椭圆

第八章　圆锥曲线方程 课时作业40　椭圆 时间：45分钟　　　　分值：100分 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．(2009·陕西高考)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1示焦点在y轴上的椭圆”的 (　　) A．充分而不必要条件　　　 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：把椭圆方程化为eq \f(x2,\f(1,m))＋eq \f(y2,\f(1,n))＝1.若m>n>0，则eq \f(1,n)>eq \f(1,m)>0.所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y轴上，则eq \f(1,n)>eq \f(1,m)>0即有m>n>0.故选C. 答案：C 2．已知椭圆eq \f(x2,10－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于 (　　) A．4 B．5 C．7 D．8 解析：因为椭圆eq \f(x2,10－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1的长轴在y轴上，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m－2>0,10－m>0,m－2>10－m))⇔6n>0)上的点到右准线的距离是到右焦点距离的3倍，则mn＝ (　　) A.eq \f(8,9) B.eq \f(2\r(2),3) C.eq \f(3\r(2),4) D.eq \f(9,8) 解析：由题意得该椭圆的离心率e＝eq \f(1,3)＝eq \f(\r(m－n),\r(m))，因此1－eq \f(n,m)＝eq \f(1,9)，eq \f(n,m)＝eq \f(8,9)，mn＝eq \f(9,8)，选D. 答案：D 4．(2009·江西高考)过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为 (　　) A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3) 图1 解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2a， 又∠F1PF2＝60°， ∴|PF1|＝eq \f(1,2)|PF2|， ∴eq \f(3,2)|PF2|＝2a⇒|PF2|＝eq \f(4,3)a，|PF1|＝eq \f(2,3)a， 在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋ |F1F2|2＝|PF2|2， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a))2＋(2c)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)a))2⇒e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)，故选B. 答案：B 5．(2010·长望浏宁模拟)从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2,4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是 (　　) A．[eq \f(\r(5),3)，eq \f(\r(3),2)] B．[eq \f(\r(3),3)，eq \f(\r(2),2)] C．[eq \f(\r(5),3)，eq \f(\r(2),2)] D．[eq \f(\r(3),3)，eq \f(\r(3),2)] 解析：设椭圆的长轴长为2a，则矩形的最大面积为2ab，∴3b2≤2ab≤4b2，即eq \f(3,2)≤eq \f(a,b)≤2，又∵b＝eq \r(a2－c2)，∴eq \r(\f(a2－c2,a2))∈[eq \f(1,2)，eq \f(2,3)]，即eq \r(1－e2)∈[eq \f(1,2)，eq \f(2,3)]，解得：e∈[eq \f(\r(5),3)，eq \f(\r(3),2)]． 答案：A 6．(2009·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B.若eq \o(FA,\s\up6(→))＝3eq \o(FB,\s\up6(→))，则|eq \o(AF,\s\up6(→))|＝ (　　) 图2 A.eq \r(2)　　　 B．2 C.eq \r(3)　　　 D．3 解析：如图2，BM垂直于右准线于M，右准线与x轴交于N，易求得椭圆的离心率为e＝eq \f(\r(2),2)，由椭圆的第二定义得BM＝eq \f(BF,e)，在Rt△AMB中，eq \f(BM,AB)＝eq \f(BF,e·AB)＝eq \f(1,2e)＝eq \f(\r(2),2)，它为等腰直角三角形，则△ANF也为等腰直角三角形，FN＝eq \f(b2,c)＝1，则|eq \o(AF,\s\up6(→))| ＝eq \r(2).故选A. 答案：A 二、填空题(每小题5分，共20分) 7．(2009·北京高考)椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__________；∠F1PF2的大小为__________． 解析：依题知a＝3，b＝eq \r(2)，c＝eq \r(7).由椭圆定义得|PF1|＋ |PF2|＝6，∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2.又|F1F2|＝2eq \r(7).在△F1PF2中由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－eq \f(1,2)，∴∠F1PF2＝120° 答案：2　120° 8．(2009·广东高考)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为eq \f(\r(3),2)，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________． 解析：由题意得2a＝12，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，所以a＝6，c＝3eq \r(3)，b＝3.故椭圆方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1. 答案：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1 9．已知A、B为椭圆C：eq \f(x2,m＋1)＋eq \f(y2,m)＝1的长轴的两个端点，P是椭圆C上的动点，且∠APB的最大值是eq \f(2π,3)，则实数m的值是__________． 解析：由椭圆知识知，当点P位于短轴的端点时∠APB取得最大值，根据题意则有taneq \f(π,3)＝eq \f(\r(m＋1),\r(m))⇒m＝eq \f(1,2). 答案：eq \f(1,2) 图3 10．(2010·武汉调研)如图3，已知A、B两点分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点，而F是椭圆C的右焦点，若eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(BF,\s\up6(→))＝0，则椭圆C的离心率e＝________. 解析：A(－a,0)，B(0，b)，F(c,0)， ∴eq \o(AB,\s\up6(→))＝(a，b)，eq \o(BF,\s\up6(→))＝(c，－b) ∴ac＝b2，即ac＝a2－c2，∴e＝1－e2，解得e＝eq \f(\r(5)－1,2). 答案：eq \f(\r(5)－1,2) 三、解答题(共50分) 11．(15分)已知A(－2,0)，B(2,0)，过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为eq \f(4,5)，且直线l与圆x2＋y2＝1相切，求该椭圆的方程． 解：易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．① 又设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－4)＝1(a2>4)． ② 因为直线l与圆x2＋y2＝1相切，故eq \f(|2k|,\r(k2＋1))＝1， 解得k2＝eq \f(1,3).将①代入②整理得， (a2k2＋a2－4)x2＋4a2k2x＋4a2k2－a4＋4a2＝0，而k2＝eq \f(1,3)，即(a2－3)x2＋a2x－eq \f(3,4)a4＋4a2＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq \f(a2,a2－3)， 由题意有eq \f(a2,a2－3)＝2×eq \f(4,5)(a2>3)，求得a2＝8.经检验，此时Δ>0. 故所求的椭圆方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1. 图4 12．(15分)如图4，两束光线从点 M(－4,1)分别射向直线y＝－2上两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)后，反射光线恰好通过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点，已知椭圆的离心率为eq \f(1,2)，且x2－x1＝eq \f(6,5)，求椭圆C的方程． 解：设a＝2k，c＝k，k≠0，则b＝eq \r(3)k， 其椭圆的方程为eq \f(x2,4k2)＋eq \f(y2,3k2)＝1. 由题设条件得eq \f(0＋2,－k－x1)＝－eq \f(1－(－2),－4－x1)，① eq \f(0＋2,k－x2)＝－eq \f(1－(－2),－4－x2)，② x2－x1＝eq \f(6,5)，③ 由①②③解得k＝1，x1＝－eq \f(11,5)，x2＝－1， 所求椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1. 13．(20分)(2009·四川高考)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e＝eq \f(\r(2),2)，右准线方程为x＝2. (1)求椭圆的

标准

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方程； (2)过点F1的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且|eq \o(F2M,\s\up6(→))＋eq \o(F2N,\s\up6(→))|＝eq \f(2\r(26),3)，求直线l的方程． 解析：(1)由条件有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,\f(a2,c)＝2))解得a＝eq \r(2)，c＝1. ∴b＝eq \r(a2－c2)＝1. 所以，所求椭圆的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1. (2)由(1)知F1(－1,0)、F2(1,0)． 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－1， 将x＝－1代入椭圆方程得y＝±eq \f(\r(2),2). 不妨设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)))、Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(2),2)))， ∴eq \o(F2M,\s\up6(→))＋eq \o(F2N,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(\r(2),2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(\r(2),2)))＝(－4,0)． ∴|eq \o(F2M,\s\up6(→))＋eq \o(F2N,\s\up6(→))|＝4，与题设矛盾． ∴直线l的斜率存在． 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)． 设M(x1，y1)、N(x2，y2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝k(x＋1))) 消y得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0. 由根与系数的关系知x1＋x2＝eq \f(－4k2,1＋2k2)，从而y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝eq \f(2k,1＋2k2). 又∵eq \o(F2M,\s\up6(→))＝(x1－1，y1)，eq \o(F2N,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)， ∴eq \o(F2M,\s\up6(→))＋eq \o(F2N,\s\up6(→))＝(x1＋x2－2，y1＋y2)． ∴|eq \o(F2M,\s\up6(→))＋eq \o(F2N,\s\up6(→))|2＝(x1＋x2－2)2＋(y1＋y2)2 ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8k2＋2,1＋2k2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k,1＋2k2)))2＝eq \f(4(16k4＋9k2＋1),4k4＋4k2＋1). ∴eq \f(4(16k4＋9k2＋1),4k4＋4k2＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(26),3)))2. 化简得40k4－23k2－17＝0， 解得k2＝1或k2＝－eq \f(17,40)(舍)．∴k＝±1. ∴所求直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.