯的“算法多样化”更重要。 【思考练习】 判断题： 学生在计算时喜欢用什么方法计算就可以用什么方法计算，教师不应作出干涉。（  × ） 【问题提出】A2-8“36＋88＋64=36＋64＋88”根据什么来证明？ 【释问参考】 根据加法交换律推理：常见的误解是：36＋88＋64=36＋64＋88成立的根据是加法交换律。似乎在“36＋88＋64”中，将88与64交换位置，就可以得到“36＋64＋88”。这样的理解是错误的。 加法交换律告诉我们：“两个数相加，交换加数的位置，和不变。”四则混合运算的顺序规定：“没有括号并且只含有同一级运算的算式，从左到右依次计算。” 这就是说，（36＋88）＋64中的括号可以省去，即对于“36＋88＋64”应该理解为“（36＋88）＋64”。因此，在算式“36＋88＋64”中，与64相加的并不是88，而是36＋88的和。因为88与64并不是相加的两个数。所以，不能根据加法交换律交换它们的位置。这个等式可以证明如下： （36＋88）＋64 =36＋（88＋64）      ……加法结合律 =36＋（64＋88）      ……加法交换律     =（36＋64）＋88      ……加法结合律 或者，这样证明： （36＋88）＋64 =64＋（36＋88）     ……加法交换律   =（64＋36）＋88     ……加法结合律 =（36＋64）＋88     ……加法交换律 【思考练习】 36＋88＋64=36＋64＋88成立的根据是（    A ） A.  加法交换律   B.加法结合律   C. 加法交换律和加法结合律 【问题提出】A2-9 “整数加减法”、“小数加减法”以及“分数加减法”有什么相同点和不同点？ 【释问参考】 整数加减法、小数加减法以及分数加减法的意义相同，但计算法则不同。不过，它们的计算法则的理论依据又是相同的：计数单位或分数单位相同的数才能直接相加（减），所以整数或小数加减法用竖式演算时，先要将数位对齐或小数点对齐；分母不同的分数加减时要先通分，使分数单位相同。 【思考练习】 关于“整数加减法”、“小数加减法”以及“分数加减法”，下列说法错误的是 （    C   ）。 A . 它们意义相同。 B. 计算时都要遵循相同的单位才能直接相加减的原则。 C. 它们的计算法则也相同。 【问题提出】A2—10  “ 乘法”在小学数学课本中的意义和现代数学中的定义有什么不同？ 【释问参考】 小学数学课本中乘法的意义，把“乘法”描述为“求几个相同加数的和的简便计算”，与基数理论中乘法的定义相同。 对比现行小学课本中乘法的意义与基数理论中乘法的定义，可以看到以下几点差异： （1）“几个几”的求和问题与连加算式的一一对应，在基数理论与小学数学中是一致的。 （2）要基数理论的乘法定义中，“被乘数”与“乘数”既有各自的不同名称，又有它们共同的名称“积的因数”。而在现行的小学数学教科书中，为了便于小学生理解，不再区分被乘数与乘数，统称为因数。也就是说不区分“相同的加数”和“相同加数的个数”，一律表示为ab或ba。但这样一来，加法算式与乘法算式的一一对应就不存在了，ab与ba的差异也消失了。 【思考练习】 “3×2”表示（ C ） A、3个2的和 B、2个3的和 C、既表示3个2的和 ，也可以表示2个3的和 【问题提出】A2—11  “4×7×250=4×250×7”是根据乘法交换律推出的吗？ 【释问参考】 在乘法交换律中，可以交换位置而不改变积的大小的，只能是“相乘的两个数”。根据乘法交换律推理时，首先要确认交换位置的两个数是相乘的两个数。 “几个数相乘，可以将其中的任何两个因数交换，或者将任何几个因数结合起来先乘”，这是根据乘法交换律与乘法结合律得出的推论，而不是乘法交换律或乘法结合律本身。 【思考练习】 “4×7×250=4×250×7”是根据（ A ）推出的。 A、乘法交换律 B、乘法结合律 C、乘法交换律与乘法结合律 【问题提出】A2—12  做分数乘法时，“先约分、后相乘”的根据是什么？ 【释问参考】 做分数乘法时，常常“先约分、后相乘”。约分的理论依据是“分数的基本性质”。并不是同一个分数的分子与分母，为什么它们可以同除以一个数呢？关于这种演算的合理性可以理解为：演算时省略了根据分数乘法法则写出两个分数的积。根据这个法则，两个分数相乘的积是一个分数，约分的公约数就是这个积的分母与分子的公约数，当然可以“约去”。 两个分数相乘时，一个分数的分母与另一个分数的分子约分，通常称之为“对角约分”。对角约分的合理性还可以根据积的变化规律来认识：两个数相乘时，一个因数扩大到原来的多少倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。 【思考练习】 约分的理论依据是（ A ） A、分数的基本性质 B、分数